Wzory skróconego mnożenia

Kwadrat Sumy

\[
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
\]
Kwadrat sumy dwóch składników \( a \) i \( b \) jest równy sumie kwadratu pierwszego składnika (\( a^2 \)), dwukrotności iloczynu obu składników (\( 2ab \)) oraz kwadratu drugiego składnika (\( b^2 \)).

Kwadrat Różnicy

\[
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
\]
Kwadrat różnicy dwóch składników \( a \) i \( b \) jest równy różnicy kwadratu pierwszego składnika (\( a^2 \)), dwukrotności iloczynu obu składników (\( -2ab \)) oraz kwadratu drugiego składnika (\( b^2 \)).

Sześcian Sumy

\[
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
\]
Sześcian sumy dwóch składników \( a \) i \( b \) jest równy sumie sześcianu pierwszego składnika (\( a^3 \)), trzykrotnego iloczynu kwadratu pierwszego składnika i drugiego składnika (\( 3a^2b \)), trzykrotnego iloczynu pierwszego składnika i kwadratu drugiego składnika (\( 3ab^2 \)) oraz sześcianu drugiego składnika (\( b^3 \)).

Sześcian Różnicy

\[
(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3
\]
Sześcian różnicy dwóch składników \( a \) i \( b \) jest równy sumie sześcianu pierwszego składnika (\( a^3 \)), trzykrotnej różnicy iloczynu kwadratu pierwszego składnika i drugiego składnika (\( -3a^2b \)), trzykrotnego iloczynu pierwszego składnika i kwadratu drugiego składnika (\( +3ab^2 \)) oraz sześcianu drugiego składnika (\( -b^3 \)).

Różnica Kwadratów

\[
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
\]
Różnica kwadratów dwóch składników \( a \) i \( b \) jest równa iloczynowi różnicy i sumy tych dwóch składników.

Suma Sześcianów

\[
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
\]
Suma sześcianów dwóch składników \( a \) i \( b \) jest równa iloczynowi sumy tych składników oraz wyrażenia \( a^2 - ab + b^2 \).

Różnica Sześcianów

\[
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
\]
Różnica sześcianów dwóch składników \( a \) i \( b \) jest równa iloczynowi różnicy tych składników oraz wyrażenia \( a^2 + ab + b^2 \).

Kwadrat Sumy Trzech Składników

\[
(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc
\]
Kwadrat sumy trzech składników \( a \), \( b \) i \( c \) jest równy sumie kwadratów każdego składnika oraz dwukrotności iloczynów wszystkich możliwych par składników.

Przykłady

1. Kwadrat Sumy

Przykład:
\[
(3 + 4)^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 4^2 = 9 + 24 + 16 = 49
\]

2. Kwadrat Różnicy

Przykład:
\[
(5 - 2)^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2 + 2^2 = 25 - 20 + 4 = 9
\]

3. Sześcian Sumy

Przykład:
\[
(2 + 1)^3 = 2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 \cdot 1^2 + 1^3 = 8 + 12 + 6 + 1 = 27
\]

4. Sześcian Różnicy

Przykład:
\[
(4 - 1)^3 = 4^3 - 3 \cdot 4^2 \cdot 1 + 3 \cdot 4 \cdot 1^2 - 1^3 = 64 - 48 + 12 - 1 = 27
\]

5. Różnica Kwadratów

Przykład:
\[
7^2 - 3^2 = (7 - 3)(7 + 3) = 4 \cdot 10 = 40
\]

6. Suma Sześcianów

Przykład:
\[
2^3 + 3^3 = (2 + 3)(2^2 - 2 \cdot 3 + 3^2) = 5(4 - 6 + 9) = 5 \cdot 7 = 35
\]

7. Różnica Sześcianów

Przykład:
\[
5^3 - 2^3 = (5 - 2)(5^2 + 5 \cdot 2 + 2^2) = 3(25 + 10 + 4) = 3 \cdot 39 = 117
\]

8. Kwadrat Sumy Trzech Składników

Przykład:
\[
(1 + 2 + 3)^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 2 \cdot 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 \cdot 3 + 2 \cdot 2 \cdot 3 = 1 + 4 + 9 + 4 + 6 + 12 = 36
\]