profil

Praca i energia w centralnym polu grawitacyjnym.

poleca 83% 1148 głosów

Treść
Grafika
Filmy
Komentarze

PRACA I ENERGIA W CENTRALNYM POLU GRAWITACYJNYM.


OGóLNE WIADOMOśCI O POLU GRAWITACYJNYM.

Na ciało umieszczone w skończonej odległości od innego ciała, działa siła grawitacji (ciężkości), a wytworzone przez to ciało pole sił nazywamy polem grawitacyjnym
Podstawową właściwością pola grawitacyjnego jest to, że na każdy punkt materialny umieszczony w tym polu działa siła zwrócona w stronę pewnego punktu zwanego środkiem ciężkości źródła pola.
Wartość siły grawitacji określa prawo powszechnego ciążenia: każde dwie masy, nawet punktowe przyciągają się wzajemnie siłą, której wartość jest wprostproporcjonalna do iloczynu mas obu ciał i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi;


F = Gm1 m2 / r2 F = ( - Gm1 m2 / r2 )





G to stała grawitacji, której wartość wyznaczono doświadczalnie; G= 6,67 10 - 11 [ Nm2/kg2 ]

Jedną z wielkości charakteryzujących pole grawitacyjne jest natężenie pola grawitacyjnego. Natężeniem pola grawitacyjnego w danym jego punkcie nazywamy stosunek siły grawitacji działającej na punkt materialny umieszczony w tym punkcie pola do wartości masy tego punktu materialnego.

g = F/m [N/kg] = [m/s2] g = Gm/r2 g = (-Gm/r2 )

Kierunek i zwrot natężenia pola jest zgodny z kierunkiem i zwrotem siły działającej. Natężenie zależy od masy źródła pola i odległości od źródła, a nie zależy od masy punktu materialnego.

PRACA W CENTRALNYM POLU GRAWITACYJNYM.

Obliczam pracę wykonaną przez siłę grawitacji nad ciałem o masie m przy przemieszczeniu tego ciała w centralnym polu grawitacyjnym z punktu A do punktu B:



W = Fśr Dr cosa

Fśr = FA FB (średnia geometryczna)

FA = GMm/ rA2 FB = GMm/ rB2

Fśr = G2M2m2/ rA2 rB2 = GMm/ rA rB

W = GMm Dr cos 180 / rA rB
W = GMm (rB - rA) cos180 / rA rB
W = - GMm ( [rB - rA]/ rA rB)
W = - GMm (1/rA - 1/rB)

Na ciało przesuwające się w polu grawitacyjnym nie musi działać żadna siła zewnętrzna, czyli praca siły zewnętrznej jest równa zero. W przeciwieństwie do tego siła pola grawitacyjnego zawsze wykonuje pracę ( chyba że punkty A i B leżą w tej samej odległości od ciała centralnego). Praca siły pola grawitacyjnego różni się od pracy, jaką wykonałaby równoważąca ją siła zewnętrzna (gdyby działała) tylko znakiem:

Fg = - Fz
WFz = - WFg

Wykażę teraz, że centralne pole grawitacyjne jest polem zachowawczym. W tym celu obliczę pracę wykonaną przez siłę grawitacji na drodze ABCA:

WFg AB = - GMm (1/rA - 1/rB)
WFg BC = - GMm (1/rB - 1/rC)
WFg CA = - GMm (1/rC - 1/rA)
WFg ABCA = - GMm (1/rA - 1/rB + 1/rB - 1/rC + 1/rC - 1/rA)
WFg ABCA = 0

Z tego wynika, że centralne pole grawitacyjne jest polem zachowawczym. Praca w tym polu nie zależy więc od toru po jakim ciało się porusza, tylko od początkowego i końcowego położenia ciała.


ZADANIE 1

Oblicz pracę wykonaną przez siłę grawitacji nad ciałem o masie 1kg przy przemieszczeniu go z powierzchni Ziemii do jej środka.

F = GMm/ R2

W = F R/ 2
W = RGMm/ 2R2

W = GMm/ 2R

W = 3,13 109 J

Praca wykonana przy przemieszczeniu tego ciała z powierzchni Ziemii do jej środka ma wartość 3,13 109 J

ENERGIA.

Wiemy doskonale, że energia mechaniczna układu ciał zmienia się zawsze o tyle, ile wynosi praca wykonana nad tym układem przez dowolną siłę zewnętrzną:

DE = Wz

Energia potencjalna układu ciał oddziałujących ze sobą siłami grawitacji zmienia się zawsze wtedy, gdy zmienia się wzajemne położenie tych ciał - ulegają zmianie ich wzajemne odległości. Za miarę zmiany tej energii przyjmujemy pracę siły zewnętrznej równoważącej w każdym punkcie siłę grawitacji:

DEp = W = GMm (1/rA - 1/rB)

Z tego wzoru możemy obliczyć o jaką wartość zmienia się energia potencjalna ciała o masie m, gdy zmienia się jego położenie z punktu A do punktu B pola centralnego (bez względu na to z jakiego powodu nastąpiła zmiana położenia). Gdy ciało oddala się od źródła pola grawitacyjnego, przyrost jego energii potencjalnej jest dodatni, tzn. że jego Ep wzrasta.

rA < rB 1/rA >1 /rB

Gdy ciało zbliża się do źródła pola grawitacyjnego przyrost jego energii potencjalnej jest ujemny, tzn. że jego Ep maleje.
Gdy ciało po przesunięciu zostaje w takiej samej odległości od źródła pola, przyrost jego energii potencjalnej jest równy zero, czyli jego Ep nie ulega zmianie.

Powyżej wykazałam, że centralne pole grawitacyjne jest polem zachowawczym, a w każdym polu zachowawczym zmiana energii potencjalnej ciała przy zmianie położenia między dwoma danymi punktami jest określona jednoznacznie, bo zależy tylko od położenia tych punktów. Ponadto w takim polu obowiązuje zasada zachowania energii.

Teraz postaram się ustalić jaka jest energia potencjalna ciała umieszczonego w danym punkcie pola grawitacyjnego, gdy ciało to pozostaje w spoczynku. W tym celu zakładam, że chcę obliczyć energię potencjalną ciała umieszczonego w punkcie A centralnego pola grawitacyjnego, który znajduje się w odległości rA od źródła.

Obliczam przyrost Ep przy odsuwania tego ciała z punktu A do nieskończoności, bo jak wiadomo, w nieskończoności Ep = 0. Znając energię w końcowym punkcie przesunięcia oraz jej przyrost, obliczam energię w punkcie początkowym A.

0 - EpA = DEpAĄ

DEpAĄ = - GMm (1/rA - 1/rB)

DEpAĄ = -GMm/rA - (-GMm/rB)

Ponieważ rB dąży do nieskończoności, to 1/rB dąży do zera, wobec tego:

-GMm/rA - (-GMm/rB) -GMm/rA


DEpAĄ = -GMm/rA





POTENCJAŁ POLA GRAWITACYJNEGO.

Potencjałem pola grawitacyjnego w danym jego punkcie nazywamy stosunek energii potencjalnej ciała umieszczonego w tym punkcie pola do jego masy.
Potencjał pola grawitacyjnego charakteryzuje pole, a nie (w przeciwieństwie do energii potencjalnej) ciało w tym polu umieszczone. Można jednak powiedzieć, że potencjał w danym punkcie pola informuje nas o tym jaką Ep miałoby umieszczone w tym punkcie ciało próbne o masie 1kg.

V = Ep/ m

Ep = - GMm/ r

V = - GM/r

Potencjał pola zależy od odległości - wraz z jej wzrostem potencjał rośnie ( a jego wartość bezwzględna maleje )
Zbiór punktów o tym samym potencjale gromadzi się na powierzchni sferycznej zwanej powierzchnią ekwipotencjalną.

Posługując się wartością potencjału wyprowadzę uogólniony wzór na pracę:

W = DEp = Epk - Ep0

Ep = V m

W = Vk m - V0 m
W = m (Vk - V0)

Podoba się? Tak Nie
Podobne teksty:
Polecane teksty:

Czas czytania: 6 minut