Pierwiaski Kwadratowe przykład

Zad. 2. Napisz program, który wyznaczy pierwiastki równania kwadratowego. W przypadku, gdy tych pierwiastków nie ma program powinien wyświetlić komunikat: "Brak pierwiastków".

Rozwiązanie

Rozpatrujemy następujące równanie:

ax2+bx+c=0,gdziea≠0
Współczynnik a musi być różny od 0 ponieważ dla a = 0 otrzymujemy równanie liniowe.

Pierwiastkami równania kwadratowego (inaczej miejscami zerowymi lub rozwiązaniami równania) nazywamy takie miejsca na osi X, gdzie przecina się wykres funkcji. Inaczej mówiąc wartość y jest równa zero. Przy obliczaniu pierwiastków mamy trzy opcje.

Wszystko zależy od wyróżnika równania kwadratowego zwanego deltą. Wzór na deltę wygląda następująco:

Δ=b2−4ac
Dla Δ>0 otrzymujemy dwa miejsca zerowe, które wyliczamy według wzorów:

x1=−b−Δ√2a
x2=−b+Δ√2a
Dla przykładu rozpatrzmy równanie:

x2+x−2=0
Współczynniki są równe:

a=1,b=1,c=−2,

a więc

Δ=12−4⋅1⋅(−2)=9
x1=−1−9√2⋅1=−2
x2=−1+9√2⋅1=1
Wynika stąd, że wykres funkcji przetnie oś X w punktach: -2 i 1. Dodatkowo

a>0
co sprawia, że ramiona paraboli będą skierowane do góry. Wykres tej funkcji wygląda następująco:

Wykres funkcji kwadratowej

Drugi przypadek mamy gdy Δ=0. Mamy wtedy jedno miejsce zerowe wyznaczane według wzoru:

x0=−b2a
Rozpatrzmy równanie:

−2x2+4x−2=0
Δ=42−4⋅(−2)⋅(−2)=0
x0=−42⋅(−2)=1
Skoro

a<0
więc ramiona paraboli skierowane są do domu i wykres ma tylko jeden punkt wspólny z osią OX.

Wykres danej funkcji wygląda następująco:

Wykres funkcji kwadratowej

Ostatni przypadek mamy w sytuacji gdy Δ<0.

Rozpatrzmy równanie:

x2+x+1=0
Δ=12−4⋅1⋅1=−3<0
Wynika stąd, że równanie nie posiada pierwiastków. Wykres wygląda następująco:

Wykres funkcji kwadratowej