OGÓLNE WIADOMOŚCI O POLU GRAWITACYJNYM
Na ciało umieszczone w skończonej odległości od innego ciała, działa siła grawitacji (ciężkości), a wytworzone przez to ciało pole sił nazywamy polem grawitacyjnym.
Podstawową właściwością pola grawitacyjnego jest to, że na każdy punkt materialny umieszczony w tym polu działa siła zwrócona w stronę pewnego punktu zwanego środkiem ciężkości źródła pola.
Wartość siły grawitacji określa prawo powszechnego ciążenia: każde dwie masy, nawet punktowe przyciągają się wzajemnie siłą, której wartość jest wprostproporcjonalna do iloczynu mas obu ciał i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi;
F = Gm1 m2 / r2 F = ( - Gm1 m2 / r2 )
G to stała grawitacji, której wartość wyznaczono doświadczalnie; G= 6,67 10 - 11 [ Nm2/kg2 ]
Jedną z wielkości charakteryzujących pole grawitacyjne jest natężenie pola grawitacyjnego. Natężeniem pola grawitacyjnego w danym jego punkcie nazywamy stosunek siły grawitacji działającej na punkt materialny umieszczony w tym punkcie pola do wartości masy tego punktu materialnego.
g = F/m [N/kg] = [m/s2] g = Gm/r2 g = (-Gm/r2 )
Kierunek i zwrot natężenia pola jest zgodny z kierunkiem i zwrotem siły działającej. Natężenie zależy od masy źródła pola i odległości od źródła, a nie zależy od masy punktu materialnego.
PRACA W CENTRALNYM POLU GRAWITACYJNYM
Obliczam pracę wykonaną przez siłę grawitacji nad ciałem o masie m przy przemieszczeniu tego ciała w centralnym polu grawitacyjnym z punktu A do punktu B:
W = Fśr Dr cosa
Fśr = FA FB (średnia geometryczna)
FA = GMm/ rA2 FB = GMm/ rB2
Fśr = G2M2m2/ rA2 rB2 = GMm/ rA rB
W = GMm Dr cos 180 / rA rB
W = GMm (rB - rA) cos180 / rA rB
W = - GMm ( [rB - rA]/ rA rB)
W = - GMm (1/rA - 1/rB)
Na ciało przesuwające się w polu grawitacyjnym nie musi działać żadna siła zewnętrzna, czyli praca siły zewnętrznej jest równa zero. W przeciwieństwie do tego siła pola grawitacyjnego zawsze wykonuje pracę ( chyba że punkty A i B leżą w tej samej odległości od ciała centralnego). Praca siły pola grawitacyjnego różni się od pracy, jaką wykonałaby równoważąca ją siła zewnętrzna (gdyby działała) tylko znakiem:
Fg = - Fz
WFz = - WFg
Wykażę teraz, że centralne pole grawitacyjne jest polem zachowawczym. W tym celu obliczę pracę wykonaną przez siłę grawitacji na drodze ABCA:
WFg AB = - GMm (1/rA - 1/rB)
WFg BC = - GMm (1/rB - 1/rC)
WFg CA = - GMm (1/rC - 1/rA)
WFg ABCA = - GMm (1/rA - 1/rB + 1/rB - 1/rC + 1/rC - 1/rA)
WFg ABCA = 0
Z tego wynika, że centralne pole grawitacyjne jest polem zachowawczym. Praca w tym polu nie zależy więc od toru po jakim ciało się porusza, tylko od początkowego i końcowego położenia ciała.
ZADANIE 1
Oblicz pracę wykonaną przez siłę grawitacji nad ciałem o masie 1kg przy przemieszczeniu go z powierzchni Ziemii do jej środka.
F = GMm/ R2
W = F R/ 2
W = RGMm/ 2R2
W = GMm/ 2R
W = 3,13 109 J
Praca wykonana przy przemieszczeniu tego ciała z powierzchni Ziemii do jej środka ma wartość 3,13 109 J
ENERGIA
Wiemy doskonale, że energia mechaniczna układu ciał zmienia się zawsze o tyle, ile wynosi praca wykonana nad tym układem przez dowolną siłę zewnętrzną:
DE = Wz
Energia potencjalna układu ciał oddziałujących ze sobą siłami grawitacji zmienia się zawsze wtedy, gdy zmienia się wzajemne położenie tych ciał - ulegają zmianie ich wzajemne odległości. Za miarę zmiany tej energii przyjmujemy pracę siły zewnętrznej równoważącej w każdym punkcie siłę grawitacji:
DEp = W = GMm (1/rA - 1/rB)
Z tego wzoru możemy obliczyć o jaką wartość zmienia się energia potencjalna ciała o masie m, gdy zmienia się jego położenie z punktu A do punktu B pola centralnego (bez względu na to z jakiego powodu nastąpiła zmiana położenia). Gdy ciało oddala się od źródła pola grawitacyjnego, przyrost jego energii potencjalnej jest dodatni, tzn. że jego Ep wzrasta.
rA < rB 1/rA >1 /rB
Gdy ciało zbliża się do źródła pola grawitacyjnego przyrost jego energii potencjalnej jest ujemny, tzn. że jego Ep maleje.
Gdy ciało po przesunięciu zostaje w takiej samej odległości od źródła pola, przyrost jego energii potencjalnej jest równy zero, czyli jego Ep nie ulega zmianie.
Powyżej wykazałam, że centralne pole grawitacyjne jest polem zachowawczym, a w każdym polu zachowawczym zmiana energii potencjalnej ciała przy zmianie położenia między dwoma danymi punktami jest określona jednoznacznie, bo zależy tylko od położenia tych punktów. Ponadto w takim polu obowiązuje zasada zachowania energii.
Teraz postaram się ustalić jaka jest energia potencjalna ciała umieszczonego w danym punkcie pola grawitacyjnego, gdy ciało to pozostaje w spoczynku. W tym celu zakładam, że chcę obliczyć energię potencjalną ciała umieszczonego w punkcie A centralnego pola grawitacyjnego, który znajduje się w odległości rA od źródła.
Obliczam przyrost Ep przy odsuwania tego ciała z punktu A do nieskończoności, bo jak wiadomo, w nieskończoności Ep = 0. Znając energię w końcowym punkcie przesunięcia oraz jej przyrost, obliczam energię w punkcie początkowym A.
0 - EpA = DEpAĄ
DEpAĄ = - GMm (1/rA - 1/rB)
DEpAĄ = -GMm/rA - (-GMm/rB)
Ponieważ rB dąży do nieskończoności, to 1/rB dąży do zera, wobec tego:
-GMm/rA - (-GMm/rB) -GMm/rA
DEpAĄ = -GMm/rA
POTENCJAŁ POLA GRAWITACYJNEGO
Potencjałem pola grawitacyjnego w danym jego punkcie nazywamy stosunek energii potencjalnej ciała umieszczonego w tym punkcie pola do jego masy.
Potencjał pola grawitacyjnego charakteryzuje pole, a nie (w przeciwieństwie do energii potencjalnej) ciało w tym polu umieszczone. Można jednak powiedzieć, że potencjał w danym punkcie pola informuje nas o tym jaką Ep miałoby umieszczone w tym punkcie ciało próbne o masie 1kg.
V = Ep/ m
Ep = - GMm/ r
V = - GM/r
Potencjał pola zależy od odległości - wraz z jej wzrostem potencjał rośnie ( a jego wartość bezwzględna maleje )
Zbiór punktów o tym samym potencjale gromadzi się na powierzchni sferycznej zwanej powierzchnią ekwipotencjalną.
Posługując się wartością potencjału wyprowadzę uogólniony wzór na pracę:
W = DEp = Epk - Ep0
Ep = V m
W = Vk m - V0 m
W = m (Vk - V0)