Definicja. Jeżeli jest ciągiem geometrycznym, to ciąg określony wzorem:
nazywamy szeregiem geometrycznym lub ciągiem sum częściowych ciągu .
Definicja: Jeżeli szereg jest zbieżny do skończonej granicy, to tą granicę nazywamy sumą nieskończonego ciągu geometrycznego i oznaczamy przez Zatem
Twierdzenie: Szereg geometryczny jest zbieżny, gdy i ma wówczas sumę:
W pozostałych przypadkach szereg jest rozbieżny.
Przykład: Zamień ułamek okresowy 1, 3(2) na ułamek zwykły.
Ułamek okresowy 1, 3(2) możemy zapisać:
1, 3+0, 02+0, 02
Jeżeli pominiemy pierwszy składnik to zauważamy, że mamy do czynienia z szeregiem geometrycznym, gdzie Zatem spełniony jest warunek zbieżności.
Możemy obliczyć sumę .
. Zatem
Rozwiąż równanie, którego lewa strona jest sumą szeregu geometrycznego:
Ponieważ lewa strona jest sumą szeregu geometrycznego to musimy znaleźć oraz wyznaczyć takie liczby rzeczywiste aby spełniony był warunek zbieżności szeregu.
Zatem
więc dla
Dla równanie przyjmuje postać:
Ponieważ zarówno to równanie posiada dwa rozwiązania:
Przeczytaj podobne teksty
Treść zweryfikowana i sprawdzona
Zgodnie z misją, Redakcja serwisu dokłada wszelkich starań, aby dostarczać rzetelne i sprawdzone treści edukacyjne.
Dodatkowe oznaczenie "Sprawdzona treść" wskazuje, że dany materiał został zweryfikowany przez Redakcję lub ekspertów współpracujących z serwisem.
Weryfikacja tekstu odbywa się na następujących poziomach:
1. Sprawdzenie tekstu pod kątem ewentualnych błędów ortograficznych, stylistycznych, interpunkcyjnych lub innych.
2. Weryfikacja tekstu pod kątem błędów rzeczowych.
3. Sprawdzenie materiału pod kątem ich aktualności.
Dodatkowe oznaczenie "Sprawdzona treść" wskazuje, że dany materiał został zweryfikowany przez Redakcję lub ekspertów współpracujących z serwisem.
Weryfikacja tekstu odbywa się na następujących poziomach:
1. Sprawdzenie tekstu pod kątem ewentualnych błędów ortograficznych, stylistycznych, interpunkcyjnych lub innych.
2. Weryfikacja tekstu pod kątem błędów rzeczowych.
3. Sprawdzenie materiału pod kątem ich aktualności.