POMOCY MISTRZUNIE!!! :( 1.Dana jest funkcja kwadratowa w postaci ogólnej f(x)= -2x²+4x+30 .
a) Narysuj wykres tej
funkcji oraz podaj jej właściwości
b)Przedstaw wzór funkcji w postaci iloczynowej oraz kanonicznej
c) Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli.
2.Rozwiąż równania i nierówności kwadratowe: a) -x²-6x-9≥ 0
b) 2x²-3x+2<0
Proszę o pomoc! Bardzooo :(
100 pkt za rozwiązanie + 50 pkt za najlepsze rozwiązanie -
12.11.2016 (01:54)
b)Przedstaw wzór funkcji w postaci iloczynowej oraz kanonicznej
c) Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli.
2.Rozwiąż równania i nierówności kwadratowe: a) -x²-6x-9≥ 0
b) 2x²-3x+2<0
Proszę o pomoc! Bardzooo :(
MarcelPl177 rozwiązanych zadań
MarcelPl
12.11.2016 (12:02)
1. f(x)=x^2+3x-4
a) W=(p, q), gdzie
p=\frac{-b}{2a},\ q=\frac{-\Delta}{4a}
zatem p=\frac{-3}{2},\ q=\frac{-25}{4}
stąd W=(\frac{-3}{2};\frac{-25}{4})
oraz f(x)=(x+\frac{3}{2})^2-\frac{25}{4}
b) \Delta=b^2-4ac\\ \Delta=3^2-4*1*(-4)=25\\ \sqrt{\Delta}=5
stąd x_{1}=\frac{-3-5}{2}=-4\\ x_{2}=\frac{-3+5}{2}=1
postać iloczynowa: f(x)=(x-1)(x+4)
c) f(0)=-4
punkt przecięcia: P=(0; -4)
2. f(x)=x^2+4x+4
a) W=(p, q), jak wyżej czyli p=\frac{-4}{2}=-2,\ q=\frac{0}{4}=0
W=(-2; 0) \\ f(x)=(x+2)^2
b) \Delta=b^2-4ac\\ \Delta=4^2-4*1*4=0
stąd x_{0}=\frac{-4}{2}=-2
postać iloczynowa: f(x)=(x+2)^2
c) f(0)=4
punkt przecięcia: P=(0; 4)
3. f(x)=x^2-2x+2
a) W=(p, q), jak wyżej czyli p=\frac{2}{2}=1,\ q=\frac{4}{4}=1
W=(-2; 0) \\ f(x)=(x-1)^2+1
b) \Delta=b^2-4ac\\ \Delta=(-2)^2-4*1*2=-4<0
brak miejsc zerowych (rzeczywistych), zatem nie można przedstawić w postaci iloczynowej
c) f(0)=2
punkt przecięcia: P=(0; 2)
4.a) zbiór wartości: (-\infty; 4)
b) można z wykresu lub liczyć:
-x^2+6x-5>0\\ \Delta=6^2-4*(-1)*(-5)=36-20=16\\ \sqrt{\Delta}=4\\ x_{1}=\frac{-6-4}{-2}=5\\ x_{2}=\frac{-6+4}{-2}=1
rozwiązanie (-\infty;1)\cup(5;+\infty)
5.a) x^2+8x+12=0\\ \Delta=8^2-4*1*12=64-48=16\\ \sqrt{\Delta}=4\\ x_{1}=\frac{-8-4}{2}=-6\\ x_{2}=\frac{-8+4}{2}=-2
b) x^2+10x-24=0\\ \Delta=10^2-4*1*(-24)=100+96=196\\ \sqrt{\Delta}=14\\ x_{1}=\frac{-10-14}{2}=-14\\ x_{2}=\frac{-10+14}{2}=2
c) -2x^2+x+6=0\\ \Delta=1^2-4*(-2)*6=1+24=25\\ \sqrt{\Delta}=5\\ x_{1}=\frac{-1-5}{-4}=\frac{3}{2}\\ x_{2}=\frac{-1+5}{-4}=-1
d) x^2+3x=0\\ x(x+3)=0\\x=0\ lub\ x=3
e) x^2-9=0\\ (x-3)(x+3)=0\\ x=3\ lub\ x=-3
f) 16-24x+9x^2=16-3x^2\\ 12x^2-24x=0\\ x^2-2x=0\\ x(x-2)=0\\ x=0\ lub\ x=2
6. a) 2x^2-3x+5<0\\ \Delta=(-3)^2-4*2*5=9-40=-31<0
brak rozwiązań nierówności, czyli x \in \empty(zbiór pusty)
b) x^2-3x+2\ 0\\ \Delta=(-3)^2-4*1*2=9-8=1\\ \sqrt{\Delta}=1\\ x_{1}=\frac{3-1}{2}=1\\ x_{2}=\frac{3+1}{2}=2 rozwiązanie - nie wiem (brak znaku)
c) 9x^2+12x+4-x^2-2x-1<0\\ 8x^2+10x+3<0\\ \Delta=10^2-4*8*3=100-96=4\\ \sqrt{\Delta}=2\\ x_{1}=\frac{-10-2}{16}=-\frac{3}{4}\\ x_{2}=\frac{-10+2}{16}=\frac{1}{2}
rozwiazanie: x \in (\frac{1}{2};\ \frac{3}{4})
d) x^2-8x+16\ ??\ 2x^2-x-8x+4\\ -x^2+x+12\ ??\ 0\\ \Delta=1^2-4*(-1)*12=49\\ \sqrt{\Delta}=7\\ x_{1}=\frac{-1-7}{-2}=4\\ x_{2}=\frac{-1+7}{-2}=-3 rozwiązanie - nie wiem (znak?)
8. a, b – boki prostokąta, przy czym a>0, b>0
\left \{ {a*b=42 \atop 2a+2b=26}
\left \{ {a=13-b \atop (13-b)b=42}
13b-b^2-42=0\\ b^2-13b+42=0\\ \Delta=(-13)^2-4*1*42=169-168=1\\ b_{1}=\frac{13-1}{2}=6\\ b_{2}=\frac{13+1}{2}=7\\
\left\{ {a=6\atop b=7}
lub \left\{ {a=7\atop b=6}
odp. Prostokąt ma wymiary 6cm na 7cm.
9.
a, b – boki trójkąta, a>0, b>0
\left \{ {\frac{a*b}{2}=6 \atop a^2+b^2=25}
\left \{ {a*b=12 \atop a^2+b^2-25=0}
\left \{ {a=\frac{12}{b} \atop (\frac{12}{b})^2+b^2-25=0}
\frac{144}{b^2}+b^2-25=0\\ 144+b^4-25b^2=0\\ b^4-25b^2+144=0
niech b^2=t, \ t>0
wtedy t^2-25t+144=0\\ \Delta=(-25)^2-4*1*144=625-576=49\\ \sqrt{\Delta}=7\\ t_{1}=\frac{25-7}{2}=9\\ t_{2}=\frac{25+7}{2}=16
wracamy do podstawienia:
b^2=9\\ b^2-9=0\\ (b-3)(b+3)=0\\ b=3\ lub\ b=-3\\ b^2=16\\ b^2-16=0\\ (b-4)(b+4)=0\\ b=4\ lub\ b=-4
uwzględniamy tylko dodatnie liczby, więc
\left\{ {a=4\atop b=3}
lub \left\{ {a=3\atop b=4}
odp. Przyprostokątne mają długość 3 dm oraz 4 dm.
10. f(x)=ax^2+bx+c
wartość najmniejsza równa 4 oznacza, że a<0 i c=4
krańce przedziału (czyli -1 oraz 3) to miejsca zerowe tej funkcji, czyli:
\left \{ {f(-1)=0 \atop f(3)=0}
\left \{ {a-b+4=0 \atop 9a+3b+4=0}
\left \{ {3a-3b=-12 \atop 9a+3b=-4}
12a=-16\\ a=-\frac{4}{3}\\ \left \{ {a=-\frac{4}{3} \atop b=-\frac{4}{3}+4=2\frac{2}{3}}
wzór funkcji: f(x)=-1\frac{1}{3}x^2+2\frac{2}{3}x+4
11. y=x^2-2x+5,\ x \in <0; 4>
szukamy położenia wierzchołka W= (p; q)
p=\frac{2}{2}=1 \in <0; 4>\\ q=\frac{16}{4}=4
f(0)=5,\ f(4)=13\\ y_{min}=4\\ y_{max}=13
12. y=-2x^2 wektor=[-3; 4]
wzór otrzymanej funkcji
y=-2(x+3)^2+4=-2x^2-12x-14
PROSZE O NAJ :D XDXD :d:D:D
a) W=(p, q), gdzie
p=\frac{-b}{2a},\ q=\frac{-\Delta}{4a}
zatem p=\frac{-3}{2},\ q=\frac{-25}{4}
stąd W=(\frac{-3}{2};\frac{-25}{4})
oraz f(x)=(x+\frac{3}{2})^2-\frac{25}{4}
b) \Delta=b^2-4ac\\ \Delta=3^2-4*1*(-4)=25\\ \sqrt{\Delta}=5
stąd x_{1}=\frac{-3-5}{2}=-4\\ x_{2}=\frac{-3+5}{2}=1
postać iloczynowa: f(x)=(x-1)(x+4)
c) f(0)=-4
punkt przecięcia: P=(0; -4)
2. f(x)=x^2+4x+4
a) W=(p, q), jak wyżej czyli p=\frac{-4}{2}=-2,\ q=\frac{0}{4}=0
W=(-2; 0) \\ f(x)=(x+2)^2
b) \Delta=b^2-4ac\\ \Delta=4^2-4*1*4=0
stąd x_{0}=\frac{-4}{2}=-2
postać iloczynowa: f(x)=(x+2)^2
c) f(0)=4
punkt przecięcia: P=(0; 4)
3. f(x)=x^2-2x+2
a) W=(p, q), jak wyżej czyli p=\frac{2}{2}=1,\ q=\frac{4}{4}=1
W=(-2; 0) \\ f(x)=(x-1)^2+1
b) \Delta=b^2-4ac\\ \Delta=(-2)^2-4*1*2=-4<0
brak miejsc zerowych (rzeczywistych), zatem nie można przedstawić w postaci iloczynowej
c) f(0)=2
punkt przecięcia: P=(0; 2)
4.a) zbiór wartości: (-\infty; 4)
b) można z wykresu lub liczyć:
-x^2+6x-5>0\\ \Delta=6^2-4*(-1)*(-5)=36-20=16\\ \sqrt{\Delta}=4\\ x_{1}=\frac{-6-4}{-2}=5\\ x_{2}=\frac{-6+4}{-2}=1
rozwiązanie (-\infty;1)\cup(5;+\infty)
5.a) x^2+8x+12=0\\ \Delta=8^2-4*1*12=64-48=16\\ \sqrt{\Delta}=4\\ x_{1}=\frac{-8-4}{2}=-6\\ x_{2}=\frac{-8+4}{2}=-2
b) x^2+10x-24=0\\ \Delta=10^2-4*1*(-24)=100+96=196\\ \sqrt{\Delta}=14\\ x_{1}=\frac{-10-14}{2}=-14\\ x_{2}=\frac{-10+14}{2}=2
c) -2x^2+x+6=0\\ \Delta=1^2-4*(-2)*6=1+24=25\\ \sqrt{\Delta}=5\\ x_{1}=\frac{-1-5}{-4}=\frac{3}{2}\\ x_{2}=\frac{-1+5}{-4}=-1
d) x^2+3x=0\\ x(x+3)=0\\x=0\ lub\ x=3
e) x^2-9=0\\ (x-3)(x+3)=0\\ x=3\ lub\ x=-3
f) 16-24x+9x^2=16-3x^2\\ 12x^2-24x=0\\ x^2-2x=0\\ x(x-2)=0\\ x=0\ lub\ x=2
6. a) 2x^2-3x+5<0\\ \Delta=(-3)^2-4*2*5=9-40=-31<0
brak rozwiązań nierówności, czyli x \in \empty(zbiór pusty)
b) x^2-3x+2\ 0\\ \Delta=(-3)^2-4*1*2=9-8=1\\ \sqrt{\Delta}=1\\ x_{1}=\frac{3-1}{2}=1\\ x_{2}=\frac{3+1}{2}=2 rozwiązanie - nie wiem (brak znaku)
c) 9x^2+12x+4-x^2-2x-1<0\\ 8x^2+10x+3<0\\ \Delta=10^2-4*8*3=100-96=4\\ \sqrt{\Delta}=2\\ x_{1}=\frac{-10-2}{16}=-\frac{3}{4}\\ x_{2}=\frac{-10+2}{16}=\frac{1}{2}
rozwiazanie: x \in (\frac{1}{2};\ \frac{3}{4})
d) x^2-8x+16\ ??\ 2x^2-x-8x+4\\ -x^2+x+12\ ??\ 0\\ \Delta=1^2-4*(-1)*12=49\\ \sqrt{\Delta}=7\\ x_{1}=\frac{-1-7}{-2}=4\\ x_{2}=\frac{-1+7}{-2}=-3 rozwiązanie - nie wiem (znak?)
8. a, b – boki prostokąta, przy czym a>0, b>0
\left \{ {a*b=42 \atop 2a+2b=26}
\left \{ {a=13-b \atop (13-b)b=42}
13b-b^2-42=0\\ b^2-13b+42=0\\ \Delta=(-13)^2-4*1*42=169-168=1\\ b_{1}=\frac{13-1}{2}=6\\ b_{2}=\frac{13+1}{2}=7\\
\left\{ {a=6\atop b=7}
lub \left\{ {a=7\atop b=6}
odp. Prostokąt ma wymiary 6cm na 7cm.
9.
a, b – boki trójkąta, a>0, b>0
\left \{ {\frac{a*b}{2}=6 \atop a^2+b^2=25}
\left \{ {a*b=12 \atop a^2+b^2-25=0}
\left \{ {a=\frac{12}{b} \atop (\frac{12}{b})^2+b^2-25=0}
\frac{144}{b^2}+b^2-25=0\\ 144+b^4-25b^2=0\\ b^4-25b^2+144=0
niech b^2=t, \ t>0
wtedy t^2-25t+144=0\\ \Delta=(-25)^2-4*1*144=625-576=49\\ \sqrt{\Delta}=7\\ t_{1}=\frac{25-7}{2}=9\\ t_{2}=\frac{25+7}{2}=16
wracamy do podstawienia:
b^2=9\\ b^2-9=0\\ (b-3)(b+3)=0\\ b=3\ lub\ b=-3\\ b^2=16\\ b^2-16=0\\ (b-4)(b+4)=0\\ b=4\ lub\ b=-4
uwzględniamy tylko dodatnie liczby, więc
\left\{ {a=4\atop b=3}
lub \left\{ {a=3\atop b=4}
odp. Przyprostokątne mają długość 3 dm oraz 4 dm.
10. f(x)=ax^2+bx+c
wartość najmniejsza równa 4 oznacza, że a<0 i c=4
krańce przedziału (czyli -1 oraz 3) to miejsca zerowe tej funkcji, czyli:
\left \{ {f(-1)=0 \atop f(3)=0}
\left \{ {a-b+4=0 \atop 9a+3b+4=0}
\left \{ {3a-3b=-12 \atop 9a+3b=-4}
12a=-16\\ a=-\frac{4}{3}\\ \left \{ {a=-\frac{4}{3} \atop b=-\frac{4}{3}+4=2\frac{2}{3}}
wzór funkcji: f(x)=-1\frac{1}{3}x^2+2\frac{2}{3}x+4
11. y=x^2-2x+5,\ x \in <0; 4>
szukamy położenia wierzchołka W= (p; q)
p=\frac{2}{2}=1 \in <0; 4>\\ q=\frac{16}{4}=4
f(0)=5,\ f(4)=13\\ y_{min}=4\\ y_{max}=13
12. y=-2x^2 wektor=[-3; 4]
wzór otrzymanej funkcji
y=-2(x+3)^2+4=-2x^2-12x-14
PROSZE O NAJ :D XDXD :d:D:D
Zadania z matematyki
8 pkt - 9.4.2024 (14:51)
8 pkt - 13.12.2023 (10:57)
8 pkt - 30.11.2023 (20:56)
8 pkt - 7.6.2023 (23:59)
8 pkt - 31.5.2023 (09:57)
Dla jakiej wartości parametru a proste k: -x+(2a-1)y-10=0 i l: (a+7)x+2y+8=0 , są prostopadłe?