profil

satysfakcja 53 % 72 głosów

Zmienne losowe

drukuj
Treść
Obrazy
Wideo
Opinie

Zmienne losowe

Dla określenia zmiennej losowej potrzebna jest znajomość tzw. trójki probabilistycznej. Załóżmy, że dana jest przestrzeń probabilistyczna (E, S, P).

Zmienną losową X nazywamy funkcję rzeczywistą określoną na przestrzeni zdarzeń elementarnych E i mierzalną względem ciała zdarzeń S:
,
która każdemu zdarzeniu elementarnemu eE przyporządkowuje liczbę rzeczywistą X(e)R
Jest zmienną, która w wyniku doświadczenia (losowego) przyjmuje jedną i tylko jedną wartość ze zbioru wszystkich wartości, jakie zmienna ta może przyjąć.
Jest to wielkość, która na skutek przeprowadzonego doświadczenia przyjmuje określoną wartość, znaną dopiero po wykonaniu tego doświadczenia (oznaczenie: X, Y, wartości, jakie przyjmuje: x, y).
Wzajemne przyporządkowanie zmiennych losowych i zdarzeń jest jednoznaczne,

Rodzaje zmiennych losowych:
 skokowa (dyskretna) – jest to zmienna, która posiada skończony lub policzalny zbiór wartości, najczęściej są to liczby naturalne (np. liczba oczek wyrzucona za pomocą kostki do gry),
 ciągła – jest to zmienna, która może przybierać dowolne wartości liczbowe (rzeczywiste) z pewnego przedziału, nieskończonego i niepoliczalnego (np. stężenie procentowe roztworu).

Zmienna losowa skokowa

Dla zmiennej losowej skokowej X, która przybiera wartości: x1, x2, ..., xn i odpowiadającym i prawdopodobieństwom p1, p2, ..., pn, definiuje się funkcję rozkładu prawdopodobieństwa jako:


Dystrybuantą zmienne losowej X nazywany funkcję F(x) zmiennej rzeczywistej x, która wyznacza prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa X przyjmie w uporządkowanym zbiorze x1 ≤ x2 ... ≤ xi ≤ ...xn-1≤ xn wartość mniejszą od x:


Dla zmiennej losowej skokowej:


Własności dystrybuanty:
 przyjmuje wartości z przedziału 0 ≤ F(x) ≤ 1 dla x  (–;+);
 jest funkcją niemalejącą, tzn. dla x1 < x2 zawsze F(x1) ≤ F(x2);
 jest funkcją lewostronnie ciągłą;
 oraz .

Przykład 1
Rzucamy trzykrotnie monetą. Zmienną losową oznaczamy liczbę uzyskanych orłów. Przestrzeń zdarzeń elementarnych E = {(RRR), (ROR), (RRO), (ORR), (OOO), (ROO), (OOR), (ORO)}

i Wartość zmiennej losowej xi P(X = xi) Prawdopodobieństwo pi
1 0 P(X = 0) 1/8
2 1 P(X = 1) 3/8
3 2 P(X = 2) 3/8
4 3 P(X = 3) 1/8




Dystrybuanta zmiennej losowej:


P(X = 2) = 3/8 P(X > 2) = P(X > 3) – P(X ≤ 3) = 1 – 7/8 = 1/8
P(X ≤ 2) = 4/8 P(X  2) = P(X > 3) – P(X ≤ 2) = 1 – 4/8 = 6/8
P(X < 2) = 1/8

Parametry zmiennej losowej lub parametry rozkładu zmiennej losowej są to liczby charakteryzujące wartości, jakie może przybierać zmienna losowa.

Wartość oczekiwana (przeciętna) E(x) – jest to wartość, wokół której skupiają się realizacje zmiennej losowej uzyskiwane w wyniku wielokrotnego powtarzania eksperymentu.

Wartość oczekiwana zmiennej losowej skokowej:
– gdy zmienna X przyjmuje n wartości,
– gdy zmienna X przyjmuje przeliczalnie wiele wartości.

Właściwości:
 wartość oczekiwana stałej równa się tej stałej:
E(C) = C;
 wartość oczekiwana dwóch zmiennych losowych X i Y równa się sumie wartości oczekiwanych tych zmiennych:
E(X+Y) = E(X) + E(Y);
 jeżeli dwie zmienne X i Y są niezależne, to wartość oczekiwana iloczynu zmiennych jest równa iloczynowi wartości oczekiwanych tych zmiennych:
E(XY) = E(X)E(Y)
 wynika stąd również zależność:
E(CX) = E(C)E(X) = CE(X)

 Wariancja zmienne losowej V(X) – miara rozproszenia wartości zmiennej wokół średniej, jest to wartość oczekiwana kwadratu różnicy tej zmiennej i wartości oczekiwanej E(X):



Wariancja zmiennej losowej skokowej:


Własności wariancji:
 wariancja stałej równa się zeru:
V(C) = 0;
 wariancja iloczynu stałej i zmiennej losowej:
V(CX) = C2V(X);
 jeżeli dwie zmienne X i Y są niezależne, to wariancja sumy (różnicy) tych zmiennych jest równa:
V(X  Y) = V(X) + V(Y).

Odchylenie standardowe s zmiennej losowej:
Współczynnik zmienności vs:
Współczynnik skośności As:
Medianą Me zmiennej losowej X – nazywamy wartość x, która spełnia układ równań:

Modalną Mo zmiennej losowej X – nazywamy wartość x, której odpowiada największe prawdopodobieństwo realizacji.

Przykład 2
Rzucamy trzykrotnie monetą. Zmienną losową oznaczamy liczbę uzyskanych orłów. Przestrzeń zdarzeń elementarnych E = {(RRR), (ROR), (RRO), (ORR), (OOO), (ROO), (OOR), (ORO)}. Rozkład prawdopodobieństwa:

xi 0 1 2 3
pi 1/8 3/8 3/8 1/8
E(X) = 01/8 + 13/8 + 23/8 + 31/8 = 12/8 = 1,5
V(X) = (0 – 1,5)21/8 + (1 – 1,5)23/8 + (2 – 1,5)23/8 + (3 – 1,5)21/8 = 0,75


Zmienna losowa ciągła

Dla zmiennej losowej ciągłej nie jest możliwe przypisanie wszystkim jej wartościom dodatnich prawdopodobieństw sumujących się do jedności. Można jednak przyporządkować prawdopodobieństwa przedziałom liczbowym:
P(x < X < x+x)
gdzie x jest długością przedziału o początku w x.

Jeżeli x  0 oraz istnieje granica funkcji f(x) w postaci:

to granicę tę nazywamy funkcją gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej X.

Prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa przyjmuje wartość z przedziału (a, b) – skończonego lub nieskończonego – jest całką funkcji gęstości prawdopodobieństwa w tym przedziale:

Jeżeli zmienna losowa X przybiera wartości z przedziału skończonego (a, b) lub nieskończonego (–, +) to funkcja f(x) musi spełniać warunek:

Prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa ciągła X przyjmie dokładnie wartość a (gdzie a jest dowolną stałą) jest równe zeru:

Nie oznacza to, że zdarzenie x = a jest niemożliwe, jest tylko bardzo mało prawdopodobne, ponadto, prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa X przyjmie wartość inną niż x = a jest równe jedności, co nie świadczy o tym, że jest ono pewne, jest tylko wysoce prawdopodobne.

Dystrybuanta zmiennej losowej ciągłej F(x)=P(X
gdzie f(x) jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej X, stąd:


Dla zmiennej losowej X przyjmującej wartości z przedziału (a, b):


Ponadto:


Wartość oczekiwana zmiennej losowej ciągłej:
Wariancja zmiennej losowej ciągłej:

Medianą Me zmiennej losowej ciągłej – jest to wartość, dla której spełniona jest równość:

Modalną Mo zmiennej losowej ciągłej – jest to wartość, dla której funkcja gęstości f(x) osiąga maksimum.

Przykład 3
Dana jest funkcja:
Sprawdzić, czy jest to funkcja gęstości zmiennej losowej X.
warunek 1: – funkcja w całym zakresie jest nieujemna.
warunek 2: – aby był spełniony ten warunek musi zachodzić:
ponieważ w przedziale (–;0] i [1;+) funkcja gęstości jest równa zero.

Obydwa warunki są spełnione, więc funkcja f(x) jest funkcją gęstości zmiennej losowej X.
Dla x ≤ 0 dystrybuanta zmiennej losowej X równa się zero, dla dowolnego x z przedziału [0, 1] dystrybuanta wyraża się następująco:
stąd


P(X = 0,5) 0
P(0 < X < 0,1)
F(0,1) – F(0) = 0,01
P(X < 0,5)
F(0,5) = 0,25
P(X > 0,6)
1 – F(0,6) = 1 – 0,36 = = 0,64





Mediana: stąd czyli Me = 0,71
Oznacza to, że zmienna losowa X przyjmuje wartości mniejsze od 0,71 z prawdopodobieństwem 0,5.
Drugi parametr pozycyjny, modalna nie istnieje, gdyż funkcja f(x) nie ma maksimum.

Rozkłady zmiennej losowej skokowej

Rozkład zero-jedynkowy (dwupunktowy)

Zmienna losowa X przyjmuje dwie wartości
x1 = 1 i x2 = 0
z prawdopodobieństwem
P(X=x1=1) = p i P(X=x2=0) = q

Rozkład zero-jedynkowy:

gdzie k=x1=1 lub k=x2=0 oraz 0
Stąd


Dystrybuanta
Wartość oczekiwana
Wariancja

Rozkład dwumianowy

Określa prawdopodobieństwo, tego że realizując n doświadczeń osiągniemy k sukcesów (k ≤ n).

Rozkład dwumianowy:

gdzie jest kombinacją:

oraz k = 0, 1, 2, ..., n i p + q =1

Dystrybuanta:
Wartość oczekiwana:
Wariancja:

Zmienna losowa o rozkładzie dwumianowym opisuje eksperyment noszący nazwę prób Bernoulliego – dlatego rozkład ten nazywany jest rozkładem Bernoulliego.
Eksperyment polega na przeprowadzeniu n (n  2)niezależnych doświadczeń, wynikiem może być tylko jedno z dwóch możliwych stanów: sukces lub porażka.

Uwagi:
 prawdopodobieństwo stanu, który został uznany za sukces jest takie samo w kolejnych doświadczeniach (p), prawdopodobieństwo niepowodzenia q łączy się z p zależnością: p + q = 1;
 doświadczenia są niezależne, tzn. wynik poprzedniego nie wpływa na wynik następnego.
 funkcja rozkładu zależy od dwóch parametrów: liczby doświadczeń n i prawdopodobieństwa sukcesu p;
 dla p = q = 1/2 rozkład dwumianowy jest symetryczny, dla p  q rozkład jest asymetryczny, jeżeli p < 1/2 – prawostronnie asymetryczny, dla p > 1/2 – lewostronnie asymetryczny.

Przykład 4
Eksperyment polega na pięciokrotnym rzucie monetą. Zmienna losowa przybiera wartości: 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Możliwe są dwa wzajemnie wykluczające się wyniki: wypadł orzeł (sukces), wypadła reszka (niepowodzenie), prawdopodobieństwo wyrzucenia orła równe 1/2 nie zmienia się, a wynik danego doświadczenia nie wpływa na wynik następnego – schemat Bernoulliego.

Prawdopodobieństwa poszczególnych wartości i dystrybuanta:













P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = 6/32 lub P(X < 2) = F(2) = 6/32
P(X  3) = 1 – P(X < 3) = 1 – F(3) = 1 – 16/32 = 16/32

Funkcje standardowe programu Excel związane z rozkładem dwumianowym









Rozkład Poissona

Jeżeli prawdopodobieństwo zmiennej losowej X jest opisane rozkładem dwumianowym oraz przyjmuje wartości: k = 0, 1, 2, 3, ..., czyli n  , to p przyjmuje takie wartości, że iloczyn np jest wartością stałą równą m (np = m; m > 0).

Rozkład Poissona:


Dystrybuanta:
Wartość oczekiwana:
Wariancja:

Rozkład Poissona jest szczególnym przypadkiem rozkładu dwumianowego, zachodzącym wtedy, gdy prawdopodobieństwo p sukcesu jest małe, a liczba realizacji n na tyle duża, że np = m.

Rozkład Poissona stosuje się jako przybliżenie rozkładu dwumianowego, gdy:
 prawdopodobieństwo sukcesu jest mniejsze niż 0,2;
 liczba doświadczeń jest równa co najmniej 20.

Przykład 5
Stwierdzono w pewnym wydawnictwie, że ich zecerzy popełniają średnio 1,5 błędu na jednej stronie. Obliczyć prawdopodobieństwa wystąpienia od 0 do 10 błędów na jednej stronie.



Funkcja standardowa programu Excel związana z rozkładem Poissona


Autor sabinan
Przydatna praca? Tak Nie
Wersja ściąga: zmienne_losowe.doc
(0) Brak komentarzy


Zadania z Matematyki
Nieaktywny
Matematyka 10 pkt wczoraj o 20:37

zadanie 6 str 187

Rozwiązań 0 z 2
punktów za rozwiązanie do 8 rozwiązań 0 z 2
Rozwiązuj

Nieaktywny
Matematyka 10 pkt wczoraj o 20:16

W jednym kierunku wypłynęły z portu dwa statki. Wycieczkowy płynął z prędk. 24km/h, a kuter z pręk. 15km/h. Po 3 godzinach rejsu statek wycieczkowy...

Rozwiązań 0 z 2
punktów za rozwiązanie do 8 rozwiązań 0 z 2
Rozwiązuj

Nieaktywny
Matematyka 100 pkt wczoraj o 19:05

9x³y+4xy²-5x³ y+7xy³-4x³ y-11xy² = zapisz wyrazenie w jak najprostszej postaci a) 5(x-3)+6(x-4)+7(x-5)= b) 3a(a²+2a-1)-4a(6-3a+2a²)= zapisz...

Rozwiązań 0 z 2
punktów za rozwiązanie do 75 rozwiązań 0 z 2
Rozwiązuj

Nieaktywny
Matematyka 10 pkt wczoraj o 18:01

20141018_125437.jpg

Rozwiązań 0 z 2
punktów za rozwiązanie do 8 rozwiązań 0 z 2
Rozwiązuj

Nieaktywny
Matematyka 10 pkt wczoraj o 17:35

wszystko w linku

Rozwiązań 0 z 2
punktów za rozwiązanie do 8 rozwiązań 0 z 2
Rozwiązuj

Masz problem z zadaniem?

Tu znajdziesz pomoc!
Wyjaśnimy Ci krok po kroku jak
rozwiązać zadanie.

Zaloguj się lub załóż konto

Serwis stosuje pliki cookies w celu świadczenia usług. Korzystanie z witryny bez zmiany ustawień dotyczących cookies oznacza, że będą one zamieszczane w urządzeniu końcowym. Możesz dokonać w każdym czasie zmiany ustawień dotyczących cookies. Więcej szczegółów w Serwis stosuje pliki cookies w celu świadczenia usług. Więcej szczegółów w polityce prywatności.