Wzór Eulera

W 1752 roku znakomity matematyk szwajcarski Euler, podówczas profesor Akademii Nauk w Berlinie, odkrył zadziwiający związek między liczbami s, k, w ścian, krawędzi i wierzchołków dowolnego wielościanu wypukłego W. Związek ten jest obecnie nazywany wzorem Eulera dla wielościanów i zwykle zapisuje się go w postaci
s - k + w = 2.
Podamy elementarny i chyba nader zabawny dowód tego wzoru. Zauważmy przede wszystkim, że jeśli nasz wielościan W poddamy dowolnemu przekształceniu f nie "rozrywającemu" i nie "sklejającemu" (homeomorfizmowi), to otrzymany zbiór W' = f(W) może już nie być wielościanem, ale możemy mówić o jego "ścianach", "krawędziach" i "wierzchołkach", przyjmując, że są to obrazy, odpowiednio, ścian, krawędzi i wierzchołków W. Oczywiście przy takiej umowie liczby "ścian", "krawędzi" i "wierzchołków" dla W' są takie same jak dla W.
Wyobraźmy sobie, że powierzchnia S wielościanu W jest cienką, elastyczną powłoką, np. gumową, wewnątrz pustą - a przekształcenie f jest deformacją W na kulę W' otrzymaną przez nadmuchiwanie powłoki S. Kula W' nie jest co prawda wielościanem, ale może być poglądowo interpretowana jako globus i wtedy jej powierzchnia S' jest mapą na globusie. Kraje na mapie S' to obszary powierzchni kuli będące obrazami ścian W, granice krajów są obrazami krawędzi, zaś punkty rozgałęzienia granic (wierzchołki mapy) są obrazami wierzchołków W. Mapa ta zawiera więc wszelkie informacje potrzebne do dowodu wzoru Eulera . Możemy także, jak to zwykle zresztą czyni się z mapami, przedstawić S' na płaszczyźnie. Wyobraźmy sobie, że wykonano to w ten sposób, że rozcięto sferę wzdłuż pewnej krzywej zawartej wewnątrz jednego ustalonego kraju. Obrazem S' jest więc płaska mapa S'', na której jeden kraj otacza wszystkie inne. Możliwości wyobraźni są nieograniczone, więc korzystajmy z nich nadal. Wyobraźmy sobie teraz, że naszą mapę S'' odtworzono w terenie w taki sposób, że krajem zewnętrznym jest pewien zbiornik wody (np. staw), a kraje wewnętrzne są poletkami rozgrodzonymi groblami. Poletka tworzą wyspę na stawie - i to jedyną wyspę - bo są obrazem części powierzchni wielościanu W, otrzymanej przez usunięcie jednej ściany (tej, której obrazem w realizacji mapy jest staw), a ta jest oczywiście spójna. Załóżmy, że przez przerwanie pewnych grobli zalaliśmy wodą wszystkie poletka działając przy tym tak efektywnie, jak matematykom przystoi, tzn. przerywając przy tym najmniejszą liczbę grobli. Obliczenie liczby A grobli przerwanych i liczby B grobli nie przerwanych doprowadzi nas do wzoru Eulera. Oczywiście, A + B = k, bo wszystkich grobli jest tyle ile granic, więc także tyle, ile krawędzi w W. Poletek przeznaczonych do zalania było s - 1. Przerwanie jednej grobli pozwala zalać nie więcej niż jedno poletko, a przy naszym wymaganiu efektywności działania każde przerwanie grobli musi powodować zalanie nowego poletka - zatem A = s - 1. W celu obliczenia B zauważmy, że z ustalonego wierzchołka P można przejść po nienaruszonych groblach do dowolnego innego wierzchołka Q, przy czym można to zrobić tylko na jeden sposób, jeśli założyć, że żaden odcinek drogi nie jest przebywany więcej niż jeden raz (tzn. "tam i z powrotem"). Istotnie, przejście z P do Q było możliwe przed rozpoczęciem nawadniania, a więc gdyby po zakończeniu było niemożliwe - to musiałaby istnieć grobla, która przed przerwaniem była z obu stron zalana wodą. Przerwanie takiej grobli nie zwiększyłoby liczby zalanych poletek, a więc byłoby sprzeczne z naszym założeniem efektywności postępowania. Gdyby istniały dwie różne drogi po nienaruszonych groblach, łączące P i Q, to musiałaby istnieć droga zamknięta utworzona z tych grobli, a więc ograniczony przez nią zespół poletek nie byłby zalany. Widzimy więc, że istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między nie przerwanymi groblami a wierzchołkami różnymi od P, zatem B = w - 1. Stąd
k = A + B = s - 1 + w - 1 = s + w - 2,
czyli udowodniliśmy wzór Eulera s - k + w = 2.
Rzućmy jeszcze raz okiem na przeprowadzony dowód. Cała jego istota zawarta jest w rozumowaniu "hydrologicznym", dotyczącym nawadniania poletek przez przerywanie możliwie najmniejszej liczby grobli. Stąd łatwo zauważyć, że taki sam wzór jest prawdziwy dla dowolnej "mapy na globusie" - rozumianej jako układ krajów, granic i wierzchołków - przy czym granica jest częścią wspólną dwóch różnych krajów, zaś wierzchołek jest punktem przecięcia się różnych granic. Tak rozumiana "mapa" jest tworem ogólniejszym niż "mapa" otrzymana przez deformację powierzchni wielościanu (którą można by nazwać zdeformowaną siatką wielościanu). Dla takich ogólniejszych map wzór Eulera pozostaje słuszny, jeśli tylko żaden kraj nie rozdziela mapy na dwie rozłączne części - tzn. żaden kraj nie otacza więcej niż jednej wyspy. Jeśli któryś z Czytelników uznał, że przedstawiony wyżej dowód wzoru Eulera jest zbyt mało matematyczny, to powinien zastanowić się nad większym sformalizowaniem całego postępowania. Zauważy wtedy niewątpliwie, że nie jest to wcale takie łatwe. A więc czasem proste intuicje nie dają się szybko ująć w formalne rozumowanie. Przytoczmy jeszcze dwa zadania związane z wzorem Eulera.
1. Udowodnić, że w każdym wielościanie wypukłym suma liczby ścian trójkątnych i liczby kątów trójściennych jest 8.
2. Udowodnić, że liczbami ścian wielościanu foremnego mogą być tylko liczby 4, 6, 8, 12, 20.