Tabliczka mnożenia
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50...
Systemy liczbowe ( dziesiątkowy, dwójkowy, szesnastkowy, dwunastkowy)
System liczbowy jest to sposób zapisywania i nazywania liczb. Są różne systemy liczbowe, mogą one być pozycyjne lub addycyjne. W systemie pozycyjnym wartość cyfry zależy od jej pozycji względem innych. Przedstawić można ją jako odpowiednią ilość...
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Pitagorasa Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. Założenie: ABC jest prostokątny. Teza: a 2 + b 2 = c 2 Odwrotne twierdzenie...
Wzory na pola figur - podstawy
Trójkąt: a x h Kwadrat: a x a Prostokąt: a x b Równoległobok: a x h Trapez: 0,5 x (a b) : 2 Romb: p x p Deltoid: d1 x d2 :2 _________________ x = zastąpiony ,,razy'' a = bok1 b = kok2 h = wysokość 0,5 = jedna...
Wyrażenia algebraiczne - definicja
Wyrażenie algebraiczne to wyrażenie składające się liter oraz liczb, które są połączone ze sobą znakami działań oraz nawiasami. Za pomocą wyrażeń algebraicznych zapisujemy różne zwroty matematyczne, wzory, twierdzenia oraz równania i nierówności....
Materiały pomocnicze na matematykę do matury
SPIS TREŚCI 1. Zbiory. Działania na zbiorach. 2. Układy równań i nierówności. 3. Funkcja kwadratowa. 4. Wielomiany 5. Funkcja wykładnicza i logarytmiczna 6. Funkcje trygonometryczne 7. Funkcje wymierne. Równania i nierówności wymierne...
Pierwiaski Kwadratowe przykład
Zad. 2. Napisz program, który wyznaczy pierwiastki równania kwadratowego. W przypadku, gdy tych pierwiastków nie ma program powinien wyświetlić komunikat: "Brak pierwiastków". Rozwiązanie Rozpatrujemy następujące równanie:...
Materiały z kl III gm.:bryły obrotowe, algebra, graniastosłupy, ostrosłupy itp.
1. Bryłami obrotowymi nazywamy bryły, które powstają w wyniku obrotu figur płaskich wikół osi obrotu. 2. Wysokością walca nazywamy dwie podstawy i prostopadły ddo nich. 3. Twożąca stożka jest to odcinek łączący wierzchołek z dowolnym punktem...
Liczba PI
Liczba π Liczba π jest liczbą niewymierną, określającą stosunek długości okręgu do długości jego średnicy. π=3,141592... Symbol π został pierwszy raz użyty w 1706 roku przez matematyka angielskiego Wiliama Jonesa. W powszechne użycie...
Suwak logarytmiczny
Matematyka jest jedną z najstarszych nauk. Pierwsze spostrzeżenia matematyczne daleko wykraczają poza obszar obejmowany przez historie. Pierwsze odnotowane fakty, które można zaliczyć do matematyki pochodzą ze starożytnego Sumeru, Babilonu i...
Logarytmy
logarytm zapisuje się skrótem log podstawa logarytmu napisana jest małą liczbą przy g liczbę logarytmowaną piszemy przy logarytmie logarytm naturalny, czyli o podstawie e zapisujemy ln logarytm bez napisanej podstawy to logarytm o podstawie 10...
matematyka-czy jest potrzebna ?czy nie?
Matematyka-a cusz to za przedmiot? matematyka jest piękna i niwezwykle pożyteczna,w jej symbola twierdzeniach i zasadach kryje sie wiedza o swiecie i żadzących w nim prawach(ojejku troche pomyliłam)ale wiecie co tak naprawde mam jom w...
Cechy podzielności liczb
Cecha podzielności przez 2: Liczba jest podzielna przez 2, jeżeli jej ostatnia cyfra jest parzysta lub wynosi zero. Przykłady: 12, 48, 100, 124 Cecha podzielności przez 3: Liczba jest podzielna przez 3, jeżeli suma jej cyfr tworzy liczbę...
Bajka o królu, szachach i ziarnach pszenicy
Dawno, dawno temu żył sobie król, który się strasznie nudził. Nie bawił go fechtunek ani jazda konna, ani nawet turniej rycerski. Był tak znudzony, że rozesłał wici po całym kraju i do państw przyjaznych - kto przyniesie interesującą grę, tego nie...
Bryły obrotowe
Bryła obrotowa - są to bryły powstałe w wyniku obrotu brył płaskich wokół własnej osi * Najważniejsze bryły obrotowe Walec - bryła powstała w wyniku obrotu prostokąta wokół jednej z krawędzi....
Podział trójkątów, czworokąty, okręgi i koła
Podział trójkątów ze względu na długość boków: a) Trójkąt różnoboczny: - Każdy bok ma inną długość. - Każdy kąt ma inną miarę. b) Trójkąt równoramienny: - Ramiona są równej długości. - Kąty przy podstawie są równej miary. c) Trójkąt...
Jedno z zadań maturalnych z roku 1995 (profil ogólny)
Rozwiązanie zadania maturalnego. Zadanie porusza następującą tematykę: funkcja kwadratowa, równoległość prostych w układzie kartezjańskim, równanie kwadratowe i inne. W przypadku jakichkolwiek wątpliwości proszę o kontakt. Pozdrawiam
Prostopadłość prostych w przestrzeni
1. Prostopadłość prostych w przestrzeni. Proste prostopadłe na płaszczyźnie to dwie przecinające się proste, z których każda jest osią symetrii drugiej. Proste o tej właściwości są również prostopadłe w przestrzeni. Rozszerzmy jednak pojęcie...
Wykorzystanie równań do zadań z treścią.
Janek dodał 3 liczby. Druga z tych liczb była cztery razy większa od pierwszej z nich, a trzecia była o 8 mniejsza od pierwszej. Otrzymał 28. Jakie to były liczby? I liczba - \(x\) II liczba - \(4x\) III liczba - \(x \times 4 - 8\)...
Tales z Miletu i jego wkład w rozwój matematyki
Tales z Miletu (ok. 620 - ok. 540 p.n.e.) Grecki filozof i matematyk, prawdopodobnie pierwszy uczony i filozof europejski. Jeden z twórców jońskiej filozofii przyrody. Urodził się w Milecie (miasto greckie na wybrzeżu...
Kąty i trójkąty - prezentacja
W prezentacji znajdziecie wszystkie niezbędne informacje na temat kątów i trójkątów. Prezentacja zawiera 73 slajdy w tym 10 zadań z rozwiązaniem.
Wzory - najbardziej przydatne
Obwód trójkąta - L=a+b+c jest sumą długości jego boków Pole trójkąta - P =a*ha przez 2 Pole trójkąta prostokątnego P=½ a*b Obwód prostokąta o bokach a i b - L=2a+2b Pole prostokąta - P=a*b Obwód kwadratu o boku a wyraża się wzorem - L=4*a...
Ułamki egipskie
Matematyczne Wypracowania UŁAMKI EGIPSKIE Wieskubi Tak podstawowe pojęcia matematyczne, jak liczba czy najprostsze - figury geometryczne, powstały na długo przed pojawieniem się...
Wzory na matematyke
Wzory Skróconego mnożenia: \[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \] \[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \] \[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \] Pole i obwód koła: - Pole koła: \[ P_o = π R^2 \] - Obwód okręgu (koła): \[ L = 2 π R \] gdzie \( R \)...
Liczby Pierwsze
Liczby pierwsze są to takie liczby naturalne, które większe są od jedynki i podzielne bez reszty przez samą siebie i jedynkę. Jednym z pytań dotyczących liczb pierwszych, które narzuca się każdemu jest pytanie o liczbę tych liczb: ile ich jest,...
Matematyka
Matematyka Matematyka była niegdyś rozumiana jako nauka o liczbach (arytmetyka) i figurach (bryłach) geometrycznych (geometria). Do dziś w popularnych encyklopediach określana jest jako nauka o wielkościach, czyli o stosunkach ilościowych i...
Diofantos - pierwszy matematyk...
Diofantos - z Aleksandrii, III wiek n.e. Był pierwszy matematyk, któy zajął się algebrą. Niewiele wiemy o jego życiu. Pewne szczegóły możemy poznać rozwiązując zadanie z Epifatium Diofanta zamieszczonego w antologii z XIV wieku mnicha Maksymusa...
Cechy podzielności.
Przez 2 i 5 Przez 2 (lub przez 5) są podzielne te i tylko te liczby, których cyfra jedności, wzięta jako liczba jest podzielna przez 2 (lub odpowiednio przez 5), lub które są zakończone zerem. Przez 4 i 25 Przez 4 (lub przez 25) są podzielne te...
Graniastosłup, ostrosłup i walec
Ostrosłup Ostrosłup – bryła geometryczna w postaci wielościanu, którego wszystkie ściany prócz podstawy zbiegają się w jednym punkcie zwanym wierzchołkiem (czyli są trójkątami o wspólnym wierzchołku). Wysokość ostrosłupa to odległość od...
Układy równań - metoda wyznaczników
Niżej przedstawiam jedną, moim zdaniem najciekawszą, metodę rozwiązywania układów równań. Przykładowo, schemat ogólny układu uwzględnia współczynniki przy zmiennych: \[a_1X + b_1Y = c_1\] \[a_2X + b_2Y = c_2\] Powstają trzy macierze: \[...
Liczby doskonałe - tajemnicza symetria liczb
Liczby doskonałe stanowią fascynujące zjawisko w matematyce, które wciąż przyciąga uwagę badaczy. Definiuje się je jako te liczby, których suma wszystkich dzielników właściwych (czyli dzielących się na liczbę inną niż ta liczba sama w sobie) równa...
Asymptoty ukośne
Asymptoty ukośne istnieją wtedy i tylko wtedy gdy nie istnieje asymptota pozioma, stad wniosek ze jesli istnieje asymptota pozioma to nie istnieje asymptota ukośna w danym otoczeniu. Schemat badania asymptoty ukośnej: liczymy granice w + i -...
Programowanie liniowe
W działalności gospodarczej realizowana jest zasada racjonalnego gospodarowania. Zasada ta orzeka, ze stojące do dyspozycji środki umożliwiające realizacje jakiegoś celu powinny być użyte w sposób gwarantujący maksymalna realizacje postanowionego...
Matura ustna z matematyki
Egzamin maturalny ustny z matematyki - jesli ktos potrzebuje pomocy w przygotowaniu się do ustnej matury służe pomocą . Oto kontakt : [email protected]
Matematyka - teoria
Liczby nieujemne to liczby dodatnie i zero. Liczby niewymierne to liczby, których nie można przedstawić w postaci ułamka Liczby odwrotne to dwie liczby, których iloczyn jest równy jeden. Liczby pierwsze to takie liczby naturalne większe od 1,...
Wzory skróconego mnożenia
Rozwinięcia kwadratowe i sześcienne wyrażeń algebraicznych to kluczowe formuły w matematyce. Pozwól, że rozbiorę każde z podanych wzorów, aby lepiej zrozumieć ich zastosowanie i interpretację. 1. Rozwinięcie kwadratu sumy : (a + b)^2 = a^2 +...
Funkcje
Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y nazywamy takie przyporządkowanie,w którym każdemu elementowi zbioru X odpowiada dokładnie jeden element zbioru Y. Zdanie "Funkcja f argumentom ze zbioru X przyporządkowuje wartości ze...
Równania cz. 2
Równania (2) Zapamiętaj : Przy mnożeniu i dzieleniu wyrażeń zachodzą pewne ciekawe zmiany : (+) razy (+) = (+) ; (-) razy (-) = (+) ; (-) razy (+) = (-) ; (+) razy (-) = (-) 5 x 5 = 25 (-3) x (-4) = 12...
Pitagoras
PITAGORAS z SAMOS, żył w latach 570-496 p.n.e. Pozostawił po sobie prąd filozoficzno-religijny związany ze swoim imieniem, trwający przez dwa wieki. Trudno jest stwierdzić co dokonał sam Pitagoras, a co jego uczniowie, więc raczej należy mówić o...
Ciągi i ich granice, funkcja wykładnicza, logarytmiczna i trygonometryczna
CIĄGI Ciągiem nazywamy funkcje opartą na zbiorze liczb naturalnych. Ciąg (An) ma granicę "g", jeśli jego wyrazy ze wzrostem wskaźnika "n" zbliżają się do liczby "g". Ciąg (An) ma granicę "g", jeżeli w każdym przedziale (g-E, g E) o środku...
Jednostki powierzchniowe
Legenda: [] - kwadratowe ~1km- •100ha •10000a •1000000m •100000000dm •10000000000cm •1000000000000mm ~1ha- •0,01km •100a •10000m •1000000dm •100000000cm •10000000000mm ~1a- •0,0001km •0,01ha •100m •10000dm •1000000cm...
Funkcje
FUNKCJE Definicja funkcji Funkcją nazywamy takie przekształcenie zbioru argumentów X w zbiór wartości Y, które każdemu elementowi ze zbioru X przyporządkowuje dokładnie jeden element zbioru Y. Zapisujemy to w następujący sposób: y=f(x)...
Czy liczby rzeczywiste są rzeczywiste?
Liczby naturalne są niewątpliwie naturalne. Liczby całkowite niewątpliwie zasługują na nazwę "całkowite". Liczby wymierne należałoby może nazywać liczbami mierzącymi lub wymierzającymi, bowiem wszystkie pomiary wykonujemy w praktyce w liczbach...
Dowód na twierdzenie Pitagorasa
D o w ó d 1. W każdym trójkącie prostokątnym kwadrat długości najdłuższego boku (przeciwprostokątnej) jest sumą kwadratów długości dwóch pozostałych boków (przyprostokątnych). Dlaczego? To proste: Z czterech jednakowych trójkątów i dwóch...
Liczby wymierne - dzielenie
ILORAZ DWÓCH LICZ O RÓŻNYCH ZNAKACH JEST LICZBĄ UJEMNĄ A ILORAZ DWÓCH LICZ O TAKICH SAMYCH ZNAKACH JEST LICZBĄ DODATNIĄ. Przykład -54:9=-6 JEŚLI MAMY NIEPARZYSTĄ LICZBĘ LICZB UJEMNYCH WTEDY WYNIK BĘDZIE UJEMNY, GDY MAMY PARZYSTĄ LICZBĘ...