Cechy podzielności liczb
Cechy podzielności przez 2 Liczba jest podzielna przez 2 jeżeli w rzędzie jedności ma cyfrę:0, 2, 4, 6, lub 8. Przykłady : 24, 506, 1002, 99990 Cechy podzielności przez 3 Liczba jest podzielna przez 3 jeżeli suma jej cyfr tworzy...
Cecha podzielności liczb naturalnych
Cecha podzielności przez 2 Liczba jest podzielna przez 2 jeżeli jej ostatnia cyfra jest parzysta lub jest nią zero. Przykłady: 12, 48, 100, 124 Cecha podzielności przez 3 Liczba jest podzielna przez 3 jeżeli suma jej cyfr...
Wzory skróconego mnożenia
Oczywiście, poniżej znajdziesz rozbudowany opis każdego z tych wzorów: Kwadrat sumy (a + b)^2 to wzór określający kwadrat sumy dwóch składników a i b. Wynik tego działania to suma kwadratu pierwszego składnika (a^2), dwukrotności iloczynu...
Symbolika liczb
Liczbę 1 uważano dawno, dawno temu za liczbę najdoskonalszą. Jest to pierwsza liczba nieparzysta. Wszystkie inne liczby pochodzą od jedynki, np.2, to 1 + 1. Jeden - ile to jest: dużo czy mało? Zastanów się! Wszyscy chcą być pierwsi: w nauce, w...
Czego nauczyliśmy się będąc w klasie 1 gimnazjum?
1. Działania i liczby 1. Liczby rzeczywiste – wszystkie liczby , które odpowiadają punktom na osi liczbowej. 2. Liczby wymierne – liczby dające przedstawić się za pomocą ułamka p/q , gdzie p jest dowolną liczbą całkowitą, a q jest dowolną...
Prostopadłość prostych w przestrzeni
1. Prostopadłość prostych w przestrzeni. Proste prostopadłe na płaszczyźnie to dwie przecinające się proste, z których każda jest osią symetrii drugiej. Proste o tej właściwości są również prostopadłe w przestrzeni. Rozszerzmy jednak pojęcie...
Zakres materiału na mature z matematyki
EGZAMIN DOJRZAŁÓŚCI –ZAKRES MATERIAŁU Z MATEMATYKI I.ZBIORY 1)Działania na zbiorach 2)Relacje między zbiorami 3)Zbiory liczbowe (N,C,NW,R) 4)Przedziały liczbowe 5)Potęgowanie i pierwiastkowanie, działania 6)Logarytmowanie Pojęcie...
matematyka-czy jest potrzebna ?czy nie?
Matematyka-a cusz to za przedmiot? matematyka jest piękna i niwezwykle pożyteczna,w jej symbola twierdzeniach i zasadach kryje sie wiedza o swiecie i żadzących w nim prawach(ojejku troche pomyliłam)ale wiecie co tak naprawde mam jom w...
Systemy liczbowe ( dziesiątkowy, dwójkowy, szesnastkowy, dwunastkowy)
System liczbowy jest to sposób zapisywania i nazywania liczb. Są różne systemy liczbowe, mogą one być pozycyjne lub addycyjne. W systemie pozycyjnym wartość cyfry zależy od jej pozycji względem innych. Przedstawić można ją jako odpowiednią ilość...
Zadania z matematyki
Zadanie 19. Port w Narwiku nie zamarza, chociaż położony jest za kołem podbiegunowym północnym, ponieważ: A. osłonięty jest od strony morza wysokim falochronem, B. dociera tam Prąd Zatokowy (Golfsztrom), C. linia brzegowa jest...
Cechy podzielności liczb
Cecha podzielności przez 2: Liczba jest podzielna przez 2, jeżeli jej ostatnia cyfra jest parzysta lub wynosi zero. Przykłady: 12, 48, 100, 124 Cecha podzielności przez 3: Liczba jest podzielna przez 3, jeżeli suma jej cyfr tworzy liczbę...
Liczby
1. Liczby rzeczywiste – wszystkie liczby, które odpowiadają punktom na osi liczbowej. 2. Liczby wymierne – liczby dające przedstawić się za pomocą ułamka p/q, gdzie p jest dowolną liczbą całkowitą, a q jest dowolną liczbą naturalną (np. 1/7,...
Funkcje trygonometryczne - wzory
Oto opisy poszczególnych wzorów funkcji trygonometrycznych: 1. Wzór podwójnego kąta dla sinusoidy: \[ \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \] Ten wzór pozwala na wyrażenie sinusa podwójnego kąta za pomocą funkcji trygonometrycznych kąta...
Wzory skróconego mnożenia
Praca przedstawiona jest WORD w postaci tabelki Są tam wypisane wzory skróconego mnożenia: - kwadrat sumy - kwadrat różnicy - różnica kwadratów - sześcian sumy - sześcian różnicy - suma sześcianów - różnica sześcianów -...
Test gimnazjalny, z matmy + odpowiedzi (probny)
KOD UCZNIAPRÓBNY EGZAMIN GIMNAZJALNYZ ZAKRESU PRZEDMIOTÓWMATEMATYCZNO–PRZYRODNICZYCHInformacje:1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 12 stron. Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu nadzorującego.2. Pierwsza część arkusza zawiera 25...
Pascal Blaise
Błażej Pascal- urodził się 19 czerwca 1623 roku w mie¬ście Clermont, zmarł w 1662 r. w Paryżu. Był znakomitym fran¬cuskim filozofem, matematykiem, fizykiem i publicystą, uwa¬żany powszechnie za następcę Kartezjusza (R. Descartes). Obrońca...
Pitagoras i jego dokonania
Pitagoras żył miedzy ok. 572 - ok. 497 p.n.e. Urodził się na wyspie Samos, a zmarł w Metaponcie. Znany jest głównie z słynnego twierdzenia o trójkącie prostokątnym, powszechnie znanego jako twierdzenie Pitagorasa. Ów grecki matematyk, filozof,...
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Pitagorasa Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. Założenie: ABC jest prostokątny. Teza: a 2 + b 2 = c 2 Odwrotne twierdzenie...
Zadania tekstowe z jedną niewiadomą
Zadania tekstowe z jedną niewiadomą: Zadanie 1. Suma dwóch kolejnych liczb całkowitych wynosi 93. Jakie to liczby? Zadanie 2. Suma dwóch kolejnych liczb całkowitych wynosi 86. Znajdź te liczby. Zadanie 3. Różnica dwóch liczb...
Obwód trapezu
boki trójkąta ABC mają długości |AB|=5, |AC|=9, |BC|=6. Na boku AB odmierzamy odcinek AD długości 2cm i przez punkt D prowadzimy prostą równoległą do boku AC. Prosta ta przecina BC w punkcie E. Oblicz obwód trapezu ADEC. Wykonaj odpowiedni rysunek.
Dowody na twierdzenie Pitagorasa
Dowód 1 W każdym trójkącie prostokątnym kwadrat długości najdłuższego boku (przeciwprostokątnej) jest sumą kwadratów długości dwóch pozostałych boków (przyprostokątnych). Dlaczego? To proste: Z czterech jednakowych trójkątów i dwóch...
Diofantos - pierwszy matematyk...
Diofantos - z Aleksandrii, III wiek n.e. Był pierwszy matematyk, któy zajął się algebrą. Niewiele wiemy o jego życiu. Pewne szczegóły możemy poznać rozwiązując zadanie z Epifatium Diofanta zamieszczonego w antologii z XIV wieku mnicha Maksymusa...
Twierdzenie Pitagorasa
Regułka z twierdzenia Pitagorasa: Jeżeli trójkąt jest prostokątny to suma kwadratów długości dwóch krótszych boków trójkąta jest równakwadratowi długości najdłuższego boku. a2+b2=c2 a,b- długości przyprostokątnych c- długość...
Bryły obrotowe, algebra, wzory skróconego mnożenia
1. Bryłami obrotowymi nazywamy bryły, które powstają w wyniku obrotu figur płaskich wikół osi obrotu. 2. Wysokością walca nazywamy dwie podstawy i prostopadły ddo nich. 3. Twożąca stożka jest to odcinek łączący wierzchołek z dowolnym punktem...
Matematyka
Matematyka Matematyka była niegdyś rozumiana jako nauka o liczbach (arytmetyka) i figurach (bryłach) geometrycznych (geometria). Do dziś w popularnych encyklopediach określana jest jako nauka o wielkościach, czyli o stosunkach ilościowych i...
Liczby pierwsze - podstawowe wiadomości
To liczby naturalne, podzielne tylko przez 1 i samą siebie. Liczby 0 i 1 nie są zaliczane do liczb pierwszych, ani do złożonych. Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Twierdzenie to udowodnił w IV w. p.n.e. matematyk grecki Euklides....
Cechy przystawania trójkątów
Posługiwanie się definicją w celu stwierdzenia czy dwie figury są przystające może okazać się kłopotliwe, znacznie prościej jest sprawdzić, czy badane figury spełniają tak zwane cechy przystawania, to znaczy warunki, które gwarantują ich...
Podzielność liczb przez liczbę 6
Jeżeli chcemy sprawdzic czy liczba jest podzielna przez 6 musimy zobaczyc czy suma cyfr jes podzielna przez 3 i 2 , ponieważ 3x2=6 . Np. liczba 204 jest podzielna przez 6 , wyjaśniam dlaczego : 2+0+4 = 6 , a 6 jest podzielne przez 3 , przez 2...
Dowody twierdzenia Pitagorasa
Oto interpretacja geometryczna: jeżeli na bokach trójkąta prostokątnego zbudujemy kwadraty, to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych tego trójkąta jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. Odkrycie tego...
Kolejność wykonywania działań. Materiał dla nauczycieli. Konspekt lekcji.
Podczas działań musimy pamiętać o prawidłowej kolejności ich wykonywania. Przyjmujemy, że w działaniu nie ma nawiasów. Wówczas kolejność wykonywania działań jest następująca: potęgowanie i pierwiastkowanie, potem mnożenie i dzielenie w kolejności...
Liczby
Liczby pierwsze Liczbę naturalną, która ma dokładnie dwa dzielniki, nazywamy liczbą pierwsza. Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Znajdowanie ich nie jest jednak łatwe. Od pewnego czasu używa się do tego komputerów. Największa znana...
Geometria - definicje i wzory
1 Nierówność trójkąta Suma długości dowolnych dwóch boków trójkąta jest większa niż długość trzeciego boku A B>C B C>A A C>B 2 Wysokości trójkąta przecinają się w jednym punkcie i dzielą się w stosunku 2:1 3 Wysokość dzieli podstawę na dwie...
Pitagoras
Pitagoras (ok. 572-497 p.n.e.) grecki matematyk. Pochodził z wyspy Samos, czyli wschodniej kolonii japońskiej. Mając 40 lat, opuścił Jonię, która walczyła z Persami i odbył liczne podróże, również do Indii, gdzie zetknął się z tamtejszymi...
Symetria osiowa i środkowa
Spis treści 1. Wstęp 2. Symetria środkowa 3. Symetria osiowa 1. Wstęp Symetria, własność obiektu ze względu na różnego rodzaju przekształcenia (np. przekształcenia geometryczne). Najprostszymi symetriami geometrycznymi są: symetria...
Metody rozwiązywania równań rózniczkowych.
METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE JEDNORODNE WZGLĘDEM X i Y RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE RÓŻNYCH TYPÓW RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE NIEJEDNORODNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE RZĘDU DRUGIEGO Pobierz załącznik
Permutacje
Permutacją z powtórzeniami zbioru k elementowego nazywamy ciąg, w którym pewne elementy powtarzają się n1, n2, ..., nk razy. Liczba n elementowych permutacji wyraża się wzorem
Liczby Pierwsze
Liczby pierwsze są to takie liczby naturalne, które większe są od jedynki i podzielne bez reszty przez samą siebie i jedynkę. Jednym z pytań dotyczących liczb pierwszych, które narzuca się każdemu jest pytanie o liczbę tych liczb: ile ich jest,...
Ułamki
Ułamki zwykłe Ułamek zwykły to liczba w postaci \( \frac{a}{b} \), gdzie \( a \) i \( b \) są liczbami całkowitymi, a \( b \) jest różne od zera. Na przykład: \[ \frac{3}{4} \] Ułamek dziesiętny Ułamek dziesiętny to ułamek zapisany w...
Hiperbola
Hiperbola to krzywa płaska (dwuwymiarowa), składająca się z dwóch gałęzi zwanych hiperbolami. Równoważnie, hiperbolę można zdefiniować jako miejsce geometryczne punktów, dla których stosunek długości ogniskowej (odległość między ogniskami) do...
Logarytmy
logarytm zapisuje się skrótem log podstawa logarytmu napisana jest małą liczbą przy g liczbę logarytmowaną piszemy przy logarytmie logarytm naturalny, czyli o podstawie e zapisujemy ln logarytm bez napisanej podstawy to logarytm o podstawie 10...
Szereg geometryczny.
Definicja. Jeżeli jest ciągiem geometrycznym, to ciąg określony wzorem: nazywamy szeregiem geometrycznym lub ciągiem sum częściowych ciągu . Definicja: Jeżeli szereg jest zbieżny do skończonej granicy, to tą granicę nazywamy sumą...
Dodawanie ułamków zwykłych - konspekt - klasa 4
SCENARIUSZ ZAJĘĆ z matematyki Prowadzący: Marzena Majewska Miejsce przeprowadzonych zajęć: Społeczna Szkoła Podstawowa w Gzach Data przeprowadzenia zajęć: 14 kwietnia 2014 r. Czas trwania zajęć: 45 min Klasa: IV Temat zajęć: Dodawanie...
Sławni matematycy.
Pitagoras (ok. 572-497 p.n.e),matematyk i filozof grecki. Pochodził z wyspy Samos, czyli wschodniej kolonii jońskiej. Mając lat 40 opuścił Jonię, która walczyła z Persami, i odbył liczne podróże, również do Indii, gdzie zetknął się z tamtejszymi...
Figury płaskie i przestrzenne - pola,objętości, obwody
FIGURY PŁASKIE: -kwadrat -trójkąt -równoległobok -trapez -deltoid -koło FIGURY PRZESTRZENNE: -prostopadłościan -ostrosłup -walec -stożek -kula -sześcian foremny WSZYSTKO TO ZNAJDUJE SIĘ POD SPODEM W ZAŁĄCZNIKU
Materiały z kl III gm.:bryły obrotowe, algebra, graniastosłupy, ostrosłupy itp.
1. Bryłami obrotowymi nazywamy bryły, które powstają w wyniku obrotu figur płaskich wikół osi obrotu. 2. Wysokością walca nazywamy dwie podstawy i prostopadły ddo nich. 3. Twożąca stożka jest to odcinek łączący wierzchołek z dowolnym punktem...
Złote myśli związane z matematyką
"Między duchem a materią pośredniczy matematyka" HUGO STEINHAUS -------------------------------------------------------------------------------- "Oprócz matematyki nie istnieje żadna niezawodna wiedza z wyjątkiem tej, która wywodzi się z...