Cechy podzielności liczb
Cechy podzielności przez 2 Liczba jest podzielna przez 2 jeżeli w rzędzie jedności ma cyfrę:0, 2, 4, 6, lub 8. Przykłady : 24, 506, 1002, 99990 Cechy podzielności przez 3 Liczba jest podzielna przez 3 jeżeli suma jej cyfr tworzy...
Cecha podzielności liczb naturalnych.
Cecha podzielności przez 2 Liczba jest podzielna przez 2 jeżeli jej ostatnia cyfra jest parzysta lub jest nią zero. Przykłady: 12, 48, 100, 124 Cecha podzielności przez 3 Liczba jest podzielna przez 3 jeżeli suma jej cyfr...
Wzory skróconego mnożenia
Kwadrat sumy (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 Kwadrat różnicy (a-b)2 = a2 - 2ab + b2 Sześcian sumy (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Sześcian różnicy (a-b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 Różnica kwadratów a2-b2=(a-b) * (a+b) Suma sześcianów...
Układy równań - metoda wyznaczników
Niżej prezentuje jedną, moim zdaniem najciekawszą, z metod rozwiązywania ukladow równań. Przykladowo schemat ogolny ukladu uwzględniajacy wspolczynniki przy zmiennych. a1X + b1Y = c1 a2X + b2Y = c2 Powstają nam trzy macierze: [ a1...
Bryły Platońskie
Biografia Platona: Platon (ok. 437 - 347 p.n.e.), filozof grecki, swoje zamiłowania do filozofii zawdzięcza Sokratesowi. Po śmierci Sokratesa odbył liczne podróże podczas których poznał wiele poglądów w tym doktryny orfickie i pitagorejskie o...
Funkcje Trygonometryczne
1.Wyznacz sin i cos kąta którego ramię wodzące przechodzi przez punkt P=(8,-6)
2.Zbuduj kąt alfa wiedząc że cos alfa = - 3/7
3.Oblicz sin alfa wiedząc że cos alfa=2/5 i 270 stopni
Zbiór wzorów i definicji
1 ARYTMETYKA I ALGEBRA *Zbiory liczbowe N-zbiór liczb naturalnych np.0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,... C-zbiór liczb całkowitych np...-3,-2,-1,0,1,2,3......
Cechy podzielności.
Przez 2 i 5 Przez 2 (lub przez 5) są podzielne te i tylko te liczby, których cyfra jedności, wzięta jako liczba jest podzielna przez 2 (lub odpowiednio przez 5), lub które są zakończone zerem. Przez 4 i 25 Przez 4 (lub przez 25) są podzielne te...
Pitagoras z Samos
PITAGORAS Z SAMOS (570-496 p.n.e.) PITAGORAS Z SAMOS (572- 496 p.n.e.)- grecki matematyk i filozof, przyczynił się znacznie do rozwoju matematyki i astronomii. Był twórcą kierunku filozoficznego zwanego pitagoreizmem. Nie pozostawił po sobie...
Pomiar czasu na przestrzeni dziejów
Historia początków pomiaru czasu jest bardzo odległa i wiąże się ściśle z rozwojem badań astronomicznych. Rachuba czasu odegrała również ważną rolę w kartografii, a także miała i ma znaczenie w życiu codziennym. Powiązanie jej z astronomią wynika...
&Pi - historia
Notatka ucznia: Najważniejsze daty w historii &pi: 2000 p.n.e. - Babilończycy przyjmują przybliżoną wartość &pi równą 3. 250 p.n.e. - Archimedes określa z dobrą dokładnością przybliżoną wartość &pi jako 22/7. 1706 - Wiliam Jones...
Kąty i trójkąty - prezentacja
W prezentacji znajdziecie wszystkie niezbędne informacje na temat kątów i trójkątów. Prezentacja zawiera 73 slajdy w tym 10 zadań z rozwiązaniem.
Diofantos - pierwszy matematyk...
Diofantos - z Aleksandrii, III wiek n.e. Był pierwszy matematyk, któy zajął się algebrą. Niewiele wiemy o jego życiu. Pewne szczegóły możemy poznać rozwiązując zadanie z Epifatium Diofanta zamieszczonego w antologii z XIV wieku mnicha Maksymusa...
Liczba "pi"
LICZBA pi Jest to chyba najbardziej znana liczba niewymierna i jednocześnie najstarsza ze znanych nam cyfr tego typu (liczy sobie ok 4000 lat - w Egipcie znaleziono zapiski na jej temat dotowane na ten właśnie okres czasu). jest to nic innego jak...
Różne tematy z Matematyki
Patrz załączniki: - Trójkąt równoboczny i inne - Wektory - Granice funkcji - Wzory Wiete
Asymptoty ukośne
Asymptoty ukośne istnieją wtedy i tylko wtedy gdy nie istnieje asymptota pozioma, stad wniosek ze jesli istnieje asymptota pozioma to nie istnieje asymptota ukośna w danym otoczeniu. Schemat badania asymptoty ukośnej: liczymy granice w + i -...
Funkcje
Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y nazywamy takie przyporządkowanie,w którym każdemu elementowi zbioru X odpowiada dokładnie jeden element zbioru Y. Zdanie "Funkcja f argumentom ze zbioru X przyporządkowuje wartości ze...
Czego nauczyliśmy się będąc w klasie 1 gimnazjum?
1. Działania i liczby 1. Liczby rzeczywiste – wszystkie liczby , które odpowiadają punktom na osi liczbowej. 2. Liczby wymierne – liczby dające przedstawić się za pomocą ułamka p/q , gdzie p jest dowolną liczbą całkowitą, a q jest dowolną...
Walec, ostroslup, graniastoslup, funkcje, miejsce zerowe (mat. na spr)
1. Pole powierzchni walca Pc=2Pp+Pb Pc=2πr²+2πrH 2. Objętość walca V=Pp•H V=πr²•H 3. Objętość ostrosłupa V=⅓Pp•H Pc=Pp+Pb 4. Objętość i pole graniastosłupa V=Pp•H Pc=Pp+Pb 5. Bryłami obrotowymi nazywamy bryły, powstałe w wyniku...
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Pitagorasa. Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości przyprostokątnych. Założenie: ABC jest prostokątny. Teza: c2 = a2 + b2. Odwrotne twierdzenie Pitagorasa. Jeżeli...
Jeszcze jeden "dziwny" dowód
Cześć!! Chciałem Wam jeszcze raz przedstawić dość ciekawy dowód z matematyki. Myślę, że po moich wyjaśnieniach dotyczących dowodu równości "7=3" rozpracowanie tego problemu nie sprawi Wam wielkich trudności. A więc zaczynamy: - weźmy pod uwagę...
Symbolika liczb
Liczbę 1 uważano dawno, dawno temu za liczbę najdoskonalszą. Jest to pierwsza liczba nieparzysta. Wszystkie inne liczby pochodzą od jedynki, np.2, to 1 + 1. Jeden - ile to jest: dużo czy mało? Zastanów się! Wszyscy chcą być pierwsi: w nauce, w...
Walec, stożek, kula
Matematyka Walec jest to bryła ograniczona powierzchnią cylindryczną o kierującej zamkniętej oraz dwiema płaszczyznami równoległymi stanowiącymi podstawy walca. Za kierującą powierzchni walcowej można przyjąć kontur którejkolwiek z podstaw...
Egzaminy kompetencji z matematyki
Matematyka Zestaw egzaminacyjny I Życzę powodzenia! -------------------------------------------------------------------------------- 1. Oblicz 132% różnicy liczb: 115,4 i -84,6. a) 15 b) 1297 c) 264 d) -3 2. Doprowadź wyrażenie...
Funkcje cyklometryczne
1. y=arcsinx wtedy i tylko wtedy gdy x=siny Dziedziną jest zbiór 2. y=arccosx wtedy i tylko wtedy gdy x=cosy Dziedziną jest zbiór 3. y=arctgx wtedy i tylko wtedy gdy x=tgy Dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych 4. y=arcctgx wtedy i...
Funkcja trygonometryczna-wzory
sin(α+β)= sinαcosβ+cos sinβ sin(α-β)= sinαcosβ-cosαsinβ sin2α=2sinα cosα sinα+sinβ=2sin(α+β)/2 cos(α-β)/2 sinα-sinβ=2cos(α+β)/2 sin(α-β)/2 |sin α/2|=√(1-cosα)/2 sin3α=3sin2α-4nin3α sin(-α)=sin(180o-α) sinα=2sinα/2 cosα/2...
Ogólny schemat badania przebiegu funkcji
Spis treści 1. Ogólny schemat badania przebiegu funkcji...........................................3 2. Przykłady...................................................................................................5 1. Ogólny schemat badania...
Liczby
1. Liczby rzeczywiste – wszystkie liczby , które odpowiadają punktom na osi liczbowej. 2. Liczby wymierne – liczby dające przedstawić się za pomocą ułamka p/q , gdzie p jest dowolną liczbą całkowitą, a q jest dowolną liczbą naturalną ( np. 1/7, 3...
Zakres materiału na mature z matematyki
EGZAMIN DOJRZAŁÓŚCI –ZAKRES MATERIAŁU Z MATEMATYKI I.ZBIORY 1)Działania na zbiorach 2)Relacje między zbiorami 3)Zbiory liczbowe (N,C,NW,R) 4)Przedziały liczbowe 5)Potęgowanie i pierwiastkowanie, działania 6)Logarytmowanie Pojęcie...
Liczby wymierne - dzielenie
ILORAZ DWÓCH LICZ O RÓŻNYCH ZNAKACH JEST LICZBĄ UJEMNĄ A ILORAZ DWÓCH LICZ O TAKICH SAMYCH ZNAKACH JEST LICZBĄ DODATNIĄ. Przykład -54:9=-6 JEŚLI MAMY NIEPARZYSTĄ LICZBĘ LICZB UJEMNYCH WTEDY WYNIK BĘDZIE UJEMNY, GDY MAMY PARZYSTĄ LICZBĘ...
Dowody graficzne twierdzenia Pitagorasa
Przedstawiam tutaj trzy graficzne dowody znanego twierdzenia Pitagorasa przygotowane przeze mnie w programie Paint. Mam nadzieję, że znajdzie się ktoś, komu materiały te okażą się pomocne. Powodzenia...
Wzory skróconego monożenia
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 a2 - b2 = (a + b)(a - b) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
Podstawowe Pojęcia Logiki
ZDANIEM w sensie logiki nazywamy wyrażenie, któemu można w sposób jednoznaczny przyporządkować jedną z dwóch ocen- prawdę lub fałsz. ZDANIE PRAWDZIWE ma wartość logiczną 1 ZDANIE FAłSZYWE ma wartość logiczną 0 SPóJNIKI LOGICZNE: * i ^ *...
Matura ustna z matematyki
Egzamin maturalny ustny z matematyki - jesli ktos potrzebuje pomocy w przygotowaniu się do ustnej matury służe pomocą . Oto kontakt : [email protected]
Funkcje trygonometryczne - wzory
Funkcje trygonometryczne - wzory 1. sin2x=2sinxcosx 2. cos2x=cosxcox-sinxsinx 3. sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny 4. sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny 5. cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny 6. cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny 7. sinx+siny=2sin((x+y)/2)cos((x-y)/2)...
Cechy przystawania trójkątów
Posługiwanie się definicją w celu stwierdzenia czy dwie figury są przystające może okazać się kłopotliwe, znacznie prościej jest sprawdzić, czy badane figury spełniają tak zwane cechy przystawania, to znaczy warunki, które gwarantują ich...
Bryły obrotowe, algebra, wzory skróconego mnożenia
1. Bryłami obrotowymi nazywamy bryły, które powstają w wyniku obrotu figur płaskich wikół osi obrotu. 2. Wysokością walca nazywamy dwie podstawy i prostopadły ddo nich. 3. Twożąca stożka jest to odcinek łączący wierzchołek z dowolnym punktem...
Funkcje
FUNKCJE Definicja funkcji Funkcją nazywamy takie przekształcenie zbioru argumentów X w zbiór wartości Y, które każdemu elementowi ze zbioru X przyporządkowuje dokładnie jeden element zbioru Y. Zapisujemy to w następujący sposób: y=f(x)...
Pitagoras
Pitagoras, Pitagoras z Samos, Pythagoras, urodził się około 580 p.n.e., zmarł około 496 p.n.e., grecki matematyk i filozof; przyczynił się znacznie do rozwoju matematyki i astronomii, był twórcą kierunku filozoficznego zwanego pitagoreizmem....
Przeliczanie
DROGI PRACOWNIKU !!! Słyszałem, że chciałbyś podwyżkę! Czy Ty nie masz honoru? Czy nie wiesz jak mało pracujesz? Policzmy: Rok majak wiadomo 365 dni. A Ty codziennie śpisz 8 godzin - to są 122 dni w roku. Pozostaje zatem 243 dni, poza tym...
Wzory skróconego mnożenia
P R A C A W Z A Ł Ą C Z N I K U !!!! Praca przedstawiona jest w wordzie w formacie tabelki !!! Są tam wypisane wzory skróconego mnożenia : - kwadrat sumy - kwadrat różnicy - różnica kwadratów - sześcian sumy -...
Twierdzenie Pitagorasa
Regułka z twierdzenia Pitagorasa: Jeżeli trójkąt jest prostokątny to suma kwadratów długości dwóch krótszych boków trójkąta jest równakwadratowi długości najdłuższego boku. a2+b2=c2 a,b- długości przyprostokątnych c- długość...
Zadanie z trapezem
W trapezie podstawy mają długość 8 cm i 4 cm. Poprowadzono odcinek do nich równoległy, który dzieli pole trapezu na połowę. Oblicz długość tego odcinka.
Jak liczono kiedyś?
Liczenie jest dziś powszechną, codzienną czynnością. Ludzie liczą we wszystkich zawodach. Gdyby się przyjrzeć zawodom ludzi stwierdzamy, że używane w różnych zawodach liczby występują w różnych postaciach i służą do różnych celów. Również sposoby...