Oblicz granice ciagu an
a) an=2n-9/2/3n+5
b) an=(2n-3)^2-4n^2/3n+7
c)an=2-4n/1/3n+5
d)an=(3n-1)^2-9n^2/2n+7
z wyjasnieniem

1. Liczby zespolone
Zadanie 1.1 Oblicz:
a) (
√
3+i)(−1−
√
3i)
1+i
b) (3+i)
2
(4i+1)−i
(2+i)
3
Zadanie 1.2 Zaznacz na płaszczyźnie Gaussa zbiór:
a) {z : |z| > 3}
b) {z : |z − i| ¬ 1}
c) {z : 4 ¬ |z + 1 + i| < 9}
Zadanie 1.3 Wykaż, że suma z1z2 + z1z2 jest liczbą rzeczywistą.
Zadanie 1.4 Przedstaw liczby w postaci trygonometrycznej:
a) 5 − 5
√
3, b) 5+i
2+3i
, c) 3i, d) 5, e) −2, f) −1 −
√
3i
Zadanie 1.5 Wyraź: a) cos 5φ, b) sin 5φ jako funkcją sin φ, cos φ
Zadanie 1.6 Oblicz:
a) (−1+√
3i)
15
(1−i)
20 , b) (1 + i)
100
Zadanie 1.7 Oblicz:
a) √4 −2, b) √6
1, c) 4
q
1 + i
√
3
Zadanie 1.8 Rozwiąż równania:
a) x
2 + x + 1 = 0
b) z
2 + 2iz − 5 = 0
c) z
4 + 1 = 8
d) z
5 − i = 0
e) z
3 + z = 0
f) z
2 − (2 + i)z + (−1 + 7i) = 0
g) (2 + i)z
2 −
√
5iz + 2 − i = 0
h) z
2 + (2 + i)z + 2i − 4 = 0
i) z
3 + z
2 + z + 1 = 0
2. Algebra
Zadanie 2.1 Wyznacz wszystkie wartości parametru p ∈ R dla któ-
rych prawdziwa równość
" 1 0
0 1 #
p +
"
1 2
0 1 #!2
=
"
1 4
0 1 #
1
Zadanie 2.2 Oblicz wyznacznik macierzy AB − C, jeżeli
A =



1
2
3


 , B =
h
1 3 −2
i
, C =



−2 −3 −2
−2 5 4
3 9 −7



Zadanie 2.3 Wyrażenie v
1−i
zapisać w postaci algebraicznej, jeżeli
v =









1 1 1 1
1 −1 1 −1
1 i −1 −i
1 −i −1 i









Zadanie 2.4 Oblicz wyznaczniki
a)









1 3 4 5
3 0 0 2
5 1 2 7
3 0 1 2









b)











−1 2 1 0 1
3 2 −1 1 0
1 6 1 1 2
2 −4 −2 0 −1
3 −1 2 1 0











c)











0 7 0 0 6
0 5 0 0 5
7 6 2 1 4
9 4 0 1 8
3 8 0 0 4











Zadanie 2.5 Wyznacz rząd macierzy
a)





2 1 −3 5 −1
2 1 −3 5 −1
1 −1 2 3 1
0 0 0 1 −1





b)







−1 2 −1 3
1 −1 0 −1
1 0 −1 1
−1 −1 2 −3
2 −1 −1 0







2
Zadanie 2.6 Dla jakich wartości parametru α układ równań jest
układem Cramera



x + y + αz = 1
x − αy + z = −11
x − y + z = α
Zadanie 2.7 Rozwiąż układy równań
a)



x + y + z + t = 5
x + 2y − z + t = 2
3x + 3z + t = 8
b)



x + 2y − z − t = 1
2x − y + z − 2t = 2
3x + y − 3t = 3
5x + z − 5t = 5
c)



x + 2y + z = 1
3x + 7y + 6z = 3
x + 3y + 4z = 1
2x + 3y − z = 2
x + 4y + 7z = 1
Zadanie 2.8 Metodą Gaussa rozwiąż układy równań
a)



3x − 2y − 5z + t = 3
2x − 3y + z + 5t = −3
x + 2y − 4t = −3
x − y − 4z + 9t = 22
b)



x + y + z + 2t = 0
x + y − z + 2t = 1
x − y + z − 2t = 4
−x + y − z + 2t = −4
Zadanie 2.9 Znaleźć zbiór liczb zespolonych z dla których maierz
A =



1 0 z
0 1 + z 0
z 0 1



3
jest nieosobliwa. Oblicz A−1 dla z = i.
Zadanie 2.10 Rozwiąż równania macierzowe
a)



1 2 −3
3 2 −4
2 −1 0


 · Y +



0 1 0
−5 −1 −3
−4 −3 −3


 =



1 −2 0
5 1 4
6 4 5



b)
"
0 −1
1 0 #
· B ·



1 0 0
1 1 0
1 1 0


 =
"
−1 0 0
2 2 1 #
c) Y ·



2 2 −1
2 −1 2
−1 2 2


 =
"
5 5 2
5 8 −1
#
Zadanie 2.11 Znaleźć wartości własne oraz wektory własne macierzy
a) A =



1 0 4
0 3 0
1 0 1


 b) B =



5 6 −3
−1 0 1
1 2 −1



c) C =



2 −1 2
5 −3 3
−1 0 −2



3. Geometria analityczna w R
3
Zadanie 3.1 Sprawdź, czy wektory ~a,
~b i ~c są współpłaszczyznowe, jeśli
~p, ~q i ~r nie są współpłaszczyznowe, jeśli ~a = −3~p+2~q−2~r,
~b = ~p−4~q+~r
i ~c = 4~p + 2~q − 6~r
Zadanie 3.2 Znaleźć kąt między przekątnymi równoległoboku zbudowanego
na wektorach ~a = [6, 1, −3],
~b = [−2, 2, 4]
Zadanie 3.3 Znaleźć wektor prostopadły do wektorów ~a = [2, 3, −1],
~b = [1, −2, 3] i spełniający równanie ~x · [2, −1, 1] = −6
Zadanie 3.4 Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach:
A = (2, −1, 0),B = (3, −3, 5),C = (4, 0, 7)
Zadanie 3.5 Sprawdź, czy punkty:
A = (2, −1, 0), B = (3, −2, 1), C = (0, 2, 1), D = (1, −1, 2) leżą w
jednej płaszczyźnie.
Zadanie 3.6 Oblicz objętość czworościanu o wierzchołkach:
A = (3, 1, 1), B = (1, 4, 1), C = (1, 1, 7), D = (3, 4, 9).
Zadanie 3.7 Wektor ~a tworzy z osiami OX i OZ kąty odpowiednio
4
60o
i 45o
. Znaleźć kąt między wektorem ~a a osią OY .
4. Krzywe stożkowe
Zadanie 4.1 Dana jest elipsa o równaniu 12x
2 + 16x
2 = 192. Znaleźć
jej mimośród i równania kierownic.
Zadanie 4.2 Na elipsie znaleźć punkty, których odległość od prawego
ogniska jest cztery razy większa od odległości od lewego ogniska. Równanie
elipsy 36x
2 + 100y
2 = 3600.
Zadanie 4.3 W elipsę wpisano sześciokąt o równych bokach, któ-
rego dwa wierzchołki leżą w końcach osi małej. Znaleźć współrzędne
pozostałych wierzchołków sześciokąta, wiedząc, że elipsa ma równanie
36x
2 + 4y
2 = 144.
Zadanie 4.4 Napisz równania stycznych do elipsy 9x
2 + 16y
2 = 144
równoległych do prostej x + y − 1 = 0.
Zadanie 4.5 Dane są dwa punkty A(6, −1) i B(−8, 2
√
2) leżące ma
hiperboli o ogniskach położonych na osi odciętych symetrycznie wzglę-
dem początku układu. Wyznacz jej równanie.
Zadanie 4.6 Napisz równanie hiperboli o ogniskach leżących w wierzchołkach
osi wielkiej elipsy 16x
2 + 25y
2 = 400 i kierownicach przechodzących
przez ogniska danej elipsy.
Zadanie 4.7 Napisz równania stycznych do hiperboli poprowadzonych
z punktu A(1, 4). Równanie hiperboli 4x
2 − y
2 = 4.
Zadanie 4.8 Napisz równanie hiperboli mając dane jej asymptoty
y = ±
1
2
x i równanie jednej ze stycznych 5x − 6y − 8 = 0.
Zadanie 4.9 Znaleźć ognisko F i równanie kierownicy paraboli
y
2 = 12x.
Zadanie 4.10 Napisz równanie paraboli mając dane jej ognisko F(2, −1)
i równanie kierownicy x − y − 1 = 0.
Zadanie 4.11 Dane jest równanie paraboli x = −
1
4
y
2 +y. Wyznaczyć
jej wierzchołek A, ognisko F i równanie kierownicy.
Zadanie 4.12 Napisz równania wspólnych stycznych do elipsy
4x
2 + 9y
2 = 180 i paraboli y
2 =
20
3
x.
5. Prosta i płaszczyzna w R
3
Zadanie 5.1 Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt
P(2, −1, 3) i prostą L :
x−1
2 =
y
−1 =
z+5
8
5
Zadanie 5.2 Znaleźć odległość punktu P(1, −2, 3) od prostej
L :



x = 2 − 3x
y = 1 + t
z = 2t
oraz od płaszczyzny π : 3x − 2y + 5z − 1 = 0
Zadanie 5.3 Znaleźć odległość między prostymi L1 :
x−1
2 =
y
1 =
z+2
3
L2 :
x
5 =
y−1
7 =
z+3
4
Zadanie 5.4 Znaleźć rzut prostokątny prostej
L :
(
2x − y + 3z + 1 = 0
x + y + z + 2 = 0
na płaszczyznę π : 2x + 3y + 4z + 5 = 0.
Zadanie 5.5 Przez punkt P(2, −1, 3) przeprowadzono płaszczyzny,
z których jedna zawiera oś Ox, a druga oś Oy. Znaleźć kąt pomiędzy
tymi płaszczyznami.
Zadanie 5.6 Dane są: punkt A(3, −1, 2), prosta L :
x−1
3 =
y+2
5 =
z
−1
oraz płaszczyzna π : 4x + 7y − z + 2 = 0. Znaleźć punkty B, C, D
symetryczne do A względem odpowiednio: punktu P(1, −1, 3), prostej
L i płaszczyzny π.
Zadanie 5.7 Dany jest trójkąt ABC, gdzie A(2, −1, 3), B(1, 5, −4),
C(−3, 1, 7). Znaleźć równania prostych leżących w płaszczyźnie tego
trójkąta i będących:
a) środkową boku AB
b) symetralną boku AB
c) wysokością poprowadzoną z wierzchołka C
d) dwusieczną kąta przy wierzchołku A
Obliczyć pole i znaleźć środek ciężkości tego trójkąta.
6. Powierzchnie stopnia drugiego
Zadanie 6.1 Naszkicuj powierzchnię:
a) z =
√
4 − x
2 − y
2
b) x
2 + y
2 + z
2 − x + y − 3z = 2
c) z = 5 −
√
1 − x
2 − y
2
d) z
2 = x
2 + y
2
e) z = 2 −
√
x
2 + y
2
f) z
2 = 2x
2 + 3y
2
g) z =
x
2
5 +
y
2
3
h) z = 5 − 2x
2 − 2y
2
i) fracx24 + y
2
9 +
z
2
16 = 1
6
j) 9x
2 + 4y
2 + 9z
2 − 18x + 16y + 18z − 2 = 0
k) x
2
4 +
y
2
9 −
z
2
16 = 1
l) x
2
4 +
y
2
9 −
z
2
16 = −1
m) x
2 + y
2 = R2
, z ∈ R
n) x
2
4 − y
2 = 1, z ∈ R
o) 2z = x
2 − y
2
p) y
2 = 4x
Zadanie 6.2 Jakie powierzchnie określają równania:
a) 2x
2 + 4y
2 + 9z
2 − 4x + 16y + 18z − 9 = 0
b) x
2 + 9y
2 − 2z
2 + 2x − 18y − 12z − 26 = 0
c) 9x
2 + y
2 + 72x − 4y − 18z + 112 = 0
Zadanie 6.3 Wyznacz przekroje hiperboloidy jednopowłokowej
4x
2 + 36y
2 − 9z
2 − 36 = 0 płaszczyznami x = 2, y = 4, z = 3.
Zadanie 6.4 Wyznacz przekroje hiperboloidy dwupowłokowej
x
2 + y
2 − z
2 = −1 płaszczyznami z = 3, x = 1, y = 2.
Zadanie 6.5 Wyznacz przekroje paraboloidy hiperbolicznej
x
2 − 3y
2 − 12z = 0 płaszczyznami z = 0, x = 1, y = 1.
Zadanie 6.6 Wyznacz przekroje stożka z
2 = 2x
2 + 2y
2 płaszczyznami
y = x, z = −2, z = x + 2, x = 1.
7. Ciągi
Zadanie 7.1 Wykaż, że ciąg o wyrazie ogólnym an =
2n−1
3n+1 jest rosnący.
Zadanie 7.2 Dane są ciągi o wyrazach ogólnych:
a) an =
5n
2
n2+3
b) bn = (−1)n 2n
n+1 sin n
c) cn = n cos πn
Które z tych ciągów sa ograniczone, a które nieograniczone?
Zadanie 7.3 Wykaż, posługując się definicją granicy ciągu, że:
limx→∞
2n − 1
2n + 1
= 1
Zadanie 7.4 Oblicz granice ciągów:
a) an =
3n
2 + n
1 − 2n2
b) an =
n − 1
2n2 + 3
7
c) an =
n
3 − 1
n − 1
d) an =
√
n2 + 1 −
√
n2 + n + 2
e) an = n −
√
4n2 + 7
f) an =
2
n −
√
n2 + n
g) an =
√3
n3 + 5n − n
h) an =
2 · 6
n−2 + 4
6 − 3 · 6
n+3
i) an =
√n
4
n + 8n + 9n
k) an =
√n
10100 −
n
s
1
10100
l) an =
q
n +
√
n −
q
n −
√
n
m) an = (1 + 1
n
)
34
n) an = (n
2 + 4
n2
)
n
2+2
o) an =
ln (1 + 3
n
)
1
n
p) an =
1 + 1
2 + . . . +
1
2n−3
1 + 1
3 + . . . +
1
3n+1
r) an =
1
√
n2 + 1
+
1
√
n2 + 2
+ . . . +
1
√
n2 + n
s) an =
sin n
n
t) an = ( n
2 + 1
2n2 + 3
)
n
2
8
8. Szeregi liczbowe
Zadanie 8.1 Zbadać zbieżność szeregu:
1) X∞
n=1
(n
2
sin
2
n
tg
5
n
)
2) X∞
n=1
ln(1 + 1
n
)
3) X∞
n=1
sin
n!π
6
4) X∞
n=1
√
2n + 2 −
√
n + 1
n
5) X∞
n=1
2
n + 3n
6
n
6) X∞
n=1
2
nn!
nn
7) X∞
n=1
(
√
n −
√
n − 1)
8) X∞
n=1
3
nn!
nn
9) X∞
n=1
2 + (−1)n
2
n
10) X∞
n=2
n! + 2n
n3 − n
11) X∞
n=1
1
n ln n
12) X∞
n=1
n
4
n
(2 + (−1)n
)
13) X∞
n=1
3
5n + 2
14) X∞
n=1
(n + 1)n
nn+1
15) X∞
n=1
4
5n2 + 2
16) X∞
n=1
(−1)n√
n
n + 1
9
17) X∞
n=2
n + 1
n2 − n
18) X∞
n=1
(−1)n
√
n + 1 −
√
n
19) X∞
n=1
1
n
sin
1
n
20) X∞
n=1
(−1)n+1 10n
n!
21) X∞
n=1
1
n
cos
1
n
22) X∞
n=1
sin n
√
n
n
√
n
23) X∞
n=1
ln n
2 + 1
n2
24) X∞
n=1
(−1)n
ln n
n
25) X∞
n=2
1
ln n
26) X∞
n=1
sin nα
(ln 10)n
27) X∞
n=2
ln 
1 −
1
n

28) X∞
n=1
n
2 + 2n
n!
29) X∞
n=1
tg
3
n2
· cos
2
√
n
.
10
9. Funkcje jednej zmiennej - pojęcia wstępne
Zadanie 9.1 Znaleźć dziedzinę funkcji:
a) y = √
1
|x|+x
b) y =
√
9 − x
2 + log x+1
x−2
c) y =
q
cos √
x
d) y = log (3 sin2 x − 4)
e) y = arc cos 2x
x2+3
f) y = arc sin (1 − x) + ln (ln x)
Zadanie 9.2 Znaleźć funkcję odwrotną do danej. Wykonać wykresy.
Podać dziedzinę i przeciwdziedzinę obu funkcji.
a) f(x) = log3 x
b) f(x) = 2x − x
2
, dla x ­ 1
c) f(x) = x+1
x−1
Zadanie 9.3 Dla danych funkcji f, g utworzyć funkcje złożone f(g)
oraz g(f), gdzie:
a) f(x) = √
x, g(x) = ln x
b) f(x) = √
1
x
, g(x) = ln (−x)
Zadanie 9.4 Rozwiąż nierówność:
arc sin2 x −
3
4
π arc sin x +
π
2
8 < 0
Zadanie 9.5 Sprawdź równości:
a) arc sin x + arc cos x =
π
2
, dla x ∈< −1, 1 >
b) arc tg x + arc ctg x =
π
2
, dla x ∈ R
10. Granice i ciągłość funkcji
Zadanie 10.1 Posługując się definicją granicy funkcji wykazać, że:
limx→2
3x + 1
5x + 4
=
1
2
Zadanie 10.2 Wykaż, że nie istnieje granica:
limx→∞
sin x
11
Zadanie 10.3 Obliczyć granice funkcji
a) limx→1
√3 x − 1
√5 x − 1
b) lim x→−∞
(x +
√
x
2 − 3x + 2)
c) lim
x→1−
arc cos x
1 − x
2
d) limx→0
(1 + kx)
1
x k ∈ R
e) limx→∞
(1 + k
x
)
x
k ∈ R
f) limx→5
(x − 4)
1
x2−6x+5
g) lim
x→0−
arc tg
1
x
h) lim x→+∞
ln sin arc tg x
i) limx→2
2
−1
(x−2)2
j) lim
x→0+
1 −
√
cos x
1 − cos √
x
Zadanie 10.4 Zbadać ciłgłość funkcji:
f(x) =



1
x2 dla x ∈ (−∞, −1)
arc cos x dla x ∈< −1, 1 >
x
2 − 1 dla x ∈ (1, +∞)
Wykonać wykres tej funkcji.
Zadanie 10.5 Znaleźć takie C, by funkcja:
f(x) = ( tg 3x
sin 2x
dla x 6= 0
C dla x = 0
była ciągła w przedziale (−
π
6
,
π
6
).
12
11. Pochodna funkcji
Zadanie 11.1 Posługując się definicją pochodnej znaleźć pochodne
funkcji:
a) y = cos 2x, w dowolnym punkcie x ∈ R
b) y = 5x
2 − 2x, w punkcie x0 = 1
Zadanie 11.2 Zbadać różniczkowalność funkcji:
a) f(x) = | ln x|, w punkcie x = 1
b) f(x) = | cos x|, w punktach x =
π
2 + nπ, n ∈ C
Zadanie 11.3 Oblicz pochodne funkcji:
a)
f(x) = arc sin 2x
1 + x
2
b)
f(x) = arc cos √
x
c)
f(x) = √3
2e
x + 2x + 1 + ln5
x
d)
f(x) = ln (x +
√
x
2 + 1)
e)
f(x) = x
s
1
x
f)
f(x) = x
1
ln x
g)
f(x) = x
x
x
Zadanie 11.4 W jakim punkcie styczna do linii f(x) = x−8
x+1 tworzy
z osią OX kąt π
4
.
Zadanie 11.5 Znaleźć kąt pod jakim przecinają się krzywe:
a) y = x
2
, y =
1
x
b) y = cos x, y = sin x
13
12. Reguła de L’Hospitala
Zadanie 12.1 Oblicz granice:
a) lim
x→0+
ln x arc tg x
b) lim x→+∞
sin 1
x
arc ctg x
c) lim
x→0−
e
1
x2
ctg x
d) lim
x→0+
(ctg x)
sin x
e) lim
x→0+
(arc tg x)
sin x
f) limx→0
(
2
π
arc cos x)
1
x
g) lim x→+∞
(ln x)
e−x
h) lim x→+∞
[(x + 1)e
1
x − x]
i) limx→0
(1 − tg x)
ctg x
j) lim
x→0+
(
1
arc tg x
− ln x)
k) limx→0
(cos 2x)
1
x2
l) lim
x→0+
(cos x)
ctg x
m) lim
x→− π
2
+
e
tg x
cos2 x
n) limx→0
(
tg x
x
)
1
x
o) limx→∞
[x − x
2
ln(1 + 1
x
)]
p) lim x→+∞
x − cos x
x + sin x
q) lim
x→1−
e
√
1−x − 1
sin(x − 1)
r) limx→0
(
1
x
2
−
1
sin2 x
)
s) lim
x→0+
(
cos x
x
−
e
x
sin x
)
t) lim x→+∞
(x
3
e
1
x −
1
2
x − x
2 − x
3
)
14
u) limx→0
(x + 1)ln x
w) limx→0
x ln x
x) limx→0
(sin x)
tg x
y) limx→0
(arctgx)
ln x
13. Monotoniczność, wypukłość, ekstrema, punkty
przegięcia, asymptoty
Zadanie 13.1 Znaleźć przedziały monotoniczności funkcji:
a) y =
1 − x
2
2x
b) y = x ln2
x
c) y = xe
1
x−2
d) y = x
√
2 − x
2
Zadanie 13.2 Znaleźć przedziały wypukłości ku dołowi i ku górze
funkcji
a) y =
x
3
x
2 − 1
b) y =
ln x
x
c) y = x
4
e
−x
d) y = x
√3
x − 1
Zadanie 13.3 Znaleźć ekstrema lokalne funkcji
a) y =
x
2 − 2x + 1
x
2 − 4
b) y =
x
ln x
c) y = x
2
e
−x
d) y = x
q
(1 − x
2
)
3
Zadanie 13.4 Znaleźć punkty przegięcia funkcji
a) y =
x
2 − 5x + 6
x
2 + 1
15
b) y = x ln x
c) y = (x
2 − 3)e
x
d) y = x
s
2 − x
2 + x
Zadanie 13.5 Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji w
przedziale domkniętym
a) y =
2x
x
2 + 1
< −2, 2 >
b) y = cos x +
1
2
cos 2x < 0, 2π >
c) y =
√
5 − 4x < −1, 1 >
d) y = x
2
ln x <
1
e
, e >
Zadanie 13.6 Znaleźć równania asymptot wykresów funkcji
a) y = x arc tg x
b) y =
ln(1 + x)
x
c) y = xe− 1
x
d) y = x
√
x
2 − 1
14. Przebieg zmienności funkcji
Zadanie 14.1 Zbadać przebieg zmienności funkcji:
a) y =
√
x ln x
b) y =
1
ln x
c) y = e
x
x−1
d) y = xe
1
x
e) y =
x
2 − 5x + 4
x − 5
f) y =
x
3
(x − 1)2
g) y = x
√
x + 4
16
h) y =
s
x − 1
x + 1
i) y = arc tg(ln x)
j) y =
q
(1 − x
2
)
3
k) y = x − 2arctgx
l) y =
1
xex
15. Całka nieoznaczona
Zadanie 15.1 Oblicz:
a) Z
x(x
2 + 3)10dx
b) Z
x cos 7xdx
c) Z
xe5x
dx
d) Z
ln4
x
x
dx
e) Z
sin √
xdx
f) Z
x
3
√3
x
2 + 1
dx
g) Z
x
2
1 + x
6
dx
h) Z
1
(3x + 2)5
dx
i) Z
2x − 5
x
2 + x + 4
dx
j) Z
x
2 − 3x
x
2 + 6x + 5
dx
k) Z
x
6
x
2 + 1
dx
l) Z
1
(x
2 + 6x + 9)2
dx
m) Z
x + 1
√
x
2 + 4x − 5
dx
17
n) Z
2x + 1
√
1 − x − x
2
dx
o) Z
x
3 + 2
√
x
2 + 4x + 7
dx
p) Z s
x + 2
x − 1
dx
r) Z √
x
2 − 4dx
s) Z
sin5 x cos2 xdx
t) Z
sin3 x
cos6 x
dx
u) Z
1
sin4 x
dx
w) Z
1
1 + cos x
dx
x) Z √
e
xdx
y) Z
ln(x +
√
x
2 + 1)dx
16. Całka oznaczona i zastosowania geometryczne
Zadanie 16.1 Obliczyć całki:
a)
Z e
1
ln x
x
dx
b)
Z π
4
0
cos2 x sin xdx
c)
Z 2
−2
3x − 7
x
3 + x
2 + 4x + 4
dx
d)
Z 0
−2
ln(1 − x)dx
e)
Z 1
−1
(e
5x + 25x
)dx
18
f)
Z 4
0
dx
√
4 − x
g)
Z 8
0
x
√
8x − x
2
dx
h)
Z 1
0
√
ln x
x
dx
i)
Z 3
2
xdx
√
−x
2 − 6x − 8
j)
Z π
2
0
ctg xdx
k)
Z ∞
0
xe−3x
dx
l)
Z ∞
1
dx
x
4 + x
2
m)
Z 0
−∞
e
3x
dx
n)
Z ∞
1
1
x
√
x
2 − 1
dx
o)
Z ∞
0
arc tg x
(
√
1 + x
2
)
3
dx
p)
Z ∞
2
1
x
2 + x − 2
dx
r)
Z 1
0
e
− 1
x
x
3
dx
s)
Z ∞
−∞
dx
5x
2 − 4x + 1
t)
Z 2
1
dx
√
−x
2 + 3x − 2
19