Paradoks
Paradoks, zaskakujące sformułowanie, w sposób efektowny prezentujące myśl lub ideę przeciwstawiającą się stereotypowym mniemaniom. Paradoks łączy sprzeczności, formułując tym sposobem nowe prawdy. Posługuje się zwykle znaczeniami maksymalnie kontrastowymi (antyteza), ustalając między nimi stosunek wzajemnego zawierania się (inkluzji). Najprostszą formą paradoksu jest oksymoron.
Paradoks służy często aforystyce, np. Pierwszym warunkiem nieśmiertelności jest śmierć (S.J. Lec). Matematyczne paradoksy często zawierają ukryty w dowodzie błąd (np. podzielenie obu stron równania przez wyrażenie równe zeru). Formułowanie twierdzeń paradoksalnych stanowiło i stanowi nadal ważny element rozwoju ścisłego, matematycznego myślenia (paradoksy matematyczne) oraz refleksji nad konsekwencjami nowych teorii naukowych (paradoksy fizyczne).
Paradoks bliźniąt
Paradoks bliźniąt jest eksperymentem myślowym w szczególnej teorii względności, którego domniemana sprzeczność ma wskazywać na nieprawdziwość tej teorii. Pozorny paradoks wynika z rozumowania niezgodnego z STW — jak w wielu tego typu paradoksach, sprzeczność pojawia się w momencie niewłaściwego jej zastosowania.
Paradoks bliźniąt ma ogromne znaczenie dydaktyczne, gdyż jest bardzo często wykorzystywanym zagadnieniem, na przykładzie którego tłumaczone są konsekwencje szczególnej teorii względności, a dokładna analiza pomogła zrozumieć tę teorię wielu pokoleniom uczniów.
Opis doświadczenia myślowego
Na Ziemi (lub w dowolnym punkcie wszechświata, przy założeniu, że z miejscem tym wiążemy układ inercjalny) rodzą się bliźnięta, jeden z nich pozostaje na Ziemi, a drugi jest wysyłany bardzo szybkim statkiem kosmicznym w przestrzeń kosmiczną (jeśli efekt ma być znaczący, to prędkość rakiety powinna być porównywalna z prędkością światła), po pewnym czasie zawraca, ląduje na Ziemi i spotyka się ze swoim bratem bliźniakiem.
Rozważmy teraz owo zagadnienie na gruncie szczególnej teorii względności z punktu widzenia obu braci. Wiemy o tym, że zgodnie ze szczególną teorią względności czas w poruszającym się układzie odniesienia płynie wolniej (dylatacja czasu).
Bliźniak pozostający na Ziemi spodziewa się, że skoro jego brat-kosmonauta poruszał się względem niego, to jeśli dylatacja czasu jest prawdą, to po powrocie brat-kosmonauta powinien być młodszy.
Bliźniak-kosmonauta może myśleć podobnie. W jego układzie odniesienia to właśnie brat pozostały na Ziemi poruszał się względem niego, a więc to na Ziemi czas powinien płynąć wolniej, czyli to bliźniak na Ziemi powinien być młodszy od bliźniaka-kosmonauty.
Który z bliźniaków ma rację?
Przede wszystkim zauważmy, że nieprawdą jest, że układy obu braci są równoważne. Tylko z jednym z nich można związać układ inercjalny. Gdyby obaj bracia mieli zawsze poruszać się względem siebie ze stałą prędkością, to nigdy, poza momentem wyruszania kosmonauty w podróż, nie spotkaliby się (chyba, że topologia przestrzeni by to umożliwiła – wtedy co prawda obaj znajdowaliby się w układach inercjalnych, ale istniałaby możliwość sprawdzenia który realnie się porusza poprzez pomiar 'długości' wszechświata).
Paradoks ten wynika z błędnego opierania się na szczególnej teorii względności. Nie mówi ona bowiem, że wszyscy obserwatorzy są równoważni, a jedynie że równoważni są obserwatorzy znajdujący się w układach inercjalnych, tzn. takich, które poruszają się względem siebie bez przyspieszenia. W tym przypadku brat-kosmonauta musi jednak zmienić swoją prędkość (czyli mieć pewne przyspieszenie) kiedy zawraca rakietę. Nie znajduje się on więc w tym samym układzie inercjalnym, co na początku. Rację ma więc jego brat, który pozostał na Ziemi.
Rozpatrzmy teraz przykład z bliźniakami, każdy z nich ma swój zegar, zegary startują w momencie startu rakiety. Bracia zobowiązują się do wysyłania sygnałów "życzeń" co 1 rok według wskazań swoich zegarów, brat astronauta po przebyciu drogi 5 lat świetlnych zawraca i powraca na Ziemię.
Dla uproszczenia pominiemy problemy związane z rozpędzaniem, zawracaniem i zatrzymywaniem rakiety, przeciążeniami i wszystkie inne efekty.
Sytuację przedstawia wykres (diagram Minkowskiego) położenie/czas w układzie odniesienia związanym z Ziemią. Sygnał "życzeń" biegnie z prędkością światła, dla czytelności dobieramy jednostki osi tak, by światło biegło pod kątem 45 stopni do osi układu współrzędnych; układ ten odpowiada latom na osi czasu i latom świetlnym na osi przestrzeni (położenia). Prędkość statku kosmicznego, wynoszącą około 0,745 prędkości światła (na rysunku i do dalszych obliczeń przyjęto 0,75), dobrano tak, by czynnik Lorentza:
$\gamma \equiv \frac{dt}{d\tau} = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}},$
a jego odwrotność była równa 1,5 (patrz skala na osi czasu w rakiecie).
Wyjaśnienie ekspresowe: wystarczy policzyć (można na wykresie) ile życzeń wysłał każdy z braci, aby dowiedzieć się ile lat im przybyło. I tak brat na Ziemi wysłał (czerwone linie) 12 komunikatów, przybyło mu więc ponad 12 lat, zaś brat w statku wysłał 8 (zielone linie), czyli przybyło mu ponad 8 lat. Zatem brat na statku jest o blisko 4 lata młodszy (Jako że współczynnik wynosi 0,75, to brat będący w rakiecie powinien tam spędzić 12 lat ziemskich x współczynnik, czyli 9 lat; dlaczego więc wysłał życzenia tylko 8 razy? Ponieważ 9-te życzenia złoży już osobiście na Ziemi, dokładnie w momencie przylotu).
Analizy szczegółowe
Analiza w mechanice nierelatywistycznej
W mechanice nierelatywistycznej czas jest niezależny od układu współrzędnych (czas absolutny) i zegary obu braci mają takie same wskazania.
Po roku brat z rakiety wysyła sygnał, ale jest już w odległości 0,75 roku świetlnego od Ziemi – i tyle (0,75 roku) światło będzie wracało. Pierwszy sygnał z rakiety dotrze więc na Ziemię 1,75 roku po starcie (1 rok podróży rakiety + 0,75 podróży powrotnej sygnału).
W tym samym czasie (po roku) brat na Ziemi też wysyła sygnał. Sygnał ten "goni" statek kosmiczny z prędkością względną 1-0,75 = 0,25 prędkości światła, więc potrzebuje na dogonienie statku 3 lata, dotrze gdy na statku zegar będzie wskazywał 4 lata.
Widzimy brak symetrii choć nie ma powodu na wyróżnienie któregoś z braci (układu odniesienia), a obliczone czasy są sprzeczne z doświadczeniem (np. rozpadu poruszających się cząstek elementarnych). Wyróżnienie powstaje między innymi w wyniku tego, że prędkość światła uznajemy za jednakową względem Ziemi, ale wtedy w układzie statku musiałaby się zmieniać.
Mechanika relatywistyczna
Brat pozostający na Ziemi wysyła po roku sygnał, bieg sygnału ilustruje linia czerwona. Sygnał ten dociera do statku kosmicznego – zegar statku pokazuje wówczas 2,5 roku (widać na wykresie). Na Ziemi minęło 3,75 roku.
Brat w kosmosie wysyła życzenia, gdy minie u niego 1 rok (ale jest to wtedy, gdy na Ziemi minie 1,5 roku), a statek jego jest w odległości 1 roku świetlnego od Ziemi, więc sygnał dotrze do odbiorcy gdy na Ziemi będzie 2,5 roku (według obliczeń brata na statku jego brat na Ziemi otrzyma życzenia gdy zegar na statku pokazuje 3,75 roku).
Zauważmy symetrię: obaj bracia wysyłają życzenia co rok, a otrzymują co 2,5 roku, każdy z nich może tłumaczyć, że ten drugi oddala się. I wszystko jest w porządku, układy poruszają się ze stałą prędkością (są inercjalne).
Brat astronauta po 5 latach zawraca, w trakcie zawracania jest poddawany przyspieszeniu, a oznacza to, że w tym czasie nie jest w układzie inercjalnym. Po zawróceniu porusza się ze stałą prędkością, oznacza to że jest w układzie inercjalnym – ale nie w tym samym, w którym był podczas oddalania się od Ziemi.
Jaka jest różnica wieku braci? Jeżeli bratu na Ziemi przybyło t lat, to bratu w kosmosie t/1,5 czyli 2/3·t. Różnica wynosi (1-1/1,5)·t, czyli 1/3·t.
