Droga do szczególnej teorii względności

Postulat I. Wszystkie tożsame zjawiska fizyczne przebiegają, przy identycznych warunkach początkowych, jednakowo w inercjalnych układach odniesienia. Inaczej mówiąc, wśród IUO nie ma układu „uprzywilejowanego" i stwierdzenie stanu absolutnego ruchu nie jest możliwe.
Postulat II. Prędkość światła w próżni jest jednakowa we wszystkich kierunkach i iv dowolnym obszarze danego inercjalnego układu odniesienia i jednakowa dla wszystkich inercjalnych układów odniesienia.



Od fizyki klasycznej do relatywistyki

Z punktu widzenia współczesnej fizyki można prześledzić efekty relatywistyczne, które dawały o sobie znać na długo przed powstaniem szczególnej teorii względności.
Bezdyskusyjnie pierwszym krokiem na drodze do zbudowania szczególnej teorii względności było odkrycie przez Galileusza zasady względności zjawisk mechanicznych.
Powstaje ważne pytanie:, dlaczego Galileusz ograniczył swoją zasadę do mechaniki? Odpowiedź jest prosta: w czasach Galileusza nie było niczego takiego, jak,,inne działy fizyki". Mechanika praktycznie obejmowała całą fizykę. Jeżeli jeszcze dodać, że prawie do końca XIX w wszystkie zjawiska fizyczne próbowano tłumaczyć „mechanicznie", to stanie się jasne, że sformułowana przez Galileusza zasada względności obejmowała w swoim czasie „całą fizykę".
Następnym ważnym etapem na drodze do teorii względności było odkrycie skończoności prędkości światła. Wniosek taki wyciągnął Rmer (1676 r.) na podstawie obserwacji astronomicznych. Przed Rmerem sądzono, że prędkość rozchodzenia się światła jest nieskończona. Pomyślny wynik jego prac tłumaczymy właśnie tym, że odległości między ciałami, dla których mierzył on prędkość światła, były bardzo duże. Były to bowiem odległości między planetami Układu Słonecznego. Rmer obserwował zaćmienia księżyców Jowisza - największej planety Układu Słonecznego. Jowisz, w odróżnieniu od Ziemi, ma dwanaście księżyców. Obiektem obserwacji Rmera był księżyc Io. Astronom widział, jak księżyc przesuwał się na tle planety, pogrążał w jej cień i znikał z pola widzenia. Potem pojawiał się ponownie jak nagle zapalona lampa. Czas, który upływał między dwoma kolejnymi pojawieniami się Io zza tarczy Jowisza był równy 48 godzin i 28 minut. W ten sposób księżyc spełniał rolę ogromnego zegara niebieskiego, który w równych odcinkach czasu przesyłał sygnały na Ziemię. Pierwszych pomiarów czasu obiegu księżyca dokonał Rmer w chwili, kiedy Ziemia, krążąc wokół Słońca znajdowała się najbliżej Jowisza. Podobne pomiary dokonane 6 miesięcy później, kiedy Ziemia zwiększyła odległość od Jowisza o odcinek równy średnicy swej orbity, wykazały nieoczekiwanie, że Io wynurzał się z cienia Jowisza o 15 minut później niż należałoby oczekiwać, znając czas jego obiegu. Rmer wytłumaczył to w następujący sposób:, „Jeśli mógłbym pozostać po przeciwnej stronie orbity ziemskiej, to Io zawsze wynurzałby się z cienia w przedziwnym czasie; obserwator znajdujący się tam zobaczyłby Io 15 minut wcześniej. W naszym przypadku opóźnienie spowodowane jest tym, że światło potrzebuje 15 minut na przebycie drogi dzielącej miejsca mojej pierwszej i drugiej obserwacji". Znając opóźnienie pojawiania się księżyca oraz odległość, która to powoduje, można wyznaczyć prędkość światła dzieląc tę odległość (średnica orbity Ziemi) przez czas opóźnienia. Jak okazało się, prędkość światła jest niezwykle duża i wynosi około 300 000 km/s (przyjmując niedokładną wówczas wartość średnicy orbity Ziemi Rmer wyznaczył wartość prędkości światła na c = 214 300 km/s). Dlatego też niesłychanie trudno jest zmierzyć czas, w którym światło rozchodzi się między dwoma punktami na Ziemi. Zauważamy, że w ciągu jednej sekundy światło przebywa drogę 8-krotnie większą niż długość równika.
Zasada względności Galileusza mogła być zapisana w formie matematycznej dopiero po sformułowaniu równań mechaniki (Newton, Matematyczne zasady filozofii przyrody,1687r). Podstawowymi zmiennymi w równaniach Newtona są przestrzenne współrzędne i czas, więc do przekształcenia równań mechaniki przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego (poruszającego się względem pierwszego) potrzebne są wzory przekształcające współrzędne i czas. Z zasady względności Galileusza wynikało, że odpowiednie przekształcenia współrzędnych i czasu powinny zachowywać niezmienną postać praw Newtona. Szukanymi przekształceniami są przekształcenia Galileusza.
W 1851 r. w Panteonie w Paryżu zademonstrowano doświadczenie Foucaulta z wahadłem, wprost wykazujące obrót Ziemi i wskazujące inercjalny układ odniesienia. W istocie na tym doświadczeniu można by zakończyć wymienianie tego, co wynika z mechaniki i ma bezpośrednie odniesienie do teorii względności.
Zasada względności Galileusza, prawa Newtona i przekształcenia Galileusza są ze sobą ściśle związane. Bezpośrednią konsekwencją przekształceń Galileusza jest klasyczny wzór na składanie prędkości: v' = v-V. W1851 r. Fizeau przeprowadził doświadczenie, które jasno dowiodło, że wzór ten nie zawsze jest prawdziwy. Eksperyment Fizeau z poruszającą się wodą miał, w uproszczeniu, następujący przebieg. W układzie odniesienia K w rurce przepływała woda z prędkością V. Wyznaczano prędkość światła w wodzie. Można rozumować następująco (czysto kinematycznie): z poruszającą się wodą wiążemy inercjalny układ odniesienia K'. W układzie tym prędkość światła v' jest określona przez znany stosunek v' = c/n, gdzie n jest współczynnikiem załamania wody. Aby znaleźć prędkość światła w układzie K, należy wprost zastosować wzór v' = v-V otrzymujemy wtedy v = c/w + F. Natomiast rezultat Fizeau (potwierdzony przez współczesne pomiary) był

Widać stąd, że klasyczny wzór v' = v-V w rozważanym przypadku nie jest słuszny. Istotną rolę w powstaniu teorii względności odegrała teoria Maxwella (1856-1873). Była to pierwsza teoria polowa, w której oddziaływania przekazywane są ze skończoną prędkością - prędkością rozchodzenia się pola. Teoria dawała całkowicie określoną wartość tej prędkości; dla próżni była ona równa gdzie i są stałymi odpowiednio elektryczną i magnetyczną. Oczywiście od razu powstał problem, czy spełniona jest zasada względności; innymi słowy, czy równania Maxwella nie zmieniają swojej postaci przy przekształceniach Galileusza. Łatwo można się przekonać, że przekształcenia Galileusza zmieniają postać równań Maxwella. Powstało, zatem podejrzenie, że zasada względności nie ma zastosowania w elektrodynamice. Trzeba było upływu dziesiątek lat, aby wyjaśniło się, jakie to,,cudo" z tej teorii Maxwella. Mimo, że Maxwell niczego o teorii względności nie wiedział i nic nie podejrzewał, to jednak zbudował teorię w pełni odpowiadającą wymaganiom relatywistyki.
Teoria względności daje o sobie znać dla prędkości zbliżonych do prędkości światła w próżni (prędkości takie noszą nazwę relatywistycznych). Nie ma jednak ciał makroskopowych mających prędkości relatywistyczne. Jedynie mikro-cząsteczki mogą mieć prędkości zbliżone do prędkości światła. Pierwszą poznaną mikrocząstką jest elektron (Thomson, 1894-1896). Thomson określił eksperymentalnie stosunek ładunku elektronu do jego masy. Przeprowadzał on doświadczenia z rurami wyładowczymi, w których prędkości elektronów są dalekie od prędkości światła. W 1896 r. odkryto promieniotwórczość naturalną. Wśród emitowanych przez substancje radioaktywne promieni znaleziono również i strumień elektronów (wkrótce utożsamiono je z elektronami z rury wyładowczej). Okazało się, że prędkości tych elektronów są już porównywalne z prędkością światła. Kiedy w 1902 r. Kauffmann badał ruch takich elektronów w polach elektrycznym i magnetycznym, okazało się, że klasyczne równanie ruchu (drugie prawo Newtona) opisuje ten ruch nieprawidłowo. W ten sposób po raz pierwszy odkryto niezgodność z prawami Newtona. Reasumując można powiedzieć, że na początku XX wieku stało się jasne, iż mechanika klasyczna i przekształcenia Galileusza nie zawsze są słuszne, najszybszy zaś ze znanych sygnałów - światło - rozchodzi się ze skończoną prędkością. Chociaż nie ma obiektów makroskopowych poruszających się z prędkościami relatywistycznymi, to- jednak ludzie zawsze mieli pod ręką obiekt relatywistyczny: światło. I rzeczywiście eksperymenty optyczne odegrały ważną rolę w historii STW. Z interpretacją eksperymentów optycznych związane jest powstanie hipotezy o istnieniu „ośrodka światłonośnego". Pozbycie się tej hipotezy kosztowało niemało wysiłków, lecz obecnie wspominamy o niej jedynie jak o zamkniętym rozdziale historii fizyki.

Uogólnienie zasady względności Galileusza

Zasada względności Galileusza obejmuje jedynie zjawiska mechaniczne. Wykazaliśmy już, że drugie prawo Newtona wyrażone w postaci różniczkowej w połączeniu z przekształceniami Galileusza czyni zadość zasadzie względności. Z formalnego punktu widzenia oznacza to, że przekształcenia Galileusza nie zmieniają równania, zmieniają jedynie oznaczenia zmiennych. Pojawia się istotny problem:, dlaczego zasada względności ma dotyczyć jedynie zjawisk mechanicznych? Dlaczego nie można sądzić, że wszystkie zjawiska fizyczne przebiegają jednakowo we wszystkich układach inercjalnych, jeżeli warunki początkowe dla tych zjawisk były jednakowe? Inaczej mówiąc, dlaczego nie można dopuścić pełnego równouprawnienia wszystkich inercjalnych układów odniesienia ze względu na wszystkie zjawiska fizyczne?
Zagadnienie to nie bardzo zajmowało fizyków aż do połowy XIX wieku, gdyż fizyka sprowadzała się w tamtych czasach do mechaniki. Lecz już w połowie XIX wieku stało się jasne, że fizyka nie da się sprowadzić do mechaniki. W tym czasie zaczęło powstawać przekonanie o tym, że istnieje ogólny związek pomiędzy zjawiskami, w szczególności pomiędzy zjawiskami fizycznymi. Podział fizyki na „mechanikę", „elektryczność", „ciepło" itd. (uwarunkowany tym, że każda grupa zjawisk miała swój własny zbiór równań podstawowych) przybrał już jedynie pedagogiczny, podręcznikowy charakter, nie odzwierciedlał już podziału merytorycznego. Jeżeli przyjrzymy się uważnie nawet zjawiskom „czysto mechanicznym", to dostrzeżemy również prawidłowości innego typu. Często przytacza się, jako klasyczny przykład z mechaniki, zderzenie kul bilardowych. Lecz w momencie zderzenia, kiedy kule są nieco odkształcone, w grę wchodzą siły sprężystości o charakterze elektromagnetycznym. W przyrodzie nie ma żadnych „czysto mechanicznych" zjawisk. Jasne jest teraz, że zasada względności powinna odnosić się do „całej fizyki" lub nie obowiązywać wcale.
Zatem, z punktu widzenia fizyki z końca XIX w rozszerzenie dziedziny zastosowania zasady względności na wszystkie zjawiska fizyczne było w pełni naturalne. Takie uogólnienie zasady względności Galileusza jest właśnie tym, co nazywamy pierwszym postulatem Einsteina lub zasadą względności Einsteina.
Łatwo jednak wykazać, że równania elektrodynamiki przeczą równouprawnieniu inercjalnych układów odniesienia.
Przede wszystkim analiza podstawowego układu równań elektrodynamiki - układu równań Maxwella - prowadzi do wniosku, że równania te zmieniają swoją postać, tzn. nie zachowują stałej formy przy stosowaniu przekształceń Galileusza. Wynika z tego jednak, że zjawiska elektromagnetyczne są w różny sposób opisywane w różnych IUO. Innymi słowy, zasada względności nie dotyczy zjawisk elektromagnetycznych. Oznacza to w szczególności, że w tym układzie odniesienia, w którym równania Maxwella mają zwykłą postać, prędkość rozchodzenia się fal elektromagnetycznych (światła) c = , natomiast we wszystkich innych układach odniesienia prędkość ta ma inną wartość. Próżnia zajmuje szczególne miejsce w zbiorze układów odniesienia. Próżnia jest, dlatego próżnią, że nie zawiera żadnego ośrodka o niezerowej masie spoczynkowej. W ośrodku materialnym zawsze można wybrać taki układ odniesienia, w którym ośrodek spoczywa jako całość lub pewna ograniczona jego część. Taki układ odniesienia wyraźnie się wyróżnia. Inny układ równouprawniony z poprzednim, lecz poruszający się względem niego, również powinien mieć tę cechę, że i w nim ośrodek spoczywa. A jest to już inna sytuacja fizyczna. Zatem obecność ośrodka zawsze wyróżnia jeden z układów odniesienia spośród pozostałych. W próżni takiego układu wyróżnić się nie daje; nie ma takiego układu, w którym próżnia spoczywa. Względem próżni wszystkie układy odniesienia są równouprawnione. Z powyższego wynika, że (przy założeniu całkowitego równouprawnienia wszystkich układów inercjalnych) prędkość fal elektromagnetycznych (światła) powinna we wszystkich IUO być taka sama i wynosić
Z wnioskiem tym nie jest zgodny klasyczny wzór na przekształcenie prędkości. Niech w układzie inercjalnym K prędkość światła w próżni wynosi c. Wtedy w innym układzie inercjalnym K' prędkość światła w próżni c' =c-V. Oznacza to, że prędkość światła w próżni c jest określona wzorem jedynie w pewnym jedynym uprzywilejowanym układzie odniesienia. Zatem okazuje się, że w zakresie zjawisk elektromagnetycznych zasada względności jest niesłuszna.
Powyższe rozumowanie opierało się na niedopuszczalnym przez fizykę XIX w założeniu, mianowicie: fale elektromagnetyczne (światło) mogą rozchodzić się w próżni, czyli, inaczej mówiąc, nie jest potrzebny żaden materialny ośrodek do tego, aby możliwe było rozchodzenie się tych fal. Jest to bardzo trudny do zrozumienia punkt na drodze od fizyki klasycznej do relatywistycznej.
Co można było zrobić w takiej sytuacji? Wyłoniły się trzy logiczne możliwości:
1) Można było założyć, że zasada względności dotyczy jedynie mechaniki, nie odnosi się jednak do elektrodynamiki, która dysponuje absolutnym układem odniesienia. Lecz jak wynika z powyższych rozważań, możliwość taka zostaje wykluczona, jeżeli uwzględnimy ogólny związek wszystkich zjawisk fizycznych.
2) Można było założyć, że zasada względności ma charakter uniwersalny, ponieważ zaś układ równań Maxwella nie spełnia tej zasady, więc należało zrezygnować z tych równań. A jednak układ równań Maxwella sprawdził się jako element sprawnej i wyczerpującej teorii obowiązującej w ramach jednego inercjalnego układu odniesienia (laboratoryjnego). Z drugiej strony okazało się, że mechanika Newtona i związane z nią przekształcenia Galileusza, nie zawsze są słuszne. Dlatego dobrze by było ocalić układ równań Maxwella.
3) Jeżeli przyjmiemy, że zasada względności dotyczy wszystkich zjawisk przyrody, a równania Maxwella są słuszne, to przejście z jednego inercjalnego układu odniesienia do drugiego nie może już być opisywane przez przekształcenia Galileusza (gdyż zmieniają one postać równań Maxwella). Z drugiej strony ewentualne nowe przekształcenia nie pozostawią równań mechaniki w nie zmienionej postaci. Zatem i równania mechaniki powinny być zmienione tak, aby nowe przekształcenia nie zmieniały ich postaci.
Ostatnia możliwość zwięźle formułuje program realizowany przez szczególną teorię względności: 1) zasada względności dotyczy wszystkich zjawisk fizycznych; 2) prędkość fal elektromagnetycznych w próżni jest taka sama we wszystkich IUO (jako następstwo zachowania równań Maxwella w nie zmienionej postaci).
Jak powinny wyglądać przekształcenia czyniące zadość powyższym dwóm żądaniom? Szukanymi przekształceniami będą przekształcenia Lorentza.
Przekształcenia Lorentza
Odpowiadające sobie osie współrzędnych kartezjanskich inercjalnych układów odniesienia, nieruchomego K i poruszającego się K', są do siebie wzajemnie równoległe, przy czym układ K' porusza się ze stałą prędkością V (u) wzdłuż osi OX. Jeśli ponadto jako początek odliczania czasu w obu układach (t=0) i (t'=0) wybrany został moment, w którym początki osi współrzędnych O i O' w obu układach pokrywają się, to transformacje Lorentza są w postaci:
,y' = y, z' = z,


Prędkość światła w próżni

Prędkość światła w próżni odgrywa w przyrodzie szczególną rolę, gdyż zgodnie z współczesnymi poglądami jest ona największą możliwą prędkością rozchodzenia się oddziaływań pomiędzy ciałami. Przez rozchodzenie się oddziaływań (tzn. przekaz pewnego „działania" jednego ciała na drugie) rozumie się często przekazywanie sygnałów; zwłaszcza w teorii względności ta ostatnia terminologia stała się szczególnie popularna. Przekazać sygnał — to nic innego jak przekazać energię i pęd, które są zdolne do „włączenia" pewnego układu (na przykład do uruchomienia mechanizmu spustowego).
Przekonanie o istnieniu górnej granicy prędkości rozchodzenia się sygnałów nie jest uzasadnione czymś pierwotnym. Jednak zarówno teoria jak i doświadczenie dowodzą, że wszystkie znane oddziaływania rozchodzą się ze skończoną prędkością, a największą prędkością sygnału jest prędkość światła w próżni. Dodajmy, że prędkość ta jest równocześnie prędkością rozchodzenia się fal elektromagnetycznych o dowolnej częstości (w próżni). Jak wspomniano już wcześniej, teoria klasyczna milcząco zakładała, że sygnał może rozchodzić się nieskończenie szybko.
Jeżeli istnieje graniczna prędkość rozchodzenia się sygnałów, to jej wartość bezwzględna powinna być taka sama we wszystkich inercjalnych układach odniesienia. A wszystkie te układy są przecież, zgodnie z zasadą względności, równoprawne i żaden eksperyment nie jest w stanie wykryć różnicy pomiędzy nimi. Jeżeli graniczna prędkość rozchodzenia się oddziaływań byłaby różna w różnych inercjalnych układach odniesienia, to można by było odróżnić jeden układ inercjalny od drugiego, co jest niemożliwe w świetle uniwersalności zasady względności. Zatem prędkość światła w próżni powinna mieć tę samą wartość we wszystkich inercjalnych układach odniesienia.
A co będzie w przypadku, gdy źródło zbliża się do obserwatora lub się od niego oddala ? Taki ruch nie może mieć wpływu na wartość granicznej prędkości sygnału. Prędkość światła w próżni nie może zależeć od ruchu źródła lub obserwatora.
Widzimy, że prędkość światła w próżni ma unikalną cechę. Wszystkie prędkości są względne, tzn. zmieniają się przy przechodzeniu z jednego układu inercjalnego do drugiego. Wartość prędkości światła c jest natomiast zawsze taka sama. Chociaż nie ma uprzywilejowanego inercjalnego układu odniesienia, to istnieje jedna uprzywilejowana prędkość. Jest to nierozerwalnie związane z faktem, że fale elektromagnetyczne mogą rozchodzić się w próżni; inaczej mówiąc, nie potrzebują one żadnego ośrodka materialnego. Oczywiście założenie o istnieniu uprzywilejowanej (niezmienniczej) prędkości jawnie narusza schematy klasyczne.



Bibliografia:

W.A.Ugarow „Szczególna teoria względności”
http://www.mpancz.webpark.pl/einstein.htm
http://www.mif.pg.gda.pl/kfze/wyklady/WM2rozdzial8.pdf