Żyroskopowe momenty sił.
Oddziaływania potencjalne.
Pola potencjalne.
Zasada względności Galileusza.
Transformacja Lorentza-Einsteina.
Czasoprzestrzenne odległości zdarzeń.
Ważniejsze zależności kinematyczne wg szczególnej teorii względności.
Ważniejsze zależności dynamiczne wg szczególnej teorii względności.
Siły bezwładności.
Masa bezwładna i grawitacyjna.
Konsekwencje równoważności masy bezwładnej i grawitacyjnej.
Procesy odwracalne i nieodwracalne.
Entropia jako miara nieporządku.
Zasada ekwipartycji energii ruchu cieplnego.
Drgania swobodne tłumione.
Drgania wymuszone tłumione.
Rezonatory.
Drgania sprzężone, drgania normalne.
Równanie fali, Różniczkowe równanie fali.
Energia fali.
Nakładanie się fal.
Paczka falowa.
Analiza fourierowska fal.
Interferencja fal od źródeł punktowych.
Zasada Huyghensa.
Ugięcie fali na obiektach rozciągłych.
Zasady holografii.
Charakterystyki kierunkowe nadajników i odbiorników fal.
Opór falowy ośrodka.
Fala na granicy dwu ośrodków.
Fala stojąca.
Natężenie, indukcja i potencjał pola elektrycznego.
Prawo Gaussa i jego zastosowania.
Energia pola elektrycznego.
Dipol elektryczny.
Dipol elektryczny w polu elektrycznym.
Natężenie i indukcja pola magnetycznego.
Wzór Ampera.
Ruch cząstki naładowanej w polu magnetycznym.
Dipol magnetyczny.
Dipol magnetyczny w polu magnetycznym.
Zjawisko indukcji elektromagnetycznej, I równanie Maxwella.
Zjawiska i zastosowania uwarunkowane indukcją elektromagnetyczną.
Równania Maxwella.
Emisja fali przez poruszający się ładunek.
Emisja fali elektromagnetycznej przez dipol elektryczny.
Obwód elektryczny o stałych rozłożonych.
Anteny dipolowe elektryczne i magnetyczne.
Spójne i niespójne źródła światła.
Interferencja światła w cienkich warstwach.
Pomiar długości fali siatką interferencyjną.
Zjawiska dyfrakcji i interferencji w przyrządach optycznych. optycznych.
Prawa Kirchhoffa promieniowania cieplnego.
Wzór Stefana-Boltzmanna
Hipoteza falowa de Broglie'a.
Funkcja własna cząstki, jej własności.
Zasada nieokreśloności Heisenberga.
Efekt tunelowy.
Cząstka w stanie związanym.
Gęstość stanów kwantowych.
Bozony, fermiony, zakaz Pauliego.
Energia Fermiego.
Druga zasada termodynamiki.
Pompa cieplna.
Statystyczny opis równowagi termodynamicznej.
Entropia.
Rozkład kanoniczny Gibsa.
Rozkłady prawdopodobieństwa Boltzmanna.
Statystyki kwantowe.
Ruch cieplny.
Fluktuacje cieplne.
Energia wiązania jąder atomowych.
Sytuacja energetyczna nukleonów w jądrze.
Model rozpadu alfa jądra atomowego.
Charakterystyka i warunki energetyczne rozpadów beta.
Reakcje jądrowe rozszczepienia.
Najważniejsze naturalne radioizotopy, ich charakterystyka.
Podstawy fizyczne pracy reaktora.
Budowa reaktora i parametry pracy.
Odpady promieniotwórcze.
1. ŻYROSKOPOWE MOMENTY SIŁ
(efekt żyroskopowy w ruchu obrotowym). Obracające się ciało o dostatecznie dużym momencie pędu K, na które działamy parą sił F, wytwarzając moment siły M. Zgodnie z II zasadą dynamiki w małym odstępie czasu dt następuje przyrost delta dK. Ponieważ przyrost dK jest mały i prostopadły względem K, to moment pędu po czasie dt równy K+dK jest praktycznie co do wielkości taki sam jak K tylko obrócony o kąt dj=dK/K. Oznacza to, że oś obrotu ciała wykonała obrót o kąt dj w płaszczyźnie xy, chociaż działający moment siły dąży do obrotu osi ciała w płaszczyźnie yz. Prędkość kątowa W tego obrotu nazwanego precesją wynosi: W = dj/dt=dK/(K*dt)=M*dt/(K*dt)=M/K. Ostatecznie: M=WxK. Moment sił M równoważy moment sił reakcji bąka występujący przy precesji. Ten moment siły (-M) nazywa się momentem sił żyroskopowych. Przykład: bąk dziecinny, stabilizacja jazdy na rowerze, stabilizatory na statkach, żyrokompasy itp.
2. ODDZIAŁYWANIA POTENCJALNE
Podstawowe oddziaływania mają własności: 1. Siła oddziaływania F między dwoma ciałami jest funkcją ich wzajemnej odległości r, F(r)=0 gdy r=; 2. Praca sił po drodze zamkniętej wynosi 0. Własność ta wynika z tego, że praca L wykonana przy przesuwaniu ciała od dowolnego punktu 1 do dowolnego punktu 2 nie zależy od drogi przesuwania lecz od położenia tych punktów. Praca wykonana przez siłę oddziaływania jest wykonana kosztem energii oddziaływania. Wynika stąd wniosek, że każdemu wzajemnemu położeniu ciał odpowiada jednoznacznie określona energia oddziaływania U. Takiego rodzaju energię nazywa się potencjalną, a samo oddziaływanie potencjalnym lub zachowawczym. Najważniejsze oddziaływania potencjalne to grawitacyjne i kulombowskie oddziaływania od mas (ładunków) punktowych lub kulistych. Siła oddziaływania grawitacyjnego F=-(G*M*m/r2)*r/r. r/r określa kierunek działania siły (radialny). Znak (-) uwzględnia energię oddziaływania grawitacyjnego U(r)=-G*M*m/r. Siła oddziaływania elektrostatycznego F=Q*q/(4**0*r2)*r/r. Energia oddziaływania elektrostatycznego U(r)=Q*q/(4**0*r). Oddziaływania między cząsteczkami w gazach i cieczach, zwane siłami Van der Waalsa opisujemy tzw. potencjałem 6-12: U(r)=4* *[(/r)12-(/r)6]. Składnik przyciągający -(/r)6 przeważający na dużych odległościach. Składnik odpychający (/r)12 przeważający na małych odległościach.Oddziaływania między atomami w cząsteczkach i kryształach opisujemy często tzw. potencjałem Morse'a: U(r)=D*[1-exp(-*(r-a))]2. Parametr D jest energią dysocjacji lub wiązania.
3. POLA POTENCJALNE
Założenia: jedno z dwóch ciał oddziaływujących jest nieruchome w początku układu współrzędnych, rozpatrujemy ciało drugie. (*RYSUNEK*) Jeżeli przesunie się ono z punktu 1 o mały odcinek dl do położenia 2, to siła oddziaływania (pole sił) wykona pracę: dL=F*dl=Fl*dl=U(1)-U(2)=-dU, przy czym dU to różnica energii potencjalnej oddziaływania między położeniami ciała w punktach 2 i 1, a Fl to składowa siła oddziaływania w kierunku przesunięcia dl. Więc związek między Fl i energią oddziaływania: Fl=-dU/dl. Jeżeli więc znamy energię potencjalną oddziaływań U(r) w każdym punkcie pola to za pomocą wzorów możemy określić siłę. Jeżeli energia potencjalna oddziaływania zmierza do zera, gdy ciała oddalają się od siebie do nieskończoności, można określić związek między wartością energii w dowolnym punkcie pola i siłą oddziaływania. Przy przesuwaniu ciała od położenia R do nieskończoności siły pola wykonują pracę równą wartości energii potencjalnej w miejscu R, czyli: {R,} Fr(r)*dr=U(R)-U()=U(R). Ponieważ wektor siły można zapisać jako sumę składowych w postaci: F=Fx*i+Fy*j+Fz*k mamy: F=((dU/dx)*i+(dU/dy)*j+(dU/dz)*k)=-grad U=-U. A działa w iloczynie skalarnym *A= div A (diwergencja) lub wektorowym *A=rot A (rotacja). Gęstość linii sił jest miarą wartości sił w danym miejscu. Linie sił są takimi siłami, że wektor siły w każdym punkcie pola jest styczny do linii siły przechodzącej przez dany punkt, natomiast gęstość linii jest proporcjonalna do wartości siły. Powierzchnie prostopadłe do linii sił są powierzchniami ekwipotencjalnymi (tzn. stałego potencjału), ponieważ przy przesuwaniu ciał w kierunku prostopadłym do siły nie jest wykonywana praca przez siły oddziaływań, a więc nie zmienia się energia potencjalna oddziaływania. Wzrost siły jest więc w kierunku malenia energii potencjalnej.
Odzdziaływania te okresla się mianem pola sił. W przypadku odzdziaływań podstawowych , do których zaliczają się odzdziaływania grawitacyjne i elektryczne, opis polowy odzdziaływań jest bardzo konkretny. Należy zauważyc, ze w tych odzdziaływaniach i siła i energia potencjalna czastki w polu sa wprost proporcjonalne do naboju C czastki., raz jest nim masa czastki, raz ladunek elektyczny. Można wiec zdefiniowac natezenie E i potencjał V pola sił : E(r)=F(r)/C, V(r)=U(r)/C, E=grad V. Pole jest nie tylko pojeciem modelowym, ale realnoscia fizyczna. Masa ładunek elektryczny rzeczywiscie zmieniaja wokół siebie przestrzen, wytwarzaja pole, które w przypadku ruchu zmiennego naboju odrywa się i egzystuje samodzielnie w formie promieniowania grawitacyjnego elektromagnetycznego.
4. ZASADA WZGLĘDNOŚCI GALILEUSZA
(ZWG) sform. w 1632 r.: obrazując ją następującym przykładem: wyobraźmy sobie , że zamknelismy się w kajucie na statku, pływającym na spokojnej wodzie. Mamy ze sobą różne przedmioty, przyrządy miernicze, rosliny, zwierzątka. Wykonując dowolne doświadczenia, z ich obserwacji i pomiarów, a także z zachowania się roslin i zyjatek nie wnioskujemy , czy statek stoi na wodzie czy spokojnie płynie. Wyrazajac to naukowym jezykiem: we wszystkich ukł. odniesienia poruszających się względem siebie ruchem jednost. nazwanych układami inercjalnymi zjawiska przyrodnicze przebiegają tak samo. Ponieważ zjawiska fiz. opisuje fizyka za pomocą określonych praw, muszą one mieć taką postać, aby przy przejściu z jednego inerc. ukł. odnies. do drugiego miały taką samą postać. Własność tę nazywamy zasadą niezmienniczości praw fizyki względem dowolnego układu inerc. odniesienia (np. z obserwacji jakichkolwiek zjawisk i dośw. prowadzonych w kajucie nie można wysnuć wniosku co do spoczynku lub ruchu jednost. statku). Przy konkretnym przekształceniu określanego prawa fizycznego z jednego inercjalnego układu odniesienia do drugiego nieodzowne jest posługiwanie się grupą zależności między czasem i współrzędnymi w obu układach, zwanych transformacją. Rozważam dwa inercjalne prostokątne układy odniesienia x,y,z i x',y',z' takie, że układ primowany porusza się w kierunku dodatnich x względem układu nieprimowanego i odpowiednie osie są do siebie równoległe. (*RYSUNEK*) Założenia: czas zaczęto mierzyć w obu układach od momentu, gdy początki układów O i O' mijały się i czasy oraz odległości mierzy się w obu układach identycznymi miarami. Wtedy dowolne zdarzenie zanotowane przez obserwatora w układzie O jako zaistniałe w momencie czasu t i miejscu x,y,z zostanie zanotowane przez obserwatora w układzie O' jako zaistniałe w momencie czasu i we współrzędnych: t'=t; x'=x-vt; y'=y; z'=z. Jest to tzw. transformacja Galileusza (przykład: niezmienniczość względem transformacji Galileusza prawa zachowania pędu 2 zderzających się ciał o masach m1 i m2, poruszających się wzdłuż osi x. W układzie O mamy m1*v1p+m2*v2p=m1*v1k+m2*v2k, gdzie p i k-stany przed i po zderzeniu, gdzie v - prędkość w kierunku osi x. Ponieważ przy przejściu do układu primowanego występi z obu stron równania dodatkowa prędkość układu zachodzi równoważnośc prawa zachowania pędu w układach O i O'). Niezmiennicze względem transformacji Galileusza są też niektóre wielkości dotyczące zjawisk lub zdarzeń np. siła, temperatura, zmiana energii itp. a także odstęp czasu Dt między dwoma zdarzeniami oraz kwadrat odległości przestrzennej: DR2=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2=DR’2
5. TRANSFORMACJA LORENTZA-EINSTEINA
Lorentz w 1899 roku sformułował zupełnie formalnie transformację, wzgłedem której prawa elektromagnetyzmu byłyby niezmiennicze. g=sqrt(1-(v/c)2); t'=(t-v*x/c2)/g; x'=(x-v*t)/g; y'=y; z'=z; odwrotna: t=(t'+v*x'/c2)/ g; x=(x'+v*t')/ g; y=y'; z=z'. Wnioski wynikające z transformacji L-E wykraczały poza pojęcia mechaniki klasycznej. W roku 1905 Albert Einstein sformułował szczególną teorię względności (STW). Głównym jej założeniem zasada względności Galileusza rozciągnięta na zjawisko ruchu promienia świetlnego w próżni: we wszystkich układach inercjalnych prędkość światła w próżni jest ta sama. Jeżeli dwaj obserwatorzy poruszający się względem siebie obserwują ruch tego samego promienia i obaj stwierdzają, że biegnie on z tą samą prędkością, to kinematyka opisująca związki między czasem i przestrzenią w ruchu ciał musi być inna od poznanej w ramach mechaniki klasycznej.
6. CZASOPRZESTRZENNA ODLEGŁOŚĆ ZDARZEŃ
Przykład: obserwator znajdujący się w środku jadącego wagonu (ukł. O') zapala latarkę i obserwuje bieg promienia w kierunku jazdy i przeciwnym. Stwierdzi on, że promienie równocześnie dotrą do ścian wagonu. Wg obserwatora w układzie O promienie poruszają się z jednakową prędkością w obie strony, ale przednia ściana ucieka, podczas gdy tylna porusza się naprzeciw promieniowi. Dlatego do tylnej ściany promień dotrze wcześniej. Zdarzenia jednoczesne dla jednego obserwatora nie są jednoczesne dla drugiego. Ponieważ pomiar czasy jest ściśle związany z pojęciem jednoczesności, wartości czasu danego zjawiska, mierzone przez dwu poruszających się względem siebie obserwatorów, są różne. A więc czas biegnie inaczej w różnych układach inercjalnych. Fakt ten i dalsze rozważania pozwalają zrozumieć kinematyczne zagadnienia STW. Niech obserwatorzy O i O' obserwują bieg promieni latarki zapalonej w momencie czasu t1 w miejscu x1,y1,z1 w O i odpowiednich t1',x1',y1',z1' według O'. W chwili czasu t2 czoło fali jest powierzchnią kulistą, której dowolny punkt o współrzędnych x2,y2,z2 spełnia równanie: (x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2=c2*(t2-t1)2. To samo w O'. Tak więc odległość czasoprzestrzenna Ds dwu zdarzeń (wcześniej t1,x1,y1,z1 i później t2,x2,y2,z2) określa równanie: Ds2=c2*(t2-t1)2-[(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2]. Zatem OCZ dotyczących ruchu promienia świetlnego jest we wszystkich układach inercjalnych taka sama, równa 0. Einstein postulował, że odległość czasoprzestrzenna dwu zdarzeń jest pojęciem ważnym dla dowolnych zjawisk i jest ona wielkością niezmienniczą, tzn. Ds2= Ds’2. Jest to drugie istotne założenie w podstawach STW. Wg transformacji Galileusza niezmiennicze są osobno odległości czasowe i przestrzenne, a wg STW dopiero ich kombinacja w formie odległości czasoprzestrzennej jest niezmiennicza.
7. WAŻNIEJSZE ZALEŻNOŚCI KINEMATYCZNE (wg STW)
Uwzględniając zasadę niezmienniczości OCZ i prędkości światła można wyprowadzić różne zależności kinematyczne. Można przede wszystkim otrzymać wzory na transformację L-E, a z niej wynikają dwa ważne efekty-relatywistyczne zmiany czasów i odległości. Efekt relatywistycznej zmiany czasów możemy rozważyć korzystając jedynie z zasady niezmienniczości OCZ. Obserwujemy dwa układy: primowany O' i nieprimowany O. Obserwator w układzie O’ obserwuje zjawisko na obiekcie spoczywającym względem niego w miejscu o współrzędnej x1'. Obserwator w układzie O odnotuje (z zas. niezmienniczości OCZ !) Ds2=c2*t2-(x2-x1)2. Współrzędne y,z można pominąć ponieważ nie ulegają one zmianie. Możemy też zauważyć, że (x2-x1)/(t2-t1)=v, gdzie v jest prędkością obiektu względem układu O. Ostatecznie otrzymujemy: t = t0/g; t0=t2'-t1'; t =t2-t1. Jest to efekt relatywistycznego wydłużenia czasu, t0 jest czasem własnym zjawiska czyli czasem notowanym w układzie, względem którego obiekt pozostaje w spoczynku. W układzie, względem którego obiekt porusza się, notowany czas jest dłuższy. Relatywistyczną zmianę długości przedyskutuję na podstawie transformacji L-E. W układzie O' spoczywa obiekt którego długość jest równa l0=x2'-x1'. obiekt ten porusza się względem nieprimowanego z prędkością v. Aby zmierzyć długość obiektu w tym układzie potrzebujemy dwóch obserwatorów, którzy w tym samym czasie odnotują współrzędne końca i początku obiektu: x1'=(x1-vt1)/g; x2`=(x2-vt2)/g; t1=t1; l0=x2'-x1'; l=x2-x1; l=l0*g. długość obiektu mierzoną w układzie, w którym obiekt spoczywa jest długością własną obiektu. Z innych zależności można otrzymać wzory na dodawanie prędkości: ux=(ux'+v)/(1+u’x*v/c2); uy=(uy'/(1+u’x*v/c2))* g; uz jak uy; x-wzdłużna, y,z-prostopadłe. Przy dodawaniu prędkości nie można otrzymać prędkości większej od c.
8. WAŻNIEJSZE ZALEŻNOŚCI DYNAMICZNE (wg STW)
Prawa kinematyki szczególnej teorii względności nie wystarczają do wprowadzenia praew dynamiki dla prędkości bliskich prędkości światła. Należało odgadnąc istotne prawidłowości dynamiki. Einstein postulował ze przede wszystkim w mechanice relatywistycznej winna dalej obowiązywać zasada zachowania pędu i energii. Z zasad tych i wczesiejszych poznanych rownan kinematyki można wywiesc rownania dynamiki. Dalej obowiązują zasady: zachowania pędu i energii. p=m*v, m=m0/g, m0 - masa ciała w spoczynku. Masa ciała jest miarą całkowitej energii ciała E=m*c2 . Energia kinetyczna to różnica między energią ciała w ruchu a spoczynku, więc Ek = (m-m0)*c2. Ważne wyrażenie - czterowektor energii i pędu E2-p2*c2 niezmiennicze względem transformacji L-E. Siła F=dp/dt. Okazuje się, że jeżeli ciało jest w ruchu to przyspieszenie ciała nie jest równoległe do działającej nań siły z wyjątkiem przypadków: a) F^v - F = a*m0/g; b) F||v - F = a*m0/g3 Dlatego mówi się nawet o masie poprzecznej i podłużnej ciała.
9. SIŁY BEZWŁADNOŚCI
Rozpatrując ruch ciał w ukł. nieinercjalnych (tzn. poruszających się ruchem zmiennym) dochodzimy do wniosku, że możemy stosować zasady dynamiki Newtona dla ukł. inercjalnych pod warunkiem wprowadzenia dodatkowych sił tzw. sił bezwładności. <
10. MASA BEZWŁADNA I GRAWITACJA
Wprowadzone przez Newtona w zasadach dynamiki pojęcie masy jest miarą bezwładności ciała. Newton odkrył również drugą własność ciał - wzajemne działanie na siebie siłami grawitacyjnymi. Przez analogię do odziaływań elektrycznych należałoby mówić o ładunkach grawitacyjnych ciał. Chociaż doświadczenie wskazuje, że miarą ładunku grawitacyjnego ciała może być jego masa to bezwładność ciała i zjawisko grawitacji są zupełnie różnymi własnościami. W związku z tym wyróżniono pojęcie masy bezwładnej i masy grawitacyjnej oraz zaczęto podejmować próby wyznaczenia ewentualnej różnicy lub tożsamości tych wielkości (poprzez wykrycie różnic w ruchu ciał wykonanych z różnych substancji pod działaniem grawitacji Ziemi). Siła grawitacji Fg jest proporcjonalna do masy grawitacyjnej mg ciała. Fg=G*(M*mg)/r2 G - stała grawitacji M - masa Ziemi r - odległość ciała od środka Ziemi. Z drugiej zasady dynalmiki mamy a=Fg/mb=(G*M)/r2*mg/mb czyli, że przyspiesznie ciała zależy od stosunku masy bezwładnej i grawitacyjnej.
11. KONSEKWENCJE RÓWNOWAŻNOŚCI MASY BEZWŁADNEJ I GRAWITACYJNEJ
Doświadczenia wykazały równoważność masy grawitacyjnej i bezwładnej (co stało się punktem wyjścia ogólnej teorii względności Eisteina). Jeżeli masa grawitacyjna i bezwładna są tym samym to oznacza, że obserwator w zamkniętej kabinie żadnymi eksperymentami fizycznymi nie może ustalić czy ciężkość ciał w kabinie pochodzi od pola grawitacyjnego dużej masy czy też od siły bezwładności spowodowanej ruchem przyspieszonym kabiny. Fakt ten nazywamy lokalną równoważnością sił grawitacji i bezwładności. Dopiero badanie tych sił w dużym obszarze pozwoliłoby ustalić ich charakter poprzez określenie charakterystyki przestrzennej (różnej w przypadku pola grawitacyjnego i nieinercjalnego ukł. odniesienia). W układzie swobodnie spadającym znoszą się siły bezwładności i grawitacji. Ruch ciał spełnia I zasadę dynamiki à jest to układ inercjalny. Konsekwencją tego jest „spadek” promienia światła w polu grawitacyjnym. Ponieważ promień światła biegnie po najkrótszej drodze można mówić o zakrzywieniu przestrzeni w polu grawitacyjnym. Promieniowi świetlnemu (fotonowi) można przypisać masę mf =h*n/c2 . Jeśli tak to, gdy spada w polu grawitacyjnym zmienia się jego energia kinetyczna kosztem potencjalnej, a zarazem częstotliwość Dn/n = g*l/c2. Taka też jest względna zmiana mierzonego czasu i można mówić o zakrzywieniu czasoprzestrzeni.
12. PROCESY ODWRACALNE I NIEODWRACALNE
Zjawiskami odwracalnymi (niezmienniczymi względem inwersji czasu) są oddziaływania między atomami, molekułami (mikroskopowe). W układach makroskopowych procesy nieodwracalne - wyznaczają kierunek biegu (strzałkę) czasu. Istotą nieodwracalności procesów jest przechodzenie układów do stanów o większym nieuporządkowaniu. Miarą nieuporządkowania jest liczba równoprawnych sposobów (stanów mikroskopowych) realizujących układ - stan makroskopowy układu. Na stan makroskopowy wpływa stan mikroskopowy, utożsamiany ze stanem kwantowym. Entropię definiujemy S=k*ln W ,gdzie k - stała Boltzmanna, W - liczba stanów kwantowych układu realizujących określony stan makro. W układzie odosobnionym procesy dąża do osiągnięcia stanu równowagi termodynamicznej - maksymalnej entropii.
13. ENTROPIA JAKO MIARA NIEPORZĄDKU
14. ZASADA EKWIPARTYCJI ENERGII RUCHU CIEPLNEGO
Równanie stanu gazu doskonałego: pV=NkT=N/NA*R*T=M/Mmol*R*T=nRT, V-objętość, n-liczba moli gazu, N-liczba molekuł, R=NAk, gdzie R to stała Rydberga (stała gazowa). Sformułowaniu tego równania towarzyszył rozwój kinetyczno-molekularnej teorii gazu doskonałego wg, której gaz jest zbiorem punktów materialnych-molekuł poruszających się chaotycznie, zderzających się między sobą i ściankami naczynia sprężyście. Ciśnienie gazu na ścianki jest wynikiem zmiany pędu dużej liczby molekuł odbijających się od ścianki : p=2/3Ni(mv2)/2=2/3NiEk (Ni-gęstość molekuł). Molekuły poruszają się z różnymi prędkościami ,dlatego v2 trzeba zastąpić wartością średnią v2; Ek=3/2kT ,czyli aby podwyższyć o jeden stopień temperaturę jednego mola gazu doskonałego bez zmiany objętości to należy dostarczyć energię 3/2kNA=3/2R (Cv=3/2R) i ta wielkość powinna być ciepłem molowym przy stałej objętości; warunek ten jest spełniony przez gazy jednoatomowe (dwuatomowe Cv=5/2R). Te spostrzeżenia to podstawy sformułowania zasady ekwipartycji energii. Traktowanie molekuł jako punktów materialnych jest możliwe tylko w przypadku molekuł jednoatomowych. Jej położenie określają trzy niezależne współrzędne i odpowiadają im trzy niezależne sposoby ruchu translacyjnego zwane stopniami swobody molekuły. Z każdym z tych stopni związana jest energia ruchu cieplnego. Energia całkowita E=(it/2+ir/2+iosc)kT ,(it,ir,iosc-stopnie swobody ruchu translacyjnego, rotacyjnego i wibracyjnego). Ogólnie zasada ekwipartycji energii w ciele będącym w stanie równowagi termodynamicznej każdemu klasycznemu stopniowi swobody cząstki odpowiada energia średnio równa kT/2 ,T-temperatura ciała; stopień swobody nazywamy klasycznym jeżeli odpowiadający mu ruch podlega prawom mechaniki klasycznej.
15. DRGANIA SWOBODNE TŁUMIONE
Jeżeli pod działaniem siły zewnętrznej wychylenie ciała jest wprost proporcjonalne do siły mówimy o występowaniu własnej siły sprężystej w układzie F=-kr. Ciało pod jej działaniem drga harmonicznie w0=sqrt(k/M). Takie drgania są nazywane swobodnymi (własnymi) nietłumionymi. Uwzględniając tarcie T=-fv, gdzie f - współczynnik tarcia. Z II zasady dynamiki M*d2x/dt2 = -kx - f*dx/dt; Różniczkowe równanie drgań tłumionych swobodnych d2x/dt2 + G*dx/dt + w02x = 0, gdzie G=f/M - stała tłumienia. Zależność położenia ciała x od czasu t: x=A*e-(G/2)*t sin(w1*t+j), gdzie w1= w02-(G/2)2. A i j są stałymi brzegowymi. Dla dużego tłumienia mamy do czynienia z ruchem aperiodycznym - ciało powoli wraca do położenia równowagi. G/2 = w0 to tłumienie krytyczne (bez drgań). Energia drgań E = 1/2k*A2 = 1/2M*w02*A2; E = E0*e-G/t ; E0=k*A2/2= M*w02*A2/2, gdzie A - amplituda. Czas, w którym energia drgań zmaleje e razy nazywany jest średnim czasem życia, stałą czasową lub czasem relaksacji t=1/G . Względna szybkość strat energii stała dE/dt=E/t. Współczynnik dobroci Q=2P*(energia układu / energia tracona w 1 okresie) = 2P*E/(E*T/t) =w1*t »w0*t.
16. DRGANIA WYMUSZONE TŁUMIONE
Jeżeli w układzie drgającym działa zewnętrzna siła harmoniczna F0*sin(wt) mamy d2x/dt2 + G*dx/dt + w02x = F0/M*sin(wt). W rozwiązaniu występuje składnik stacjonarny opisujący drgania harmoniczne wymuszone x = x0*sin(wt+j), przy czym x0 = F0/M/ sqrt((w02-w2)2+G2 *w2) oraz tgj = G*w/(w2-w02). Amplituda drgań wymuszonych x0 zależy od w według zależności rezonansowej. Przy częstotliwości rezonansowej wrez=sqrt(w02-G2/2) amplituda drgań xrez=F0/(M*w0*G). Wtedy też praca i moc dostarczne do układu są największe. Średnia moc w jednym okresie drgań P=1/T*ò {0,T} F*dx/dt*dt = F0/T*w*x0*ò {0,T} sin(wt)*cos(wt+j)*dt = * F02/(M*G)*G2w2/((w02-w2)2+G2 *w2). Gdy G << w0 to Prez»F02/(2M*G). Energia drgań E=1/2 *M*w2 x02 = F02/(M*G2)*G2w2/((w02-w2)2+G2 *w2). Gdy G << w0 to Erez»F02/(2M*G2). Przy częstotliwościach bliskich rezonansu (w0+w) » 2w. Wtedy G2w2/((w02-w2)2+G2 *w2) » (G/2)2/((w0-w)+ (G/2)2). Przedział częstotolwości kątowych, w którch moc i energia w układzie maleją do połowy wartości w rezonansie jest nazywany szerokością rezonansu Dw = G.
17. REZONATORY
Układy drgające wykorzystywane do generacji drgań nazywa się rezonatorami. Najczęściej są nimi układy o stałych rozłożonych (w których każdy element reprezentuje sobą bezwładność, tarcie i sprężystość). Rezonator jest istotną częścią każdego generatora drgań. Ch-ka rezonatora jest rozumiana jako zależność stosunku reakcji rezonatora do pobudzenia w funkcji częstotliwości sygnału pobudzającego. Rzeczywiste ch-ki rezonatorów to krzywe rezonansowe Lorentza. Klasę generatora wyznacza względny błąd częstotliwości Dw0/w0=G/w0=1/(t w0)=1/Q.
18. DRGANIA SPRZĘŻONE, DRGANIA NORMALNE
Rozważamy dwa identyczne układy drgające - wahadła sprzężone oddziaływaniem sprężystym. Częstotliwość drgań bez sprzężenia w0=sqrt(g/l), W=sqrt(k/M) - częstotliwość drgań pod działaniem siły sprężystej elementu sprzęgającego. Y1, Y2 - wychylenia mas z położenia równowagi. Równania ruchu d2Y1/dt2 = -w02*Y1 + W2*( Y1 - Y2), d2Y2/dt2 = -w02*Y2 + W2*( Y2 - Y1). Pierwsze wyrazy po prawej stronie równania są quasi-sprężystymi siłami (po podzieleniu przez M), drugie wyrazy są siłami sprężyny. Równania nieuwikłane d2YI/dt2 = -w02*YI , gdzie YI=Y1+Y2; d2YII/dt2 = -(w02+W2)*YII , gdzie YII=Y2-Y1; rozwiązania YI = AI*sin(wIt+jI); YII = AII*sin(wIIt+jII); wI = w0; wII = sqrt(w02 + W2) są drganiami prostymi, nazywanymi drganiami normalnymi. Drgania pojedynczych wahadeł równe Y1 =(YI+YII)/2, Y2 =(YI -YII)/2 są drganiami złożonymi z drgań prostych o różnych częstotliwościach. Jeżeli amplitudy AI i AII są równe drgania są dudnieniami. Ogólnie w przypadku sprzężenia N jednakowych elementów drgających drgania pojedynczego elementu są złożeniem N drgań o różnych częstotliwościach. Można wyróżnić N prostych drgań nazywanych normalnymi. Drganiom normalnym odpowiadają możliwe fale stojące w układzie.
19. RÓWNANIE FALI, RÓŻNICZKOWE RÓWNANIE FALI
Fala - przekazywanie zaburzeń z dowolnego miejsca w ośrodku sprężystym do sąsiednich obszarów niezaburzonych. Za kierunek rozchodzenia się fali i współrzędną położenia w ośrodku przyjęto oś X, wielkość wytrąceń cząstek z położenia równowagi oznaczono przez Y. Kształt fali w t=0 można określić pewną funkcją f(x). Fala przemieszcza się w ośrodkach z określoną prędkością v. W dowolnym momencie czasu równanie fali ma postać: Y =f(x-v*t). Równoważnym równaniem (opisującym tę samą falę) jest równanie: Y =g*[t-(x/v)], gdzie g jest odwróconą funkcją f. {RYSUNEK} Fale harmoniczne można zapisać równaniem Y=A*sin[(2*P/l)*(x-v*t)]=A*sin(k*x-w*t), gdzie k=(2*P/l) jest wektorem falowym (l - długość fali). Kierunek i zwrot wektora falowego odpowiada kierunkowi i zwrotowi rozchodzącej się fali. W układzie trójwymiarowym w miejscu kx byłoby kr, gdzie r jest wektorem położenia. Natomiast w=2Pv/l=2Pn=2P/T (n częstotliwość T okres fali), jest nazywana prędkością kątową fali lub częstotliwością kątową. v=w/k
RÓŻNICZKOWE RÓWNANIE FALI:
d2Y/dx2=1/v2*d2Y/dt2 Dany związek opisuje dynamikę ruchu falowego i dlatego nazywany jest różniczkowym równaniem ruchu falowego. Rozważając przykład fali sprężystej podłużnej w pręcie możemy zapisać dwa równania. Pierwsze to II zasada dynamiki dla pewnego odcinka dx. rSdx* d2Y/dt2 = dF - wypadkowa siła działająca na odcinek dx pręta { RYSUNEK } Drugie równanie to wzór na rozciąganie dY odcinka o długości dx pod wpływem siły F: dY/dx=F/(SE) gdzie E moduł Younga materiału. Przekształcając te równania otrzymujemy równanie różniczkowe, którego rozwiązaniem jest fala: d2Y/dx2=r/E*d2Y/dt2. Stała r/E jest odwrotnością kwadratu prędkości fali. Otrzymując równanie fali tego typu możemy powiedzieć, że mamy do czynienia z falą. Można także wyprowadzić wzory: -prędkość fal poprzecznych w strunie v=sqrt(T/t) T siła naciągu, t masa jednostki długości; prędkość fal w gazie v=sqrt(kp/r) k=cp/cv współczynnik Poissona, p ciśnienie gazu. Przy wyprowadzaniu tych wzorów przyjmuje sił, że ośrodek jest jednorodny.
20. ENERGIA FALI
Z ruchem fali związany jest transport energii mimo, że nie ma transportu masy. Rozważmy wycinek Ds powierzchni czoła fali w momencie czasu t, biegnącej w kierunku x. W ośrodku po lewej stronie czoła fali cząsteczki drgają. {RYSUNEK} Z ruchem tym związana jest energia drgań E Ds. Jest to energia drgań przypadająca na jednostkę objętości ośrodka. Miarą ilości energii transportowanej przez falę jest natężenie I fali, które jest stosunkiem energii DE, przeniesionej przez powierzchnię Ds prostopadłą do kierunku biegu fali w czasie Dt do tej powierzchni i czasu. Jeżeli przez Er oznaczymy gęstość energii to I= Erv ; Er= rw2A2/2 Więc natężenie fali I=rvw2A2/2=Zu02/2, gdzie Z - oporność falowa ośrodka, u0 - amplituda prędkości drgań. Ważną wielkością charakteryzującą źródło fali jest jego moc M, czyli szybkość emisji energii w czasie. Natężenie fali w odległości r od źródła jest równe mocy tego źródła do powierzchni przez którą fala przechodzi. I=M/(r2*DW), DW - kąt bryłowy. Gdy źródło fali jest punktowe lub kuliste i emituje falę izotropowo DW =4*P. W ośrodkach rzeczywistych energia fali w pewnym stopniu jest pochłaniana i zamieniana na ciepło. Ubytek natężenia fali przy przejściu drogi dx wyniesie dI=-a*I*dx, po przekształceniu I=I0*exp(-a*x), a - współczynnik pochłaniania fali w ośrodku wprost proporcjonalny do kwadratu częstotliwości i odwrotności gęstości ośrodka.
21. NAKŁADANIE SIĘ FAL
Jeżeli w ośrodku rozchodzą się dwie lub więcej fal to wypadkowe drgania cząstek ośrodka (a więc i fala wypadkowa) są sumą geometryczną składowych fal. Zatem w ruchu falowym obowiązuje zasada superpozycji. Rozważając przypadek superpozycji dwu fal harmonicznych poruszających się w tym samym kierunku, o wektorach falowych k i k+Dk niewiele się od siebie różniących oraz częstotliwościach w i w+Dw, to w wyniku złożenia tych fal otrzymujemy wypadkową falę Y=A*sin(k*x-w*t)+A*sin[(k+Dk)*x-(w+Dw)*t] = 2*A*cos((Dk/2)*x-(Dw/2)*t)*sin(k*x-w*t). Wypadkowa fala ma długość i częstotliwość taką samą co fale składowe, tylko amplituda jest zmienna. Obwiednia amplitudy ma sama charakter fali poruszającej się z prędkością Dw/Dk. Prędkość tę nazywamy grupową i wyrażamy ją wzorem vg=dw/dk. Transport energii w fali złożonej jest związany z prędkością grupową poruszania się jakby paczek falowych. Natomiast prędkość v=w/k nazywana prędkością fazową nie ma w przypadku fali złożonej istotnego znaczenia. {RYSUNEK} vg=v-dv/dl*l Wzór ten można uzyskać przekształcając wzór na prędkość grupową. Ośrodki w których prędkość fazowa jest długości fali nazywane są dyspersyjnymi.
22. PACZKA FALOWA
Każda fala rzeczywista w ścisłym sensie nie jest falą harmoniczną, bowiem jest skończona w czasie i w przestrzeni, a funkcja harmoniczna jest określona dla argumentu +/-nieskończoność. {RYSUNEK} Fala skończona w czasie i przestrzeni to paczka falowa. Porusza się ona z prędkością grupową. Każda fala rzeczywista będąca paczką falową jest superpozycją fal harmonicznych, można to zapisać zależnościami: Yt(x)=ò {0,¥) c(k)*sin[k*x+j(k)]dk lub Yx(x)=ò {0,¥) c(w)*sin[w*t+j(w)]dw, gdzie c(k), c(w) gęstości widmowe amplitud, a j przesunięcie fazowe poszczególnych fal. Widma fal harmonicznych składających się na paczkę falową są bardzo różne w zależności od kształtu paczki falowej. W przypadku danej fali (z RYSUNEK) możemy mówić o średniej długości fali l0 lub okresie T0, czy częstotliwości w0, ale w takim sensie, że fala ta jest superpozycją fal harmonicznych o wektorach falowych z zakresu Dk, lub częstotliwościach z zakresu Dw. Czyli że na te fale składa się pewne widmo fal harmonicznych. Wielkości Dk i Dw charakteryzują szerokość widma. {RYSUNEK} Długość fali jest tym dokładniej określona, im więcej długości fal mieści się w paczce. Ilościowo możemy zapisać to tak: Dl/l0=l0/Dx czyli Dl/l02 Dx =1. Uwzględniając , że w sensie rachunku różniczkowego Dl/l02=|D(1/l0)|, a D(2*P/l0)=Dk mamy DkDx=2*P. Podobnie otrzymujemy DwDt=2*P oraz DnDt=1. Związki te mają charakter orientacyjny i poprawnie należałoby zapisać DkDx>=2*P i DwDt>=2*P
23. ANALIZA FOURIEROWSKA FAL
Jeśli mamy dowolną funkcję (falę) określoną w czasie, to można ją wyrazić jako sumę nieskończonego szeregu funkcji (fal) harmonicznych o częstotliwościach będących wielokrotnościami (harmonicznymi) częstotliwości podstawowej Y(t)=S{n=1,¥} An*sin(n*w1t)+ S{n=1,¥} Bn*cos(n*w1t) gdzie w1=(2*P)/T1 oraz An=(2/T1)*ò {t0, t0+T1} Y(t)sin(n*w1t) dt; Bn=(2/T1)*ò {t0, t0+T1} Y(t)cos(n*w1t) dt , gdzie t0 jest dowolnym momentem czasu. Jeżeli okres czasu powtarzania T1 będzie się zwiększać do ¥, otrzymamy przebieg odpowiadający paczce falowej. Wtedy odległość na skali częstotliwości między kolejnymi składnikami sumy szeregów maleje do zera i sumę tę należy zastąpić całką. Mamy wtedy: Y(t)=ò {0, ¥} [a(w)*sin(wt)+b(w)*cos(wt)]dw, przy czym a(w)=(1/P)* ò { -¥, ¥} Y(t)*sin(wt)dt; b(w)=(1/P)* ò { -¥, ¥} Y(t)*cos(wt)dt. Powyższy wzór można też zapisać Y(t)= ò {0, ¥} c(w)*sin[wt+j(w)]dw, gdzie c(w)=sqrt(a2(w)+b2(w)) oraz j(w)=arctg [c(w)/b(w)]. Całkowita energia fali jest wprost proporcjonalna do całki ò { -¥, ¥} Y2(t)dt. Spełniony jest związek ò { -¥, ¥} Y2(t)dt =(1/P)* ò { 0, ¥}c2(w)dw odzwierciedlający fakt, że całkowita energia paczki falowej jest sumą energii fal, harmonicznych składających się na tą paczkę. Każda fala harmoniczna jest drganiem, którego energia jest wprost proporcjonalna do kwadratu widmowej gęstości amplitudy c(w).
24. INTERFERENCJA FAL OD ŹRÓDEŁ PUNKTOWYCH
Siatka interferencyjna - n źródeł punktowych ułożonych w równomiernych odległościach d w linii prostej {RYSUNEK} Maksymalne wzmocnienie zajdzie w tych kierunkach, dla których różnica dróg falowych między dwoma źródłami jest wielokrotnością l. Dlatego musi być spełniony warunek d*sin(j)=n*l. Rozważając interferencję dla innych kątów zakłada się, że j <<1 rad a różnica dróg między kolejnymi źródłami d oraz różnica dróg fal D między skrajnymi źródłami d=d* j, D=(N-1)*d*j. Różnice faz kolejnych źródeł w stosunku do źródła pierwszego możemy przedstawić na wykresie kołowym {RYSUNEK} da=2P*d*dj/l=2P/N Wartość kąta dj, przy którym następuje pierwsze zupełne wygaszenie dj =l/(N*d). Następne wygaszenia następują dla kątów j równych 2dj 3dj .. aż dla kąta j1=N dj będziemy mieć pierwsze maksimum interferencyjne. Wzór dla charakterystyki kierunkowej ma postać I/Imax=sin2(N*x)/(N2*x2). x=P*d*sin(j/l) {RYSUNEK} W Przypadku złożenia bez interferencji wypadkowe natężenie jest równe N*I0. W przypadku interferencji wypadkowa amplituda jest sumą amplitud i jest wprost proporcjonalna do iloczynu N*sqrt(I0), natomiast wypadkowe natężenie jest fali jest równe N2*I0.
25. ZASADA HUYGHENSA
Zas. Każdy punkt, do którego dojdzie front fali można traktować jako punktowe źródło nowej fali, wypadkowy front fali w chwilę później można uważać wynik nałożenia (interferencji fal od owych źródeł. Tak więc ów otwór należy traktować jako płaskie kołowe źródło fali. Fala rozchodząca się za otworem jest określona charakterystyką kierunkową : {RYSUNEK} Zjawisko to nazywamy ugięciem (dyfrakcją) fali. {RYSUNEK} Pewne szczegóły ugiętej fali pokazane są na rys 2 Podobnie ma się rzecz z otworami o innych kształtach. Gdyby na drodze płaskiej fali ustawić przesłonę w kształcie krążka o średnicy D to fala też się ugnie. Kształt ugiętej fali winien być taki, że złożona z falą ugiętą na otworze winna tworzyć falę jakby żadnej przeszkody nie było , czyli falę płaską. Musi to być złożenie z uwzględnieniem faz, więc fale ugięte na dopełniających się przeszkodach są jakby falami dopełniejającymi się. Za pomocą zasady Huyghensa można łatwo przewidywać kształt fali i jej rozchodzenie się. Przykładem mogą być konstrukcje geometryczne wyjaśniające zasady odbicia i załamania.
26. UGIĘCIE FALI NA OBIEKTACH ROZCIĄGŁYCH
Ugięcie fali - zmiana kierunku rozchodzenia i zmiany kształtu powierzchni równej fazy na skutek przesłon i przegród na drodze fali. Szczelinę lub rozciągłe źródło o szerokości D można traktować jako graniczny przypadek siatki interferencyjnej, w której Nà¥, dà 0 w taki sposób, że (N-1)*d=D. Można twierdzić, że w kierunku j=0 występują maksymalne wzmocnienia, a dla kąta dj=l/D pierwsze pełne wygaszenie. Kolejnych wygaszeń można spodziewać dla wielokrotności dj, gdy różnica dróg fal od skrajów źródła jest wielokrotnością l. Ważnym przypadkiem jest otwór kołowy (lub źródło płaskie kołowe). Przebieg ch-ki kierunkowej jest podobny do szczeliny, chociaż opisywany funkcją Bessela. Kąt dj ma teraz inną wartość dj=1.22*l/D. Metoda Fresnela analizy ugięcia. Analizuje się bezpośrednio interferencję w wybranym punkcie. Powierzchnię czoła fali dzieli się na strefy i w danym punkcie składa się amplitudy od poszczegolnych stref. Składane amplitudy tworzą spiralę Cornu. Analizując falę płaską, można na jej powierzchni wyznaczyć koliste strefy Fresnela różniące się o l/2 odległością od środka. Przesłaniając tylko parzyste lub nieparzyste pierścienie otrzymujemy soczewę Fresnela.
27. ZASADY HOLOGRAFII
By określić powierzchnię falową należy podać amplitudę i przesunięcie fazowe dla każdego punktu powierzchni. W przybliżeniu Fraunhofera dalej propagującą falę przedstawia się jako superpozycję wiązek równoległych o amp. c(j),j - kąt rozchodzenia. Mierząc daleko od źrodła warości c(j) można dojść do wniosku, że są one związane z amplitudą przekształceniem Fouriera.
Holografia wykorzystuje fakt, że fala ugięta na obrazie dyfrakcyjnym daje obraz przedmiotu, z którego zarejestrowano obraz dyfrakcyjny. Na kliszy holograficznej fazę fali ugiętej rejestruje się w ten sposób, że oświetla się kliszę też falą odniesienia o określonej fazie, i wypadkowe naświetlenie kliszy wynika z interferencji fali ugiętej i fali odniesienia. Stosuje się odwrotne przekształcenie Fouriera.
28. CHARAKTERYSTYKI KIERUNKOWE NADAJNIKÓW I ODBIORNIKÓW
Jeżeli fala od nadajnika ma być emitowana równomiernie we wszystkich kierunkach , to nadajnik musi mieć geometrię punktową, Często jednak chodzi o emitowanie fali w określonym kierunku. Często stosuje się powierzchnię kolistą. Źródło w kształcie koła to głośnik, przykładem jest punktowe źródło w ognisku zwierciadła parabolicznego. {RYSUNEK} Jeżeli źródło punktowe Z umieści się w ognisku zwierciadła parabolicznego to promienie odbite od powierzchni tworzą wiązkę równoległa, a drogi promieni są takie same po dotarciu do płaszczyzny S prostopadłej do osi zwierciadła. Powierzchnia S jest spójnym źródłem fali o kształcie koła. Odbiorniki (detektory) punktowe fal mają (niektóre) charakterystykę czułości izotropową. Jeżeli złoży się takie odbiorniki w układ o geometrii siatki interferencyjnej a sygnały od nich będzie się sumować z uwzględnieniem fazy to charakterystyka kierunkowa takiego systemu jest identyczna jak układu nadawczego. Można ogólnie powiedzieć, że charakterystyki kierunkowe nadajnika i odbiornika o tej samej geometrii są identyczne. Przykładami rozwiązań praktycznych, w których zagadnienie ostrej charakterystyki kierunkowej jest istotne są odbiorniki sygnałów kosmicznych. Np. radioanteny astronomiczne za pomocą których ogląda się kosmos w obrazie fal radiowych o długościach rzędu centymetra. Taka antena powinna wycelowana w wybranym kierunku nieba tak, aby odbierała sygnały przechodzące tylko z wybranego kierunku. Dlatego wymagana jest duża zdolność rozdzielcza kątowa. Aby osiągnąć duża rozdzielczość kątową buduje się anteny o średnicach 100 i więcej metrów. W ostatnim czasie synchronizuje się do wspólnego odbioru anteny takiego typu między sobą między obserwatorami odległymi od siebie o setki kilometrów. charakterystyka kierunkowa takiego układu jest iloczynem charakterystyki pojedynczego źródła (w tym przypadku zwierciadła parabolicznego) i geometrii układu źródeł - duża odległość d od siebie. Duża wartość d (setki kilometrów) w stosunku do l zapewnia bardzo małe sj dla układu dwu źródeł w jednym wymiarze. Z kolei charakterystyka paraboliczna zapewnia rozsądna rozdzielczość w pozostałych kierunkach.
29. OPÓR FALOWY OŚRODKA
W ruchu falowym z punktu widzenia opisu fali istotna jest fala wychyleń Y i prędkości drgań u. Korzystając z równań opisujących te wielkości oraz dF/S=dp, d2Y/dt2=du/dt, mamy rdu/dt=dp/dx. Więc p=-u0*rv*cos(kx-wt)= -u0*Z*cos(kx-wt)=Z*u, gdzie u0 - amp. prędkości drgań, Z - opór falowy ośrodka. Natężenie fali I=u*p=u2*Z=p2/Z. Dla fali harmonicznej natężenie fali jest różne w różnych momentach czasu. Mówi się więc o skutecznych wartościach ciśnienia i prędkości drgań I=usk*psk. Dla fal elektromagnetycznych odpowiednikiem fali prędkości jest fala natężeń pola magnetycznego, a ciśnień - fala natężeń pola elektrycznego. Opór Z=sqrt((m*m0)/(e*e0)). Opór falowy dla próżni dla fali elektromagnetycznej jest równy 377 W. W linii długiej opór falowy Z=sqrt(L1/C1).
30. FALA NA GRANICY DWÓCH OŚRODKÓW
Gdy fala pada na granicę między dwoma ośrodkami to w części się odbija a w części przechodzi do drugiego ośrodka, przy czym następuje tzw. załamanie fali określone zależnością (sina/sinb=v1/v2. Gdy fala pada prostopadle na granicę między ośrodkami, to z zasady zachowania energii I=Io+Ip, Io natężenie fali odbitej, Ip natężenie fali przechodzącej. Oporność falowa ośrodka odpowiednio Z1, Z2. Z ciągłości amplitudy wychyleń, prędkości i ciśnień na granicy dwóch ośrodków (na granicy wypadkowe wychyleń i prędkości cząstek oraz ciśnienia muszą być takie same w obu ośrodkach) mamy: (1) Y+Yo=Yp, (2) u+uo=up, (3) p+po=pp. Indeksy o i p dotyczą fali odbitej i przechodzącej. Równania (1) i (2) są sobie równoważne. Można otrzymać: Ao/A=R=(Z1-Z2)/(Z1+Z2), a dalej Io=R2*I=((Z1-Z2)2/(Z1+Z2)2)*I oraz Ip=(1-R2)*I=(4*Z1Z2/(Z1+Z2)2)*I gdzie R jest współczynnikiem odbicia fali. Tak więc los fali na granicy dwóch ośrodków zależy od względnej wartości ich oporności falowych. W przypadku gdy Z1=Z2, mamy do czynienia z dopasowaniem ośrodków. Fala w całości przechodzi do ośrodka drugiego, gdy opory falowe różnią się, fala w części odbija się, a w części przechodzi. Przy czym gdy Z1>Z2, R>0 , tzn. faza fali odbitej jest zgodna z fazą fali padającej w miejscu odbicia amplituda drgań jest sumą fali padającej i odbitej. W przeciwnym wypadku, tzn. gdy Z1
31. FALA STOJĄCA
Jeżeli fala całkowicie odbije się na granicy dwóch ośrodków, to w wyniku interferencji fali padającej Y i odbitej Yo otrzymamy fale stojącą. Ys= Y + Yo =2*A*cos(k*x)*sin(w*t). Fala stojąca nie jest już właściwie falą, bowiem funkcja opisująca drgania ośrodka nie jest funkcją argumentu (k*x-w*t). Są to właściwie stacjonarne drgania w czasie (czynnik (sin(wt)), ale amplituda drgań jest funkcją położenia (czynnik 2*A*cos(k*x)). Jeżeli opór falowy ośrodka, w którym fala pada jest większy od oporu falowego, do którego fala wchodzi to na granicy powstanie strzałka, w przeciwnym wypadku powstanie węzeł. Jeżeli ośrodek , w którym fala jest stojąca jest ograniczony z obu stron zapewniającymi całkowite odbicie to fala stojąca jest ograniczona z dwu stron Takie układy nazywamy rezonatorami: {RYSUNEK} W rezonatorze mogą być fale stojące tylko takie, których długości fal ln są dopasowane do wymiarów rezonatora L. Dla jednowymiarowych drgań n*(ln/2)=L , gdzie n jest naturalne, lub (ln/2)*(n-1/2)=L. A więc i dozwolone częstości drgań rezonatora tworzą dyskretny ciąg nn=v/ln=(n*v)/(2*L) lub nn =(v*(n+1/2))/(2*L). W ogólnym przypadku rezonator jest obiektem trójwymiarowym i taki sam charakter mają fale stojące.
32. NATĘŻENIE, INDUKCJA I POTENCJAŁ POLA ELEKTRYCZNEGO
Na umieszczony w polu elektrycznym ładunek q działa siła F. Tę własność pola opisuje wektor natężenia pola elektr. zdefiniowany następująco E=F/q. Inną wielkością opisującą pole elektryczne jest potencjał. Różnicę potencjałów elektr. określamy jako VA-VB = WAB/q gdzie WAB-praca wykonana przy przesunięciu ładunku q z punktu A do B. Zazwyczaj jako punkt A przyjmowany jest pkt. w nieskończoności i potencjał w tym punkcie VA przyjmowany jest za równy zeru. Pozwala to na określenie potencjału elektr. w konkretnym punkcie. V=W/q gdzie W-praca wykonana aby przenieść ładunek q z nieskończoności do danego punktu. Podstawiając WAB=ò{A,B}Fdl=- ò{A,B}qEdl czyli VA=- ò{¥,A} Edl. Indukcja pola elektr. Zjawiskiem indukcji elektrostat. nazywamy zjawisko rozdziału ładunków elektrycznych w przewodnikach. Indukcyjne wartości pola elektr. opisuje wektor indukcji D pola elektr. Definicja tego wektora wiąże się z wielkością indukowanego ładunku Dn=Dqind/DS=sind , gdzie Dn-składowa normalna wektora indukcji do płytki o powierzchni DS na której indukuje się ładunek Dqind , sind -gęstość powierzchniowa ładunku na pow. DS Chociaż wektory E i D są zdefiniowane niezależnie od siebie to doświadczalnie określono związek między; w próżni D=e0*E.
33. PRAWO GAUSSA I JEGO ZASTOSOWANIE
Jeżeli dowolny ładunek Q zamknięty wewnątrz przewodzącej powierzchni dowolnego kształtu to całkowity ładunek zaindukowany przez pole elktr. (wytworzone przez Q) na zewnątrz tej powierzchni jest równy ładunkowi Q. Ponieważ zaindukowany ładunek qind jest równy sumie ładunków Dqind zaindukowanych na małych kawałkach DS całej powierzchni a z kolei Dqind=Dn*DS możemy zapisać qind=òòS DndS =Q. Weźmy przykładowo ładunek punktowy Q. Wytwarza on pole kulisto-symetryczne. Jeżeli więc jako powierzchnię Gaussa S weźmiemy powierzchnie kulistą o promieniu r ze środkiem w środku ładunku to składowa Dn=D i jest stała na całej powierzchni, czyli z prawa Gaussa òòS DndS =D*4P*r2=Q skąd D=Q/(4P*r2) i E=Q/(4Pe0*r2). Skąd wielkość siły działającej na ładunek q w odległości r od Q: F=(Q*q)/(4P*e0*r2); jest to prawo Coulomba.
34. ENERGIA POLA ELEKTRYCZNEGO
Przy opisie energii pola elektrycznego wygodne jest wprowadzenie kondensatora, czyli elementu złożenego z dwóch okładek, na których może gromadzić się ładunek elektryczny. Napięcie między okładkami jest związane z ładunkiem stałą - pojemnością. C=Q/V. Wielkość ta jest zależna od geometrii okładek i materiału między nimi. W procesie ładowania kondensatora wykonywana jest praca. Jeśli ładunek wynosi q, napięcie q/C to w procesie przeniesienia między okładkami następnej porcji ładunku dq praca wynosi dq*q/C. Stąd całkowita praca przy ładowaniu do ładunku Q: L=1/c*ò {0,Q} q*dq=Q2/(2*C)=C*V2/2. Wykonana praca jest równa energii potencjalnej zgromadzonej w kondensatorze. Przypisujemy energię zgromadzoną w kondensatorze polu elektrycznemu, więc Wzór na gęstość energii pola elektrycznego Er=E*D/2. Energia ładunku elektrycznego Q zgromadzonego w jednorodnie naładowanej kuli o promieniu R. Gęstość ładunku 3Q/(4PR3). Ładunki doprowadza się porcjami dq i rośnie promień r, tak by gęstość stała. Wtedy (r/R)3=q/Q, a potencjał na powierzchni kulki q/(4Pe0r) = (Q*q2)1/3/(4Pe0R). W końcu energia rozważanego układu równa pracy wykonanej w procesie gromadzenia ładunku (Q*q2)1/3/(4Pe0R) * ò{0,Q) q2/3dq = 3/5 Q2/(4Pe0R). Takim wzorem szacuje się energię elektryczną jądra.
35. DIPOL ELEKTRYCZNY
Dipolem elektr. pe określamy ukł. dwu równych przeciwnego znaku ładunków q oddalonych od siebie o l. Miarą dipola jest jego moment elektryczny pe=q*l. Jeżeli rozważymy siły działające na dipol elektr. w polu elektr. jednorodnym to zauważamy, że działa na niego moment siły M=F*l*sinj=E*pe*sinj <
36. DIPOL ELEKTRYCZNY W POLU ELEKTRYCZNYM
37. NATĘŻENIE I INDUKCJA POLA MAGNETYCZNEGO
Oddziaływania magnetyczne przekazywane są przez pole magnetyczne. Pole magnetyczne nie oddziaływuje na nieruchome ładunki elektryczne. Nie wytwarzają one pola magnetycznego. By powstało pole magnetyczne musi poruszać się ładunek elektryczny; ładunek musi się poruszać, by działało na niego pole magnetyczne. Pole magnetyczne określają dwa wektory - indukcji B i natężenia H. Wektor B opisuje własności dynamiczne pola i jest określony przez zależność na siłę F działającą na przewodnik o długości L w którym płynie prąd I. F=I*LxB. (siła ta jest sumą sił działających na poszczególne elektrony, które poruszają się w przewodniku FL=qvxB; jest to siła Lorenza). Wektor natężenia pola opisuje własności magnetyczne pola. Jest on określony przez związek z natężeniami prądu elektrycznego, wytwarzającego dane pole. Linie pola magnetycznego są liniami zamkniętymi. Kierunek i zwrot określa reguła śruby prawoskrętnej.
38. WZÓR AMPERA
Ilościowa zależność między prądem a natężeniem powstałego pola magnetycznego to prawo Ampera. Przyjmując dowolny zamknięty kontur l otaczający przewodnik z prądem o natężeniu I i oznaczając przez Hl składową styczną natężenia pola magnetycznego na odcinku dl tego konturu, mamy òo (Hl dl)=I. Całkowania dokonuje się po całym zamkniętym konturze l. Związek pomiędzy wektorami H i B: B=m0*H i został ustalony empirycznie. Pole magnetyczne: 1.Wokół przewodnika z prądem H=I/(2PR) 2.Solenoid; pole istnieje tylko wewnątrz solenoidu i jest ono jednorodne H=Jn/l (J-natężenie prądu w solenoidzie, n-liczba zwojów, l-długość) {RYSUNEK}. Kierunek linii pola z reguły śruby prawoskrętnej.
39. RUCH CZĄSTEK NAŁADOWANYCH W POLU MAGNETYCZNYM
Jeżeli naładowana ruchoma cząstka znajdzie się w polu magnetycznym, to będzie na nią działać magnetyczny składnik siły Lorenza. Ruch ładunku w polu magnet. zależy od wartości prędkości oraz położenia wektorów v i B. 1.v=0 v v<>0 i kąt(v,B) = 0 v 180 à pole nie oddziaływuje na ładunek. 2.v<>0 i v prostop do B à F=qvB. Siła Lorenza jest siłą dośrodkową. Pod wpływem tej siły prędkość zmienia kierunek, lecz nie zmienia wartości prędkości - ładunek porusza się ruchem jednostajnym po okręgu. qvB=(Ul*v2)/r à r=(Ul*v)/q*B 3.v<>0 i kąt(v,B)= tu RYSUNEK. Złożeniem ruchów względem osi OB i Ovy jest ruch pospiralny; OB-nie działa żadna siła; OVy-siła dośrodkowa powoduje ruch po okręgu Vy=Vc*sin(alfa).
40. DIPOL MAGNETYCZNY
Elementarnym modelem dipola elektrycznego jest pętla z prądem. Wartość dipola wyznacza jego moment magnetyczny pm=I*S*n, gdzie I-natężenie prądu w pętli. W polu magnetycznym działa na dipol moment siły M=pmxB oraz dipol na energię potencjalną U=-pm*B. Dipolem magnetycznym jest także ładunek q krążący po orbicie kołowej. Wtedy I=q*n, gdzie n-częstotliwość krążenia. pm=(q/2m)*K, K-kręt, q/2m-stała żyromagnetyczna cząstki. Kręt orbitalny elektronu Kl=h/2P*sqrt(l(l+1)) l=1,2,3... - orbitalana liczba kwantowa. Więc moment orbitalny też jest skwantowany. Kręt własny (spinowy) Ks=h/2P*sqrt(s(s+1)) s=1/2 (dla elektronów, protonów i neutronów) - spinowa liczba kwantowa. Cząstki mają też własny (spinowy) moment magnetyczny. Naturalna atomowa jednostka momentu magnetycznego mB=(e/2m)*h/2P=0.9*10-23 A*m2 - magneton Bohra. Wypadkowy kręt K elektronu, równy sumie pędu orbitalnego i spinowego, też jest kwantowany. Jeśli j-liczba kwantowa to K=h/2P*sqrt(j(j+1)). W molekułach i kryształach atomy wiążą się elektronami walencyjnymi na ogół w ten sposób, że momenty spinowe i orbitalne znoszą się.
41. DIPOL MAGNETYCZNY W POLU MAGNETYCZNYM
42. ZJAWISKA I PRAWA INDUKCJI. I RÓWNANIE MAXWELLA
Gdy zmienia się strumień indukcji fB przenikający powierzchnię ograniczoną konturem zamkniętego, jednozwojowego obwodu elektrycznego w obwodzie tym indukuje się siła elektromotoryczna eind=-dfB/dt. Znak minus - reguła Lenza. W obwodzie elektrycznym indukuje się pole elektryczne. Iloczyn natężenia tego pola na małym odcinku drogi dl obwodu razy jego długość jest częścią siły elektromotorycznej indukującej się na tym odcinku, a pełna wartość wynosi eind=oòl el*dl - całkowanie po całym zamkniętym obwodzie. Istota zjawiska indukcji elektromagnetycznej polega na tym, że zawsze wokół zmieniającego się w czasie strumienia indukuje się wirowe pole elektryczne. Ilościowo związek między nimi określa I równanie Maxwella mówiące, że całka po dowolnym zamkniętym konturze l iloczynu składowej natężęnia pola elektrycznego stycznej do konturu razy mały element tego konturu jest równa ujemnej wartości szybkości zmian strumienia wektora indukcji pola magnetycznego przechodzącego przez powierzchnię ograniczoną tym konturem: oòlEl*dl = dfB/dt = -Sòòl dBn/dt*dS. Bn jest składową normalną do dS. Inaczej rotB= -dB/dt. Zjawisko indukcji występuje też w czsie ruchu względem pola mag.
43. ZJAWISKA UWARUNKOWANE INDUKCJĄ ELEKTROMAGNETYCZNĄ (ZASTOSOWANIE)
Technika prądów zmiennych (podstawa współczesnej energetyki, łączności i przetwarzania informacji) opiera się na zjawisku indukcji elektr. W szczególności podstawą działania transformatora. Indukcyjność charakteryzuje zdolność obwodu do wytwarzania strumienia indukcji magnetycznej objętego tym obwodem. Mówi się o strumieniu sprzężonym fBs z obwodem: fBs=L*J, gdzie J - prąd w obwodzie, L - indukcyjność zależna od geometrii obwodu i przenikalności magnetycznej materiału. Dla solenoidu L=mm0Sz2/l, gdzie S, z, l są przekrojem poprzecznym, liczbą zwojów i długością solenoidu. Dla zmieniającego się prądu eind=-L*dJ/dt. Zewnętrzne źródło prądu musi zrównoważyć ową siłę elektromotoryczną. Każdy obwód ma skończony opór R i indukcyjność L. Jeżeli więc momentalnie włączy się źródło prądu o sile ez, to równanie dla prądu w obwodzie i jego rozwiązanie w funkcji czasu mają postać: ez+eind=i*R; i=ez/R*(1-e-t*R/L). Więc prąd zwiększa się od 0 do wartości ustalonej wykładniczo ze stałą L/R. Jeżeli pole magnetyczne od prądu z jednego obwodu przenika inny obwód to można mówić o strumieniu indukcji sprzężonym w obwodzie drugim wywołanym prądem obwodu pierwszego. Mówi się o indukcji wzajemnej L. Dużą wartością L charakteryzują się transformatory.
44. RÓWNANIA MAXWELLA
I równanie Maxwella opisuje zjawisko indukcji elektromagnetycznej i mówi, że całka po dowolnym zamkniętym konturze l iloczynu składowej natężenia pola elektrycznego stycznej do konturu razy mały element tego konturu jest równa ujemnej wartości szybkości zmian strumienia wektora indukcji pola magnetycznego przechodzącego przez powierzchnię ograniczoną tym konturem : òo{l}Eldl = dFB / dt = - òò{(S)l} (¶Bn / dt)*dS. II równanie Maxwella mówi, że pole mag. wokół przerwy między okładkami kondensatora jest takie samo jak wokół przewodnika i jest opisywane związkiem: òo{l}Hldl = S*(dDn / dt) = dFe / dt = òò{(S)l} (in + ¶Dn / dt)*dS. Kolejne dwa równania dotyczą wektorów indukcji. Równaniem III jest prawo Gaussa: òòo{s]DndS = òòò{(V)S}(r)*dV. Równanie IV mówi, że nie ma ładunków magnetycznych, czyli całka z wektora indukcji pola magnetycznego po powierzchni zamkniętej jest równa zero: òòo{s]BndS = 0. Innymi słowy, linie indukcji pola mag. są zamknięte. Równanie V i VI to związki między D i E oraz B i H: D = ee0*E , B = mm0*H.
45. EMISJA FALI PRZEZ PORUSZAJĄCY SIĘ ŁADUNEK
46. EMISJA FALI ELEKTROMAGNETYCZNEJ PRZEZ DIPOL ELEKTRYCZNY
O ile ładunki spoczywające wytwarzają tylko pole elektrostatyczne, a poruszające się jednostajnie wytwarzają dodatkowo pole magnetyczne, to poruszające się ruchem zmiennym wytwarzają falę elektromagnetyczną. Stwierdzenia te ukryte są w równaniach Maxwella. Jeżeli ładunek Q porusza się z przyspieszeniem a, to w.g. rozwiązania równania Maxwella, pomijając dodatkową składową blisko ładunku, fala elektromagnetyczna w odległości r od ładunku ma kierunek i zwrot wektora n taki jak r. Wartości natężenia pola elektrycznego wyraża się wzorem E(t) = [Q*n(na)]/[4*p*e0*c2*r(t’)], czyli E(t) = [Q*a(t’)*sinq]/[4*p*e0*c2*r(t’)]. n - jest wektorem jednostkowym wektora położenia r. Wartość pola w momencie czasu t jest określona przez sytuację ładunku chwili wcześniejszej t’=t-r/c o czas r/c, jaki potrzebuje pole elektromagnetyczne, aby przebyć odległość od ładunku do tego miejsca. Ważnym przypadkiem jest fala emitowana przez drgający ładunek.
Pole magnetyczne emitowane przez drgający z amplitudą l ładunek Q jest takie samo jak emitowane przez drgający dipol pe=Q*l. Taki charakter ma w większości przypadków promieniowanie emitowane przez atomy i molekuły w formie promieniowania podczerwonego, widzialnego, rentgenowskiego, promieniowania gamma emitowane przez wzbudzone jądra. Także anteny nadawcze fal radiowych. Amplituda natężenia pola elektrycznego fali wynosi: E0=(pe*w2*sinq)/(4*p*e0*c2*r), oraz natężenie fali =(Eo*Ho)/2=(1/2)*Eo2*sqrt(eo/mo)=(pe2*w4)/(32p2*eo*c3*r2)*sin2q. Całkując po całej powierzchni kuli o promieniu r otrzymujemy moc P. emisji fali elektromagnetycznej przez drgający dipol: P=ò {0, p}(*2p*r2*sinq)*dq=(pe2*w4)/(12p*eo*c3).
47. OBWÓD ELEKTRYCZNY O STAŁYCH ROZŁOŻONYCH
Na ogół przyjmuje się, że napięcia i prądy w każdej części obwodu elektrycznego są determinowane przez aktualna wartość siły elektromotorycznej zasilającej obwód. W istocie pole elektryczne od zacisków siły SEM porusza się z prędkością światła wzdłuż obwodu. Dlatego napięcie i prąd w obwodzie, w odległości l od ogniwa, w momencie czasu t, są determinowane przez siły SEM w momencie czasu t-r/c. W przypadku siły SEM harmonicznej, zasilającej obwód stanowiący długą linie, powstaje wzdłuż linii fala napięcia i prądu. Prąd płynie także, gdy obwód jest rozwarty na końcu. Wtedy, gdy długość obwodu jest dopasowana do długości fali, po odbiciu fali napięcia i prądu na rozwartym końcu powstają fale stojące. Jeżeli obwód zasila źródło zmienne o natężeniu Iosin(wt), dopasowanym tak, że długość ramienia l jest równa 1/4 dł. fali związanej z częstotliwością w, to w obwodzie powstaje stojąca fala prądu. Prąd jest w takim obwodzie równoważny drganiom dipola o wartości : pe=qef*l/4 gdzie qef=ò{0,T/2}(Io*sin(wt))dt=2Io/w. Taki obwód emituje fale elektromagnetyczną (jak dla dipola). Moc emitowanej fali : P=p*Io2/(12p*eo*c) Jest to antena nadawcza zwana dipolem.
48. ANTENY DIPOLOWE ELEKTRYCZNE I MAGNETYCZNE
Antena dipolowa elektryczna - patrz końcówka p. 57. Typową odmianą anteny nadawczej typu dipol jest stosowanie tylko jednego ramienia w postaci masztu. Powierzchnia ziemi jest dla pola elektromagnetycznego pow. ekwipotencjalną, więc linie pola anteny układają się tak jakby pow. ziemi była zwierciadłem, pod którym jest odbicie anteny tworzącej pozorny obraz brakującej części obwodu.
Falę elektromagnetyczną emituje też drgający dipol magnetyczny. Wzór na natężenie pola magnetycznego takiej fali jest: E0=(pm*w2*sinq)/(4*p*c2*r). Moc takiego źródła w wersji technicznej (pętla o powierzchni S zasilana prądem zmiennym o natężeniu I0) wynosi: P=Io2*w4*S2/(12p*eo*c5). Gdy promień r pętli jest taki, że l=2p*r, wzór upraszcza się do wzoru P=p*Io2/(12p*eo*c).
49. SPÓJNE I NIESPÓJNE ŹRÓDŁA ŚWIATŁA
Światło emitowane jest przez pojedyńcze wzbudzone atomy przechodzące do stanów podstawowych. Przejścia te są niezależne od siebie, więc światło emitowane przez różne atomy jest wzgl. siebie niespójne. Wzbudzone atomy sasiadujące ze sobą mają warunki synchronizacji emisji, ale skuteczność tej synchr. maleje wraz ze wzrostem odległości pomiędzy nimi. Spójne są źródła o rozmiarach porównywalnych, ale mniejszych od długości fali świetlnej . Naturalne spójne źródła światła mają rozmiary ok. 1mm. Niezależnie od rozmiarów D żródła i jego niespójności fala w pkt. A ma określoną fazę wynikającą z nałożenia się fal od całego żródła. W każdym momencie czasu faza w punktach sąsiadujących nie może być radykalnie inna, a różnica wynika z różnicy faz promieni dochądzących od źródła. W szczególności max różnica faz promieni mierzona w różnicy dróg fal między promieniami padającymi na ekran d w pkt. A i B jest równa: dr = Dsindj = Ddj Jeżeli jest ona dużo mniejsza od l to i różnica faz w pkt. A i B jest dużo mniejsza od 2p, a więc cały obszar d jest w przybliżeniu oświetlony spójnie. Pon. dj=d/L ostatecznie warunek na spójność ma postać:Dd << lL. Przykładem światła spójnego jest laser. Jego właściwości to: -kąt ugięcia dyfrakcyjnego wiązki 1cm: =2D=5*10-5rad (dwukrotne rozszerzenie po 400m);-jeżeli wiązkę lasera skupimy soczewką do średnicy 0,5 mm, to amplitudawzrośnie 40 razy (stosunek przekrojów poprzecznych) a natężenie jak kwadrat amplitudy: 1600razy.<
50. INTERFERENCJA NA CIENKICH WARSTWACH
a) to bieg jednego promienia rozciągłego niespójnego źródła S (metoda prążków równego nachylenia). Promień ten pada na płytkę i częściowoodbija się w postaci prom (1) a częściowo załamuje się i odbija od drugiej ściany płytki i wychodzi jako (2). Promienie te są spójne wzg. siebie (są z jednego intefer.). Warstwa D musi być bardzo cieńka; różnica dróg: D=n(AB+BC) AD D=2dncosb Fala przy odbiciu od ośrodka gęstego zmienia fazę o P.
b) to interferencja na cieńkim klinie (metoda prążków o równej grubości). Promieni (1,2) z punkt. żródła światła po odbiciu interferują jako promienie (1',2') ale tylko na powierzchni klina <
51. POMIAR DŁUGOŚCI FALI SIATKĄ INTERFERENCYJNĄ
52. ZJAWISKO DYFRAKCJI I INTERFERENCJA W PRZYRZĄDACH OPTYCZNYCH
Luneta-promienie zostają skupione w płaszczyżnie ogniskowej F w pkt. świetlnym który byłby obrazem pkt. S1. Soczewka obiektywu ma skończoną średnicę D więc promień ugina się tak jak na otworze o śr. D. Możemy powiedzieć że rozmycie kątowe obrazu P1 pkt. S1 jest równe przynajmniej dj=1,22l/D (ugięcie zerowego rzędu) Jeżeli od innego żródła S2 biegnie promień pod kątem Dj to powstaje podobny obraz P2 punktu S2. Jeżeli Dj jest <= dj to obrazy zleją się (nie można rozróżnić źródeł S1 i S2). Lunetą można rozróżnić dwa źródła jeśli ich odlełość kątowa Dj >=1,22l/D. Jest to graniczna rozdzielczość kątowa lunety (i innych przyrządów optycznych). Przy zwiększaniu średnicy obiektywu D zwiększa się proporcjonalnie do D2 strumień światła a powierzchnia plamki jest odwr. proporcjonalna do D2 gdy jasność plamki jest proporcjonalna do D4 W przypadku mikroskopu ze wzgl. na potrzebę uzyskiwania większych powiększeń liniowych i zbierania jak najwięcej światła, odległośc pom. przedmiotem a obiektywem są prawie równe ogniskowej (możliwie najmniejsza) a średnica ob. bliska ogniskowej. Najmniejszy rozróżniany szczegół dx odpowiada sytuacji gdy dx/f=1,22l/D więc: dx=l Falą nie można "oglądać' przeszkód o rozmiarach porównywalnych i
53. PRAWA KIRCHOFA DLA PROMIENIOWANIA CIEPLNEGO
54. WZÓR STEFANA-BOLTZMANA
55. HIPOTEZA FALOWA de BROGLIE'a
Mechanika ciał nie jest adekwatna do opisu świata mikrocząsteczek. Wskazaniami do właściwego rozwiązania były pewne analogie. Z optyki geometrycznej wiemy, że promień świetlny pokonuje drogę między dwoma określonymi punktami po ściśle określonym torze, który spełnia prawo załamania światła. W poł. 18 wieku, kiedy to przeważał pogląd o korpuskularnej naturze światła, tor promienia świetlnego utożsamiany z torem cząsteczek świetlnych. Wtedy Fermat sformułował zasadę dotyczącą toru promienia świetlnego między dowolnymi punktami w dwu ośrodkach przez które przechodzi promień ò(1 2)nds=min; n-wsp. załamania. W obrazie falowym tory promieni są kierunkami rozchodzenia się fal, a powierzchnie prostopadłe do nich są pow. równej fazy. Ponieważ n=c/v lub n=l/lm , dlatego zasadę Fermata można też zapisać min=ò(1 2) ds/ lm=ò(1 2)dt. Sto lat poźniej Maupertuls sformułował podobną zasadę wariacyjną w mechanice: ò(1 2)pds= min(p-pęd ciała, ds-odcinek drogi). Wychodząc z równania fali świetlnej można(przy warunku optyki geometrycznej l dąży do zera) otrzymać równanie elikonału, które wyznacza tor promienia(elikonat-faza fali), np.dla fali płaskiej ma postać (kx-w*t). Ruch pkt. materialnego można opisać równ. Hamiltona-Jacobiego, które to ma postać elikonału. Jednak zamiast elikonału występuje pewna funkcja S zwana działaniem w przypadku ruchu jednowymiarowego równanie Hamiltona-Jacobiego: (1/2m)*(¶s/¶x)^2+V(x)=¶s/¶t, gdzie s=(px-Et). Przeszkodą w wykryciu falowej natury światła była mała dł. fal świetlnych. Jeżeli skojarzy sobie związki między l,p,f i E dla fal świetlnych-fotonów oraz analogie między alikonałem(faza(kx-w*t) i działaniem (px-E) dostrzeżemy podobieństwo. W 1923 de Broglie sformułował hipotezę fal natury(?). Wg niej ruch cząsteczek jest opisany falą, której dł. l i częstotliwość f mają związek l=h/p; h-stała Plancka, p-pęd; f=E/h. Hipoteza ta nie znalazła początkowo uznania wśród fizyków. Dopiero za sprawą prac teoretycznych Schrodingera i Heissenberga, w których sformułowali (niezależnie mechaniki kwantowej, hipoteza stała się (?) W 1919 Darisson i inni rozpoczęli badania rozproszenia elektronów o energiach rzędu 100eV od powierzchni metali-metali polikrystalicznych. Doświadczenia wykazały, że natężenia wiązki elektronów rozproszonych zależy od orientacji płytki, wart. prądu elektronów rozproszonych zależy w sposób oscylujący od kąta j. Rozpoczęto badania na monokryształach. Dopiero w 1925 r. zwrócono uwagę na możliwość dyfrakcji wiązki elektronów na sieci kryształu podobnie jak promieni rtg. Darisson z Germerem przeprowadzili doświadczenia. Wybrano kryształ niklu, który ma strukturę kubiczną scentrowaną powierzchniowo. Kryształ wycięto i zorientowano tak, że wiązka elektronów pada prostopadle na płaszczyznę tzn. kierunek wiązki padającej pokrywał się z główną przekątną komórki elementarnej. Wyniki pomiarów: a)zależność natężenia prądu w funkcji nap. U dla kąta rozproszenia j=500 i kąta azymutowego a=900 Maksimum odpowiada energii elektronów 51eV. Więc dł. fali elektronów l=h/p=h/sqrt(2mUe)=16,7nm. Wyniki można wyjaśnić interpretując ugiętą wiązkę elektronów jako rezultat interferencji fali elektronów od rzędów atomów odległych o d. Warunkiem interferencji jest d*sinj=n. Układ maksimów można wyjaśnić: układ atomów odległych o d, przy obrotach wokół osi prostopadłej do płaszczyzny (z rysunku którego brak) powtarza się co 60 stopni i stąd kolejne maksima. Ich rozdzielenie ma (?) pliki niższe i wyższe-pełna symetria kryształu przy takich obrotach powtarza się dopiero co 120 stopni. Były i inne eksperymenty, autorem jednego był Polak-Szczeniawski.
56. FUNKCJA WŁASNA CZĄSTKI, JEJ WŁASNOŚCI
Równanie Schrodingera pozwala wyznaczyć funkcję falową danego stanu i w konsekwencji określić prawdopodobieństwo znalezienia się cząstki w poszczególnych (?) przestrzeni. W równaniu Schrodingera występuje jako parametr-całkowita energia cząstki. W przypadku cząstki swobodnej o energii E poruszającej się z pędem p w kierunku osi X funkcja opisująca cząstkę ma postać: Y=A*exp[(i/h)*(px-Et)] gdzie i-jednostkowa liczba urojona, A-amplituda. Wiedząc że, l=h/p można równanie Y=...jak wyżej zapisać Y=A*exp[i(kx-w*t)]; (k=2p/l -wektor falowy cząstki). Wiedząc że, eiz=cos(z)-i*sin(z) można się w funkcji Y dopatrywać podobieństwa z warunkiem fali, w ten sposób że: A-amplituda, exp[(1/h)(px-Et)] jest sumą czynników fali postaci harmonicznej (rzeczywistego i urojonego). Funkcja Y nazywa się funkcją własną i określa stan kwantowy cząstki. Znaczenie i rola funkcji własnej w mechanice kwantowej jest identyczna jak fali harmonicznej płaskiej w ruchu falowym. Sens fizyczny funkcji Y: Otóż kwadrat modułu tej funkcji, tzn. |Y|2=YY* (Y*jest sprzężone do Y) jest gęstością prawdopodobieństwa znajdowania się cząstki w danym miejscu tzn. |Y|2dxdy jest prawd. przebywania cząstki w objętości. Z warunku, że cząstka gdzieś jest na pewno wynika warunek unormowania funkcji: òòò(-¥ +¥)YY*dxdydz=1. Jeżeli wiele identycznych cząstek opisuje jedna funkcja falowa, wtedy gęstość cząstek jest wprost proporcjonalna do YY*, np. foton. Gęstość energii promieniowania jest wprost proporcjonalna do gęstości fotonów. Tak więc,natężenie fali świetlnej wprost propor. do gęstości fotonów czyli do |Y|2. Promieniowanie można też opisać falą elektromagnetyczną. Wtedy natężenie promieniowania wyraża się przez kwadrat modułu fali. Czyli funkcja opisująca falę świetlną jest wprost proporcjonalna do funkcji własnej fotonu. RYSUNEK: {wygląda mniej więcej tak: ¦<¦>¦ pierwsza ścianka ze szczeliną S, za szczeliny wychodzą dwa promienie r z indeksem S1 dochodzi do szczeliny 1 w drugiej ściance, r z indeksem S2 do szczeliny 2; ze szczelin 1 i 2 wychodzą promienie odpowiednio r1, r2 i dochodzą do szczeliny p w trzeciej ściance.} Szczelina S jest źródłem cząstek o określonej energii E i pędzie p emitowanych we wszystkich kierunkach. Funkcja własna cząstki przechodzącej od szczeliny S do 1 jest równa:Y(S® 1)=A*exp[(i/h)(p*rs1 -Et)]. Kwadrat modułu A2 jest prawdopodobieństwem takiego przejścia. Możemy też określić amplitudę prawdopodobieństwa przejścia cząstki od S przez szczelinę 1 do P: Y(S®1®-P)=Y(S®1)Y(1®P) z prawdopodobieństwa |Y(S®1®P)|2=|Y(S®1)|2|Y(1®P)|2. A teraz druga własność. Niech będzie szczelina 2. Analogicznie można wyrazić amplitudę prawdopod. Y(S®2®P). Całkowita amplituda prawdopod. wynosi Y(S®P)=Y(S®1®P)+ Y(S®2®P), a prawdopodobieństwo analogicznie. Jeżeli stan cząstki jest sumą kilku podstanów, to funkcja własna cząstki nie jest równa sumie prawdopod. cząstkowych, ale jest równe kwadratowi modułu sum amplitud prawdopod.. W wyniku możemy mieć efekty interferencyjne Y(S®1®-P)=A1'exp[(i/h)(p*rs1 -Et1’)]*A1''exp[(i/h)(p*r1 -Et1’’)] oraz Y(S®2®P)=A2'exp[(i/h)(p*rs2-Et2’)]*A2''exp[(i/h)(p*r2 -Et2’’)] Czasy t i amplitudy A są odstępami czasów i amplitudami w trakcie przebywania przez cząstkę różnych odcinków dróg: t1'+t1''=: t2'+t2''. Przyjmujemy :rs1= rs2= rs A1'A1''= A2'A2''=A; dlatego: Y(S®P)=A*exp(i/h)(p*rs-Et) *exp(i/h)p*r1*[1+exp(i/h)p*(r2-r1), a prawdopodobieństwo |Y(S®P)|2=A2*[2+exp(i/h)p*(r2-r1)+exp-(i/h)p*(r2-r1)], oznaczając p/h=2p/l=k; r2-r1=Dr po przekształceniach |Y(S®P)|2=2A2[1+cos(k*Dr)=4A2 cos2(k*Dr/2). Rozkład prawdopod. trafienia cząstki w różne miejsca ekranu jest interferencyjny.
57. ZASADA NIEOZNACZONOŚCI HEISENBERGA
Amplituda prawdopodobieństwa cząstki Y o energii E i pędzie p poruszającej się prostoliniowo wzdłóż osi OX wyrażona jest wzorem Y=A*exp[i(kx-w*t)]. Ponieważ A jest wielkością stałą, to YY*=A2 w obszarze od -¥ do +¥ Położenie cząstki znajduje się w przedziale od -¥ do +¥ Można sobie wyobrazić że funkcja falowa Y opisująca realną cząstkę winna być zlokalizowana w przestrzeni podobnie jak możliwe położenie cząstki jest więcej lub mniej zlokalizowane. Na danym przykładzie cząstka porusza się w kierunku osi X z prędkością V. Funkcja falowa ma postać jak na rysunku (2) a to jest paczka falowa. Ostatni wykres przedstawia gęstość prawdopodobieństwa znajdowania się cząstki w danym miejscu. Sprawdzając koncepcję paczki falowej ze względu na prędkość mamy: Vfaz =w/k=E/p. Jeżeli E=p2/2m to Vfaz=V/2, gdy E=mc2 to Vfaz=c2/V. Prędkość grupowa paczki falowej wynosi Vgr=d w/dk=dE/dp=V. Czyli rzeczywiście funkcje falowe realnych cząstek są paczkami falowymi. Uwzględniając związek pędu z wektorem falowym i częstotliwości z energią mamy Dx*Dpx>=h; Dt*DE>=h. Zależności te nazywane są zasadami nieoznaczności Heissenberga(1930). Dla trzech wymiarów mamy Dy*Dpy>=h; Dz*Dpz>=h; px py pz- składowe pędu. Im cząstka, a więc i funkcja własna lepiej zlokalizowana w przestrzeni tym składa się na nią szersze widmo pędów co oznacza,że pęd cząstki ma określoną nieoznaczoność. Także im czas trwania Dt cząstki jest krótszy tym większe jest rozmycie (nieoznaczoność) energii cząstki. Zasady nieoznaczoności są zakodowane w prawa przyrody i zjawiska w świecie mikrocząsteczek Ważniejsze przykłady działania zasad nieoznaczoności: a)związek między czasem życia t atomu w stanie wzbudzonym i rozmyciem DE wartości energii atomu w tym stanie t*DE@h. Takie samo rozmycie ma foton. Nieoznaczoność częstotliwości fotonu Dt=DE/h=1/t. W stanie podstawowym atom może przebywać praktycznie dowolnie długo tzn. t jest dowolnie duże, więc rozmycie energii poziomu podstawowego jest równe zero; b)cząstki elementarne nietrwałe, których czas życia wynosi t. Wtedy energia spoczynkowa cząstki krótko żyjącej ma naturalne rozmycie DE=Dm0 c2 =h/t, a więc masa spoczynkowa cząstki krótko żyjącej ma naturalne rozmycie; c)próba pomiaru położenia i pędu cząstki z dokładnościami większymi od możliwych według zasad nieoznaczoności: elektrony przyspieszane nap. U(EK=e*U) i skolidowane otworem s w przesłonie są uformowane w wiązkę, która porusza się w kierunku osi Y. Składowa py =sqrt[2meU]. Jeżeli elektron wylatuje ze szczeliny s ma jakąś składową pędu Dpx , to jego tor utworzy kąt a z osią Y tak, że tga=D px/ py i elektron nie trafi w szczelinę o szer. Dx przesłony ustawionej w odl. DL, jeżeli tga> Dx/2L. Składowa Dpxmusi zawierać się w przedziale ±DpY *Dx/2L. Zwiększając L i zmniejszając Dx zmniejszamy nieoznaczoność położenia elektronu. Jeżeli na ekranie nastąpi rozbłysk to będzie spowodowany elektronem, który miał nieoznaczoność pędu Dpx=Dx*pY/2L. Elektron dolatując do szczeliny Dx opisuje falę płaską z długością l=h/py. W szczelinie Dx funkcja falowa elektronu ulega ugięciu, a więc i elektron ulega ugięciu. Kąt ugięcia wynosi Dj=l/Dx. Zaistniało rozmycie pędu: Dpx=py * tgDj @ pY*l/Dx, ponieważ l= h/pY to Dx* DpY @ h. Ogólnie twierdzenie Heisenberga mówi: iloczyn nieokreśloności wartości dwu zmiennych sprzężonych nie może być co do rzędu wielkości mniejszy niż stała Plancka. Energia i czas również są wielkościami kanonicznie sprzężonymi. A więc dla nich także słuszny jest związek nieoznaczoności: DE*Dt>=h/2 gdzie h to jednostkowa liczba urojona.
58. EFEKT TUNELOWY
Gdy cząstka pada na uskok potencjału wyższy od energii całkowitej cząstki to wg przewidywań mechaniki klasycznej cząstka odbije się, Wg mechaniki kwantowej równ. Schrodingera (prawa strona): (¶2YP /¶x2 )-q2YP =0, q=sqrt[2m(U-E)/h], a rozwiązanie ogólne: YP=a*exp(qx)+b*exp(-qx). Składowa exp(qx) nie ma sensu fizycznego, bowiem funkcja YP rosłaby do nieskończoności. Przyjmujemy więc jako rozwiązanie: YP =b*exp(-qx), YL =A*exp(ikx)+B*exp(-ikx) dla A=1. Z warunku ciągłości Y oraz ¶Y/¶x w miejscu x=0 mamy 1+B=b, i*k z ind. l*(1-B)=-bq. Rozwiązując układ otrzymujemy B=(1-i*sqrt(U/E-1))/(1+i*sqrt(U/E-1)), b=2/(1+i*sqrt(U/E-1)) B=1, czyli cząstka na pewno odbija się, ale i wnika do obszaru 'zakazanego', w którym energia potencjalna jest większa od całkowitej. Fala odbita i padająca w obszarze L tworzy falę stojącą. Gdy cząstka nalatuje na barierę potencjału, to ponieważ energia E jest mniejsza od wysokości bariery, więc wg praw mechaniki klasycznej cząstka winna się odbić. Rozwiązania są takie same jak dla przypadku wyżej omówionego. Prawdopodobieństwo znalezienia się cząstki w miejscu o współrzędnej x=a jest równe |b|2 *exp(-2qa). Ponieważ dalej energia cząstki jest większa od potencjalnej, cząstka może swobodnie poruszać się w prawo. Tak więc wg mechaniki kwantowej cząstka może przenikać barierę energii potencjalnej większą od energii cząstki. Zjawisko to nazwane zostało efektem tunelowym(1928). Prawdopodobieństwo przeniknięcia C2 jest równe prawdopodobieństwu wniknięcia cząstki w barierę energii potencjalnej na głębokości a. W przybliżeniu C2@exp(-2qa). Prąd prawdopodobieństwa cząstki padającej musi być równy sumie prądu prawd. przejścia i odbicia, a prędkość cząstki jest po obu stronach bariery taka sama. Dlatego B2+C2=1. Prawdop. przeniknięcia bariery potencjału przez cząstkę nazywane współczynnikiem przeźroczystości T bariery jest ważną wielkością. W ogólnym przypadku bariera ma dowolny kształt Wtedy możemy całą barierę podzielić na wąskie prostokąty. Zgodnie z zasadami rachunku prawdop. prawdopodobieństwo T przeniknięcia całej bariery jest równe iloczynowi prawdopodobieństw przeniknięcia kolejnych prostokątów. W granicy mamy wzór na współczynnik przeźroczystości bariery potencjału: lnT=(2/h)*ò(xa xb ) (sqrt(2m(U-E)dx).
59. CZĄSTKA W STANIE ZWIĄZANYM
Podstawowe wyniki mechaniki kwantowej odnośnie cząstki w stanie związanym tj. cząstki uwięzionej w dole energii potencjalnej. Jeżeli mowa o cząstce w stanie związanym to mamy na myśli układ dwu cząstek przyciągających się, których całkowita energia jest mniejsza od sytuacji, gdy cząstki są oddzielone od siebie. Zachowanie takiego układu opisuje się masą zredukowaną poruszającą się w polu sił oddziaływania między realnymi cząstkami. Centrum pola sił jest w środku masy cząstek realnych, a samo pole musi mieć kształt dołu energii potencjalnej. A więc każda cząstka będzie na ogół masą zredukowaną. Jeżeli układem jest jądro i elektron krążący wokół niego, to masą zredukowaną jest elektron, a jądro jest w centrum siły. Jeżeli układem są dwa identyczne atomy przyciągające się i tworzące cząsteczkę, to masa zredukowana jest równa połowie masy jednego atomu i chwilowe położenia atomów są równe ±r/2; r-położenie masy zredukowanej od centrum siły. Najprostszym przypadkiem do liczenia jest tzw. nieskończona studnia potencjału. U=0 w 0
61. BOZONY, FERMIONY, ZAKAZ PAULIEGO
62. ENEGRIA FERMIEGO.
63. DRUGA ZASADA TERMODYNAMIKI.
64. POMPA CIEPLNA.
65. STATYSTYCZNY OPIS RÓWNOWAGI TERMODYNAMICZNEJ
Jeżeli mamy N molekuł,z których każda ma i stopni swobody i znajdują się one w stanie równowagi termodynamicznej bo liczba mikrostanów całego układu o energiach mniejszych od U=eiN jest równa F(U)=jiN ,U-energia wewn ukł.Liczba F(U) jest bardzo duża,jeśli np.obraną osią jest skala energii układu to poziomy energii stanów kwantowych całego układu byłyby ułożone niesłychanie gęsto.Odległości między tymi poziomami byłaby dużo mniejsza od nieokreśloności dU energii wewnętrznej układu. Za liczbę stanów kwantowych W układu możemy wtedy przyjąć liczbę stanów kwantowych układu w przedziale naturalnego rozmycia energii układu dU: W(U)=(¶F/¶U)*dU=jiN-1(dj/de)dU lub lnW(U)=iN*lnj; Jeżeli W jest prawdopodobieństwem określonego stanu makroskopowego układu to jest ono równe W=W/Wt ,gdzie W-odpowiadająca danemu stanowi liczba stanów kwantowych,a Wt -wszystkie możliwe stany kwantowe danego układu w określonych warunkach.Stan równowagi termodynamicznej jest stanem dla którego W osiąga maksimum. Jeżeli mamy dwa układy:układ A o energii U i układ A' o energii U' to układy razem wzięte tworzą układ A^ o energii U^=U+U' odizolowany od zewnętrznych wpływów tzn. U^ i Wt + są wielkościami stałymi. Prawdopodobieństwo że układ A ma energię U jest dane wzorem W(U)= W(u)^/Wt^=const*W^(U), gdzie W^(U)-liczba stanów kwantowych całego układu A^. Równanie to możemy przekształcić do postaci: lnW(U)=const+lnWU)+lnW'(U^-U). Stanowi równowagi termodynamicznej odpowiada maksimum W: ¶(lnW)/¶U=0. Przekształcając (¶U=-¶U') [¶(lnW)/¶U]V =[¶(lnW')/¶U']V .Warunek stałej objętości wynika z faktu,że układy są tylko w kontakcie cieplnym a ich objętości są stałe.Wtedy W jest tylko funkcją U.Pochodna (¶(lnW)/¶U przy stałej objętości jest wielkością charakterystyczną dla układu i w równowadze termodynamicznej ma tą samą wartość dla wszystkich podukładów kontaktujących się cieplnie.Czyli temperatura jest wielkością,której wartość pozostaje taka sama we wszystkich częściach układu czyli [¶(lnW)/¶U]V=1/(kT); k-stała Boltzmana, kT=(e-e0)/a. Ostatnie równ.wyraża zasadę ekwipartycji energii.
66. ENTROPIA.
67. ROZKŁAD KANONICZNY GIBBSA
Jeżeli mamy dwa układy:układ A o energii U i układ A' o energii U' i dodatkowo założymy że układ A' jest dużo większy od układu A. Prawdopodobieństwo,że układ jest w stanie kwantowym j wynosi W(j).Oczywiście wtedy W=1.Natomiast U'=U^-Uj gdzie Uj jest energią układu A w stanie kwantowym j.Ponieważ Uj<
68. ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA BOLTZMANA
Interesujące jest zagadnienie w jakich warunkach rozkład kanoniczny Gibbsa można odnieść do pojedynczej cząstki,gdy prawdopodobieństwo że cząstka jest w wybranym stanie kwantowym j nie zależy od stanu kwantowego reszty układu,a więc od stanu pozostałych cząstek w układzie.Tak jest gdy dozwolona liczba stanów kwantowych jakie ma do dyspozycji jedna cząstka w układzie jest dużo większa od liczby cząstek.Liczba stanów kwantowych zależy od przedziałów pędów DpX , DpY i DpZ cząstki wg wzoru DW=V(DpX+DpY+DpZ)/h3 gdzie h=6.6*10-34 Js jest stałą Plancka.Energia kinetyczna jest w przybliżeniu równa kT więc pęd cząstki jest równy sqrt(mkT),przedziały pędów DpX =DpY=DpZ są równe pędowi cząstki stad warunek aby liczba cząstek była dużo mniejsza od liczby stanów kwantowych jednej cząstki N/V=N1<<((mkT)3/2)/h3 . Nierówność ta jest spełniona dla wszystkich prawie rodzajów substancji i ich stanów skupienia w warunkach ziemskich. Tak więc w przypadkach spełniających daną nierówność wzór na kanoniczny rozkład Gibbsa można stosować ponieważ suma prawdopodobieństw W(j) po wszystkich dozwolonych stanach kwantowych musi być równa 1. Wzór ten możemy zapisać w postaci: W(j)=(1/z)exp(-ej/(kT)); ej -energia cząstki w stanie kwantowym j, Z=S{j} exp(-ej /(kT))-suma stanów.Wzór ten nazywamy rozkładem prawdopodobieństwa Boltzmana(1877r).Jeżeli w układzie mamy N cząstek to średnia liczba cząstek w stanie kwantowym j jest równa: nj=NW(j)=NZexp(-ej/(kT))=exp((kTlnN-kTlnZ-ej/(kT)); kTlnN-kTlnZ=m jest potencjałem chemicznym cząstki.Ostatecznie nj=exp((m-ej)/(kT)).Jest to tzw statystyka Boltzmana wzór na średnią liczbę cząstek w stanie kwantowym.
69.STATYSTYKI KWANTOWE
70.71. RUCH CIEPLNY. FLUKTUACJE CIEPLNE.
Fluktuacje cieplne. W 1827 biolog Brown wykrył pod mikroskopem ruchy mikroskopijnych obiektów zawieszonych w wodzie, które przypominały ruchy mikroskopijnych organizmów żywych. Dopiero Einstein i polski fizyk Smoluchowski wytłumaczyli to zjawisko w 1905.Były to po prostu ruchy cieplne mikropyłku. Prawa tego ruchu są identyczne jak pojedynczej molekuły gazowej. Pyłek taki bombardowany z różnych stron molekułami gazu wykonuje chaotyczne przesunięcia podobnie jak pojedyncza molekuła. Jego średnia energia ruchu wynosi (3*K*t)/2,a średni kwadrat przesunięcia x2=(k*T*t)/(3phr).Wzór ten poprawnie opisuje wyniki obserwacji ruchów Browna. Ruchy B. są jednym z przykładów tzw. fluktuacji cieplnych zwanych też szumami cieplnymi. Ograniczają one w sposób naturalny czułość przyrządów pomiarowych. Każdy przyrząd mechaniczny charakteryzuje się stałą sprężystości układu a.Ponieważ zmniejszanie sprężystości a układu ma swoje granice z uwagi na górny zakres przyrządu i jego bezwładność czasową, czułość możemy zwiększać przez obniżanie temperatury. W praktyce problem szumów cieplnych występuje w miernikach elektronicznych, w których tylko szumy cieplne ograniczają czułość przyrządów. Ich źródłem są drgania cieplne jonów w sieci krystalicznej i ruchy cieplne elektronów przewodnictwa w przewodach elektrycznych, oporach i innych elementach obwodów elektrycznych. Powoduje to powstawanie "szumowych" krótkotrwałych impulsów napięcia w kształcie "szpilek". Napięcie szumów można uważać za zbiór przebiegów harmonicznych o wszystkich częstotliwościach od oscylatorów elektrycznych drgających cieplnie. Ponieważ energia drgań cieplnych jest kT, taka sama energia jest przekazywana w jednostce czasu, a jeżeli układ elektryczny przenosi pasmo częstotliwości Dv to tyle jest oscylatorów. Moc szumów cieplnych Psz jest równa Psz=K*t*Dv. Występuje także ruch cieplny rotacyjny. Molekuły wykonują chaotyczne obroty. Zależność na średnią wartość sinusa wypadkowego kąta obrotu u w czasie t: sin2u=(2/3 )*(1-e^(-6Drot*t)), Drot - wsp. dyfuzji w ruchu obrotowym. Gdy czas jest duży wtedy sin2u=2/3. Dla 6DrotDt<<1 sin2u<=1 i Du2=4Drot*t. Jeżeli molekuła jest dipolem elektrycznym, to zewnętrzne pole el. wymusza orientację dipoli w kierunku pola, a to wiąże się z polaryzacją P ośrodka. Polaryzacja P jest wprost proporcjonalna do zgodnej orientacji wszystkich dipoli. Gdy polaryzacja wynosiła P, a w czasie Dt następuje średnio obrót dipoli o kąt Du to nowa wartość polaryzacji od wartości p. maleje do Pcos(Du) czyli jego zmiana wynosi dP=-P*(1-cos(Du))=-2*Drot*P*Dt; 2*Drot=1/t; P=P0*e^(-t/t). t-czas relaksacji dipolowej a całe zjawisko zwane jest relaksacją dipolową. Według wzoru Stokesa moment siły oporu Mop kulki o promieniu r obracającej się z prędkością kątową s w ośrodku o współczynnik lepkości h jest równy Mop=8Phr3s; Drot=kT/(8Phr3); t=(8Phr3)/(2kT).
72. ENERGIA WIĄZANIA JĄDER ATOMOWYCH.
73. SYTUACJA ENERGETYCZNA NUKLEONÓW W JĄDRZE.
74.75. MODEL ROZPADU ALFA JĄDRA ATOMOWEGO; CHARAKTERYSTYKA I WARUNKI ENERGETYCZNE ROZPADÓW BETA
W przyrodzie występują jądra nietrwałe. Nazywamy je promieniotwórczymi jako, że rozpadowi towarzyszy emisja cząstek i ewentualnie promieni gamma. Iloczyn l*Dt gdzie l-stała szybkość rozpadu, jest prawdopodobieństwem rozpadu w czasie dt pod warunkiem, że l*Dt<=1. Zależność N=N0*exp(-l*t) określa ilość pozostających radioaktywnych atomów po czasie t. Czas, w którym rozpada się połowa atomów nazywamy półokresem rozpadu i określamy jako T1/2=ln(2/l). Wielkością charakteryzującą materiał jest tzw. radioaktywność, czyli szybkość rozpadów DN/Dt gdzie DN-liczba rozpadów w czasie dt, jest ona równa DN/Dt=l*N. Jednostką radioaktywności jest 1Bq (bekerel). Rozpad promieniotwórczy jądra jest zdarzeniem losowym. Prawdopodobieństwo n rozpadów w czasie t jest określone rozkładem Bernoulliego P(n,t)=(N0 nad n)*pn*(l-p)^(N0-n) gdzie p=exp(-l*t). Jeżeli l*t<=1 a tak jest bardzo często. to rozkład upraszcza się do rozkładu Poissona P(n,t)=(not(n)^n*exp(-not(n)))/n! (not(n)-n z kreską nad sobą) gdzie not(n)=No*l*t jest średnią liczbą rozpadów w czasie t. Kwadrat średniego odchylenia standardowego rozpadów wynosi d2=not(n). Jeżeli not(n)>=30 rozkład prawdopodobieństwa Poissona można zastąpić rozkładem Gaussa. Rozkład promieniotwórczy jądra jest wyrazem naturalnej tendencji osiągania przez jądra minimalnej energii potencjalnej tj. największej energii wiązania. ROZPAD ALFA: Są dwa sposoby rozpadu alfa . W rozpadzie alfa z jądra emitowana jest cząstka składająca się z dwu protonów i dwu neutronów 4 2 He (hel u góry cztery na dole dwa). Energia kinetyczna cząstki jest równa ułamkowi Mk/Mp całkowitej energii wyzwolonej w rozpadzie (Mk-max.końcowa,Mp-początkowa). Cząstka alfa w obszarze jądra jest pod działaniem sił przyciągania, czyli jest w obszarze dołu energii potencjalnej, natomiast całkowita energia cząstki Ealfa jest dodatnia. Przyjmujemy, że cząstka jest zamknięta w pudle o wymiarach 2*R i porusza się z prędkością v0 tak, że odbija się od brzegów jądra, to przy każdym dojściu do brzegu jądra z prawdopodobieństwem równym przezroczystości bariery T=exp{(-2/h)*całka od R0 do Rx z (sqr(2*mj*[U(r)-E]) dr)} (h-przekreślone h) cząstka alfa może wydostać się z jądra. Ponieważ próby takie powtarzają się w odtępach czasu 2*R0/v0, więc całkowite prawdopodobieństwo ucieczki cząstki alfa z jądra w odstępie czasu dt jest T*v0*Dt/(2*R0), a z definicji jest równa l*Dt, więc l=T*v0/(2*R0)+(8/h)*sqr(exp(2)*mj*(Z-2)*R)-(2*P*exp(2)/h)*sqr(2*mj/Ealfa)*(Z-2) (h-przekreślone h). W pierwszym wyrazie po prawej stronie wielkość v0/(2*R0) mało się zmienia dla różnych jąder i możemy przyjąć jej wartość stałą=1021 [1/s]. Drugi wyraz z uwagi na (Z-2) jest również mało zmienny i jego wartość przyjmujemy 75. Podobnie w trzecim wyrazie zmienność (Z-2) można pominąć. Wyraz ten możemy zapisać 340/(E/Mev)1/2. Ostatecznie log(T1/2 s-1)=148/sqr(Ealfa/MeV)=53,6 (T1/2-T jedna druga).Jest to związek między półokresem a energią cząstki alfa. ROZPAD BETA. Ten sposób rozpadu jądra jest bardziej złożony. Polega na przemianie jądrowej jednego z nukleonów w jądrze, w tzw. oddziaływaniu słabym jądrowym. Rozpad ten jest możliwy na trzy sposoby: beta-, beta+, wychwyt K. W pierwszym z nich jeden z neutronów n rozpada się na proton p, elektron beta- i antuneutrino elektronowe ne (ne-wektor ). Można to wyrazić równaniem n-> p + beta- + ne. Cząstki beta- i antyneutrino wylatują z jądra. Masa spoczynkowa neutrina jest=0, porusza się ono z prędkością światła, nie ma ładunku elektrycznego. Oddziaływanie neutrina z innymi cząstkami, lub ogólnie z materią jest bardzo słabe. Dlatego cząstka ta jest niezwykle przenikliwa i bardzo trudno ją zarejestrować. Oprócz neutrin elektronowych istnieją jeszcze neutrina mezonowe. W rozpadzie beta- różnica energii atomu początkowego M(Z,N)*c2 i końcowego M(Z+1,N-1)*c2 jest rozdysponowana na energię kinetyczną elektronu beta- i energię neutrina. Łączna wartość tych energii jest energią rozpadu Ebeta. Atom końcowy ma o jeden elektron więcej niż atom początkowy, dlatego energia spoczynkowa powstałego elektronu beta- jest uwzględniona w bilansie energii. Dlatego energetyczny warunek rozpadu beta- jest następujący c^2*(M(Z,N)-M(Z+1,N-1))=Ebeta. W rozpadzie beta+ proton rozpada się na neutron, pozyton i neutrino elektronowe p-> n + beta+ + ne. Warunek energetycznu w rozpadzie beta+ (są dodatkowo dwa elektrony, not(e) z atomu i beta+ z jądra) (not(e)-e z kreską nad sobą) c2*(M(Z,N)-M(Z-1,N+1))=2*m*c2 + Ebeta. Jeżeli różnica mas jądra początkowego i końcowego nie jest większa od dwu mas elektronu to rozpad jest niemożliwy. Trzeci z rozpadów, wychwyt K jest procesem konkurencyjnym w stosunku do beta+. Polega on na tym, że jeden z elektronów powłoki K w atomie (rzadziej z powłoki L) jest wychwytywany przez proton w jądrze i przebiega reakcja e- + p ->n + ve. Ostatecznie z jądra wylatyje tylko neutrino. W wychwycie K (również beta+) nowe jądro ma liczbę atomową o jeden mniejszą od jądra wyjściowego. Jeżeli różnica mas jądra początkowego i końcowego nie jest większa od dwu mas elektronu, możliwy jest tylko wychwyt K, bo w tym rozpadzie c2*(M(Z,N)-M(Z-a,N+1))=Ek. Ponieważ w rozpadach beta- i beta+ jądro początkowe rozpada się na trzy fragmenty-jądro końcowe, cząstkę beta i neutrino, ze względu na zbilansowanie energii kinetycznych i pędów rozbiegających się cząstek widmo energii cząstki beta jest ciągłe od zera do Ebeta. W wychwycie K emitowane jest tylko neutrino bardzo trudno rejestrowalne, na szczęście występuje wtórny efekt. Po wychwycie elektronu z powłoki K lub L następuje przeskok na zwolnione miejsce elektronu z wyższej powłoki i emitowany jest kwant promieniowania rentgenowskiego charakterystycznego.
76. REAKCJE JĄDROWE ROZSZCZEPIENIA
W roku 1939 wykryto zjawisko rozszczepienia jąder uranu bombardowanych neutronami. Rozszczepiają się niektóre ciężkie izotopy po pochłonięciu neutronu. Rezultatem rozszczepienia są dwa fragmenty ze środka tablicy pierwiastków. Powstałe fragmenty są na ogół radioaktywne. Ponieważ średnio energia wiązania jąder ze środka tablicy pierwiastków jest o 1 MeV/nukleon większa od jąder ciężkich wyzwolona jest energia około 200 MeV. Mechanizm rozszczepienia: Jądro po pochłonięciu neutronu jest wzbudzone o około 5 lub więcej MeV. Wzbudzona kropla materii jądrowej pulsuje. W procesie tym wydłużenie kształtu jądra dzięki efektowi tunelowemu może być tak duże , że siły odpychania kulombowskiego między dwoma fragmentami , na które można wtedy podzielić jądro , przewyższą siły przyciągania jądrowego, które są bliskiego zasięgu. W aktach rozszczepienia ważną okolicznością jest powstanie neutronów. Ta okoliczność umożliwia reakcję lawinową , będącą podstawą wyzwalania energii jądrowej. Ciężkie jądra rozszczepiają się też samorzutnie. Mechanizm procesu jest taki sam jak rozszczepienia pod wpływem neutronów, tylko prawdopodobieństwa są dużo mniejsze, ponieważ bariera energii potencjalnej w pierwszym etapie rozdzielenia fragmentów jest dużo większa z powodu braku wzbudzenia.
77. NAJWAŻNIEJSZE NATURALNE RADIOIZOTOPY I ICH CHARAKTERYSTYKA
Radioizotopy występujące naturalnie na Ziemi albo mają tak długie półokresy rozpadu , że nie rozpadły się całkowicie od początków Ziemi , albo są stale produkowane. Najważniejsze długożyciowe radioizotopy występujące na Ziemi to: (legenda:p[%]-procent zawartości izotopu w pierwiastku, k[10-6]-średnia koncentracja danego pierwiastka w litosferze, T1/2-półokres rozpadu , A1-radioaktywnośćwłaściwa, n-liczba rozpadów w szeregu, r-rodzaj rozpadu, pr-produkty rozpadu);232Th p-100 k-11,2 T1/2-1,41*1010 A1-4,05 n-47 r-alfa,beta,gamma pr-208Pb+64He ; 238U p-99,27 k-3 T1/2-4,47*109 A1-12,4 n-14 r-alfa,beta,gamma pr-206Pb+84He ;
235U p-0,72 k-3 T1/2-7,04*108 A1-0,06 n-11 r-alfa,beta,gamma pr-207Pb+74He ; 40K p-0,0118 k-2,4*109 T1/2-1,29*109 A1-0,03 n-47 r-alfa,beta,gamma pr-40Ar, 40Ca ;
78. PODSTAWY FIZYCZNE PRACY REAKTORA
Opis ilościowy kinetyki reakcji reaktora na neutronach powolnych jest złożony , bowiem oprócz zależności czasowo-przestrzennej gęstości neutronów powolnych , występuje zależność czasowo energetyczna spowalnianych neutronów prędkich ujmowane w tzw. równanie wieku. Te złożone równania dla stanu krytycznego ,tzn. k=1 stacjonarności w czasie przekształcają się w dwa proste równania: Ñ2n+B2n=0 , k=k¥*(exp(-B2*t)/1+L2B2) t-wiek , L - długość dyfuzji neutronów ,B - parametr. Rozwiązaniem równań jest przestrzenny rozkład gęstości neutronów termicznych. Różne kształty reaktora opisują różne równania, dzięki którym można dojść do tzw. bilansu neutronów w reaktorze. Analizowane są tu wszystkie możliwe wariant reakcji w których występują neutrony.
79. BUDOWA REAKTORA I PARAMETRY PRACY
Podstawowe elementy budowy reaktora: paliwo,moderator,substancja chłodząca,reflektor,osłona betonowa,kanły do naświetlania. Zasadniczą częścią reaktora jest rdzeń reaktora , w którym znajduje się paliwo - słabo wzbogacony w 235U uran, winno być w małych rozmiarowo elementach, aby powstały neutrony prędkie nie miały okazji reagować z jądrami 238U i jak najszybciej znalazły się w moderatorze. W moderatorze winny przebywać drogę rzędu Lt i spowolnione winny trafić na element paliwowy, aby w reakcji z 235U wywołać rozszczepienie. Paliwo jest w formie cienkich prętów ułożonych równolegle do płaszczyzny rdzenia w równych odległościach , w geometrii heksagonalnej. Odległość między prętami jest kompromisem niezbędnej drogi spowalniania Lt i drogi pochłonięcia L. Moderator - woda - krąży w zamkniętym obiegu transportując ciepło do wymiennika ciepła. W następnym obwodzie , w wytwornicy pary , wytwarzana jest para napędzająca turbinę. Oprócz prętów paliwowych są pręty regulacyjne i awaryjne z materiałów silnie pochłaniających neutrony powolne. Najczęściej używane materiały to kadm i ind.
80. ODPADY PROMIENIOTWÓRCZE
Radioizotopy produkowane w reaktorze z rozszczepień i reakcji z neutronami mają półokresy rozpadu od ms do 106 lat. Ich niebezpieczeństwo jest zróżnicowane. Według prrzyjętych zasad postępowania z odpadami promieniotwórczymi paliwo wyeksploatowane przechowuje się wstępnie w czasie od 1 do 3 lat w pobliżu reaktora , aby rozpadły się wszystkie krótkożyciowe radioizotopy. Ten etap nazywa się studzeniem odpadów. Po tym czasie transportuje się je do miejsca składowania lub przeróbki. W wyniku przeróbki odzyskuje się 239Pu, 233U , które można ponownie wykorzystać. Odpady promieniotwórcze przechowuje się w zwartej i stałej konsystencji w szczelnych komorach specjalnie budowanych lub adaptowanych. Od początku lat 90 prowadzi się badania różnych technik naświetlania odpadów promieniotwórczych, w celu przekształcenia ich w paliwo , bądź w izotopy nieradioaktywne lub krótko żyjące. Pomimo wielu problemów z przechowywaniem i zabezpieczaniem odpadów promieniotwórczych , nie ma wątpliwości , że energia jądrowa jest na obecnym poziomie techniki najczystszą technologią produkcji energii na dużą skalę
Czas czytania: 96 minut
Treść zweryfikowana i sprawdzona
Zgodnie z misją, Redakcja serwisu dokłada wszelkich starań, aby dostarczać rzetelne i sprawdzone treści edukacyjne.
Dodatkowe oznaczenie "Sprawdzona treść" wskazuje, że dany materiał został zweryfikowany przez Redakcję lub ekspertów współpracujących z serwisem.
Weryfikacja tekstu odbywa się na następujących poziomach:
1. Sprawdzenie tekstu pod kątem ewentualnych błędów ortograficznych, stylistycznych, interpunkcyjnych lub innych.
2. Weryfikacja tekstu pod kątem błędów rzeczowych.
3. Sprawdzenie materiału pod kątem ich aktualności.
Dodatkowe oznaczenie "Sprawdzona treść" wskazuje, że dany materiał został zweryfikowany przez Redakcję lub ekspertów współpracujących z serwisem.
Weryfikacja tekstu odbywa się na następujących poziomach:
1. Sprawdzenie tekstu pod kątem ewentualnych błędów ortograficznych, stylistycznych, interpunkcyjnych lub innych.
2. Weryfikacja tekstu pod kątem błędów rzeczowych.
3. Sprawdzenie materiału pod kątem ich aktualności.