CIĄGI Ciągiem nazywamy funkcje opartą na zbiorze liczb naturalnych. Ciąg (An) ma granicę "g", jeśli jego wyrazy ze wzrostem wskaźnika "n" zbliżają się do liczby "g". Ciąg (An) ma granicę "g", jeżeli w każdym przedziale (g-E, g E) o środku...
LICZBY NATURALNE : Liczny zapisujemy za pomocą znaków zwanych cyframi . Jest dziesięć cyfr : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,. Przy pomocy cyfr tworzymy zbiory liczbowe . Najprostszym jest zbiór liczb naturalnych , który oznaczamy literą N . N-{...
Legenda: [] - kwadratowe ~1km- •100ha •10000a •1000000m •100000000dm •10000000000cm •1000000000000mm ~1ha- •0,01km •100a •10000m •1000000dm •100000000cm •10000000000mm ~1a- •0,0001km •0,01ha •100m •10000dm •1000000cm...
Historia matematyki sięga czasów zamierzchłych, odkąd ludzie porównywali wielkości, mierzyli, liczyli przedmioty i wyciągali wnioski; w starożytnej Babilonii i Egipcie rozwinęła się technika rachunkowa, co doprowadziło do powstania zaczątków...
Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y nazywamy takie przyporządkowanie,w którym każdemu elementowi zbioru X odpowiada dokładnie jeden element zbioru Y. Zdanie "Funkcja f argumentom ze zbioru X przyporządkowuje wartości ze...
Równania (2) Zapamiętaj : Przy mnożeniu i dzieleniu wyrażeń zachodzą pewne ciekawe zmiany : (+) razy (+) = (+) ; (-) razy (-) = (+) ; (-) razy (+) = (-) ; (+) razy (-) = (-) 5 x 5 = 25 (-3) x (-4) = 12...
PITAGORAS z SAMOS, żył w latach 570-496 p.n.e. Pozostawił po sobie prąd filozoficzno-religijny związany ze swoim imieniem, trwający przez dwa wieki. Trudno jest stwierdzić co dokonał sam Pitagoras, a co jego uczniowie, więc raczej należy mówić o...
Zad. 2. Napisz program, który wyznaczy pierwiastki równania kwadratowego. W przypadku, gdy tych pierwiastków nie ma program powinien wyświetlić komunikat: "Brak pierwiastków". Rozwiązanie Rozpatrujemy następujące równanie:...
Niektórzy twierdza, że odkąd wynaleziono pieniądze i koło, ludzie zaczęli kręcić interesy. Każdy biznesmen tamtych czasów musiał umieć liczyć Np. upolowane mamuty, tygrysy szablozębne itp. mniejsze bądź większe rzeczy. Każdą liczbę trzeba było w...
D o w ó d 1. W każdym trójkącie prostokątnym kwadrat długości najdłuższego boku (przeciwprostokątnej) jest sumą kwadratów długości dwóch pozostałych boków (przyprostokątnych). Dlaczego? To proste: Z czterech jednakowych trójkątów i dwóch...
Zapis 25% (czytamy 25 procent) oznacza 25/100 Ćwiczenie: (obliczanie procentu danej liczby) Oblicz 18% liczby 30. Ponieważ 18% to18/100 więc; 18% * 30 = 18/100 * 30 = 27/5 = 5 2/5 = 5,4 Ćwiczenie: (obliczanie ile procent jednej liczby...
Pole kuli 4πr2 rozpocznij naukę Objętość kuli 4/3πr2 Pole poczne stożka πrl Pole podstawy stożka πr2 Pole stożka Pp+Pb V stożka 1/3πr2*H Pole walca 2Pp+Pb Pole podstawy walca 2* πr2 Pole boczne walca 2πr*h V walca Pp*H Pole...
Rozwiązanie zadania maturalnego. Zadanie porusza następującą tematykę: funkcja kwadratowa, równoległość prostych w układzie kartezjańskim, równanie kwadratowe i inne. W przypadku jakichkolwiek wątpliwości proszę o kontakt. Pozdrawiam
Księga Szkocka – Historia polskich matematyków uczęszczających do kawiarni „Szkocja” Księga Szkocka jest jednym z ciekawszych fragmentów historii polskiej matematyki. Na jej temat powstało wiele opowieści, z których część jest prawdziwa, a część...
1. Pewien młynarz pobierał jako wynagrodzenie dziesiątą część mąki, którą zmełł dla klienta Ile zmełł dla klienta, który po wynagrodzeniu młynarza miał jeden cetnar mąki? 2. Pewien chłopiec miał tyle samo braci i sióstr. Jego siostra Ala...
ILORAZ DWÓCH LICZ O RÓŻNYCH ZNAKACH JEST LICZBĄ UJEMNĄ A ILORAZ DWÓCH LICZ O TAKICH SAMYCH ZNAKACH JEST LICZBĄ DODATNIĄ. Przykład -54:9=-6 JEŚLI MAMY NIEPARZYSTĄ LICZBĘ LICZB UJEMNYCH WTEDY WYNIK BĘDZIE UJEMNY, GDY MAMY PARZYSTĄ LICZBĘ...
Urodził się około roku 570 p.n.e. na wyspie Samos (wschodnie kolonie greckie). Po opuszczeniu rodzinnych stron podróżował, aż wreszcie osiadł w mieście Kroton (Italia), gdzie założył swoją słynną szkołę. Do tego czasu zetknął się z naukami...
Nie jest to typowo matematyczna praca, ale po pewnych przeróbkach może uchodzić za krótki referat o sposobach poszukiwania liczb pierwszych.
Dla określenia zmiennej losowej potrzebna jest znajomość tzw. trójki probabilistycznej. Załóżmy, że dana jest przestrzeń probabilistyczna (E, S, P). Zmienną losową X nazywamy funkcję rzeczywistą określoną na przestrzeni zdarzeń elementarnych E...
Własności prawdopodobieństwa 0? P (A) ? 1 dla każdego zdarzenia A ? ? P (?) = 1 ? - zdarzenie pewne P (?) = 0 ? - zdarzenie niemożliwe (pusty zbiór ?) P (A) ? P (B) gdy A ? B ? ? P (A ? B) = P (A) P (B) - P (A ? B), dla dowolnych zdarzeń...
FUNKCJE Definicja funkcji Funkcją nazywamy takie przekształcenie zbioru argumentów X w zbiór wartości Y, które każdemu elementowi ze zbioru X przyporządkowuje dokładnie jeden element zbioru Y. Zapisujemy to w następujący sposób: y=f(x)...
Historia początków pomiaru czasu jest bardzo odległa i wiąże się ściśle z rozwojem badań astronomicznych. Rachuba czasu odegrała również ważną rolę w kartografii, a także miała i ma znaczenie w życiu codziennym. Powiązanie jej z astronomią wynika...
Sprawdź co cię czeka .... 1. PAWEŁ MA 7 PATYCZKÓW. JEDEN PRZEŁAMAŁ NA DWIE CZĘŚCI. ILE PATYCZKÓW MA TERAZ? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 2. KTÓRA Z LICZB JEST PODZIELNA PRZEZ TRZY? A) 172 B) 65403 C) 50513 D) 131312 3. ZOSIA MA URODZINY...
Sprawdzian z Wielomianów dla klasy o profilu rozrzeżonym ^- do potęgi!! 1.Dla jakiej wartości parametru k reszta z dzielenia W(x)= k^2x^3 -2kx -3 przez dwumian x-3 jest mniejsza od -3 2. Wykaż że liczba 3 jest dwukrotnym pierwiastkiem...
Jerzy Różycki Urodził się 24 lipca 1909 w Olszana koło Kijowa, zmarł natomiast 9 stycznia 1942 koło Balearów. Był polskim matematykiem i kryptologiem, pracownikiem Uniwersytetu Poznańskiego oraz kontrwywiadu wojskowego (Biuro Szyfrów 4) Oddziału...
1. y=arcsinx wtedy i tylko wtedy gdy x=siny Dziedziną jest zbiór 2. y=arccosx wtedy i tylko wtedy gdy x=cosy Dziedziną jest zbiór 3. y=arctgx wtedy i tylko wtedy gdy x=tgy Dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych 4. y=arcctgx wtedy i...
Wykres równowagi układu żelazo-węgiel, to wykres , który odzwierciedla równowagę fazową w stopach żelaza z węglem. Jest przedstawiany w dwóch wersjach : jako stabilny żelazo-grafit i metastabilny żelazo-cementyt Fe3 C. Pierwszy jest stosowany do...
SYMETRIA OSIOWA Symetrią osiową względem prostej a nazywamy przekształcenie płaszczyzny na płaszczyznę, w którym każdemu punktowi P przyporządkowany jest punkt P' leżący na prostej prostopadłej przechodzącej przez O w tej samej odległości od O...
Liczenie jest dziś powszechną, codzienną czynnością. Ludzie liczą we wszystkich zawodach. Gdyby się przyjrzeć zawodom ludzi stwierdzamy, że używane w różnych zawodach liczby występują w różnych postaciach i służą do różnych celów. Również sposoby...
Tales z Miletu (ok. 620 - ok. 540 p.n.e.) Grecki filozof i matematyk, prawdopodobnie pierwszy uczony i filozof europejski. Jeden z twórców jońskiej filozofii przyrody. Urodził się w Milecie (miasto greckie na wybrzeżu...
Przesyłam wam mojej roboty plik w Excelu, który liczy twierdzenie Pitagorasa i Funkcje Trygonometryczne.
Statystyka, nauka zajmująca się ilościowymi metodami badania prawidłowości zjawisk (procesów) masowych. Jej celem jest poznanie występujących prawidłowości, ich ilościowe wyrażenie oraz wyodrębnienie w nich składnika systematycznego i...
grupa A (22 pkt) Zad. 1. (4 pkt) Rozwiąż równania. a) 3(y+6) + y = 2(y+9) + 2 b) \frac{5(x-1)}{3}-\frac{3(2x-3)}{2}=2\frac{1}{2}-x Zad. 2. (3 pkt) Rozwiąż nierówność \frac{3x-5}{7}+\frac{7-5x}{14}\leq\frac{x-1}{2}-1 i przedstaw jej...
Notatnik ucznia Najważniejsze daty w historii π: - 2000 p.n.e. - Babilończycy przyjmują przybliżoną wartość π równą 3. - 250 p.n.e. - Archimedes określa z dobrą dokładnością przybliżoną wartość π jako 22/7. - 1706 - Wiliam Jones wprowadza...
Przedstawiam tutaj trzy graficzne dowody znanego twierdzenia Pitagorasa przygotowane przeze mnie w programie Paint. Mam nadzieję, że znajdzie się ktoś, komu materiały te okażą się pomocne. Powodzenia...
Na rysunku poniżej przedstawione są wykresy funkcji y = mx2 + mx + 1. Każdy z nich otrzymano w ten sposób, że literę m zastąpiono pewną liczbą. We wzorze y = mx2 + mx + 1 litera m pełni inną rolę miż x. Litera x jest zmienną, natomiast m jest...
Oto garść zadań z bardzo ciekawej gałęzi matematyki jaką jest zasada indukcji matematycznej. Zadania opracowałem na potrzeby zajęć z moimi uczniami. Może się komuś przydadzą. Zadania wraz z rozwiązaniami zamieszczone są w dwóch plikach:...
Histogram jest wykresem w ukladzie wspolrzednych. Na osi poziomej odlozone sa wielkosci zmiennej, ktora badamy i zaznaczone granice klas, na jakie pogrupowane sa zmienne. Nad kazda klasa narysowany jest slupek o takiej wysokosci odczytywanej na...
1 ARYTMETYKA I ALGEBRA *Zbiory liczbowe N-zbiór liczb naturalnych np.0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,... C-zbiór liczb całkowitych np...-3,-2,-1,0,1,2,3......
Liczba, jest podstawowym pojęciem matematyki, które powstało w świadomości człowieka na wiele tysięcy lat przed naszą erą, a następnie kształtowało się i rozwijało wraz z rozwojem cywilizacji i kultury. Z chwilą, gdy rozróżnienie między „jeden” i...
ZDANIEM w sensie logiki nazywamy wyrażenie, któemu można w sposób jednoznaczny przyporządkować jedną z dwóch ocen- prawdę lub fałsz. ZDANIE PRAWDZIWE ma wartość logiczną 1 ZDANIE FAłSZYWE ma wartość logiczną 0 SPóJNIKI LOGICZNE: * i ^ *...
Jest to chyba najbardziej znana liczba niewymierna i jednocześnie najstarsza ze znanych nam cyfr tego typu (liczy sobie ok. 4000 lat - w Egipcie znaleziono zapiski na jej temat dotowane na ten właśnie okres czasu). Jest to nic innego jak obwód...
Wektor Rachunek wektorowy jest to dział matematyki, część geometrii analitycznej, rozwijany w XIX w. głównie przez W.R. Hamiltona, irlandzkiego matematyka badający własności działań na wektorach. Wektor to uporządkowana para punktów A, B,...
Równania z jedną niewiadoma to podstawa a więc zaczynamy od równania 2x - 4 = 10 2x - 4 = 10 | +4 cztery ma przed sobą minusa a więc musimy ją dojąć itd 2x = 14 | /2 2x jest mnożeniem więc podzielimy teraz przez 2...
DROGI PRACOWNIKU !!! Słyszałem, że chciałbyś podwyżkę! Czy Ty nie masz honoru? Czy nie wiesz jak mało pracujesz? Policzmy: Rok majak wiadomo 365 dni. A Ty codziennie śpisz 8 godzin - to są 122 dni w roku. Pozostaje zatem 243 dni, poza tym...
Dwie półproste o wspólnym początku dzielą płaszczyznę na dwie części.Każda z tych części wraz z półprostymi to figura geometryczna, którą nazywamy kątem. Półproste tworzące kąt nazywamy ramionami kąta ,a ich w spólny punkt-wierzchołkiem kąta....