Podstawy równań i nierówności algebraicznych: zrozumienie, rozwiązania i praktyczne zastosowania
Wprowadzenie: W matematyce, kluczową rolę odgrywają równania i nierówności algebraiczne. W niniejszym artykule przyjrzymy się fundamentalnym pojęciom związanym z równaniami i nierównościami oraz ich zastosowaniom w praktyce. Różnica między...
Równania
Zanim rozpocznę wykład na temat równań, chciałbym, abyście przypomnieli sobie pewne zasady. Oto ciąg wyrażeń: a) +2, b) -8, c) 3, d) -x, e) y-. Jakie znaki, plus (+) lub minus (-), mają te wyrażenia? Znak zawsze znajduje się przed liczbą lub...
Geometria - kluczowe wzory
- \( l = 2\pi r \) – długość okręgu - \( P = \pi r^2 \) – pole koła - \( a\sqrt{2} \) – przekątna w kwadracie - \( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \) – wysokość trójkąta równobocznego - \( P = \frac{a\sqrt{3}}{4} \) – pole trójkąta równobocznego - \(...
Liczby całkowite i ułamki - dzielenie ułamków dziesiętnych przez liczby naturalne
Obliczenia: \[ \begin{align*} &680:2=340 \\ &68:2=34 \\ &6.8:2=3.4 \\ &0.68:2=0.34 \\ \end{align*} \] \[ \begin{align*} &150:3=50 \\ &15:3=5 \\ &1.5:3=0.5 \\ &0.15:3=0.05 \\ \end{align*} \] \[ \begin{align*} &0.8:0.4=2 \\...
Procenty - co to?
Definicja prorocenta Z symbolem % (procent) spotykamy się prawie na co dzień, zarówno w gazetach, jak i w sklepach. Słowo 'procent' pochodzi od łacińskiego wyrażenia "pro centum", co oznacza "na sto". Jeden procent danej wielkości to jedna...
Ułamki, procenty - zadania
1) Zapisz w postaci dziesiętnej i skróć: - \( -0,875 = -\frac{7}{8} \) - \( -0,375 = -\frac{3}{8} \) - \( -0,0000854 = -\frac{854}{10000000} = -\frac{427}{5000000} \) - \( -0,3948 = -\frac{3948}{10000} = -\frac{987}{2500} \) - \( -0,0000125 =...
Wzory na matematyke
Wzory Skróconego mnożenia: \[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \] \[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \] \[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \] Pole i obwód koła: - Pole koła: \[ P_o = π R^2 \] - Obwód okręgu (koła): \[ L = 2 π R \] gdzie \( R \)...
Wykorzystanie równań do zadań z treścią.
Janek dodał 3 liczby. Druga z tych liczb była cztery razy większa od pierwszej z nich, a trzecia była o 8 mniejsza od pierwszej. Otrzymał 28. Jakie to były liczby? I liczba - \(x\) II liczba - \(4x\) III liczba - \(x \times 4 - 8\)...
Algorytm zamiany ułamka okresowego na ułamek zwykły
Każdy ułamek okresowy można zamienić na ułamek zwykły. Oto przykład 0,(1) -przyjmijmy,że to nasza niewiadoma czyli x 0,(1)=x -rozpisujemy ułamek 0,111...=x -w okresie jest jedna cyfra więc mnożymy razy dziesięć obie strony...
Podstawowe własności trójkątów: boki, kąty, symetrie i inne definicje
Trójkąt to płaska figura będąca wielokątem o trzech bokach. Jeden z boków to podstawa trójkąta, a pozostałe to ramiona trójkąta. Trójkąty dzielimy ze względu na długości ich boków oraz miary kątów. Ze względu na boki wyróżniamy trójkąty...
Figury na płaszczyźnie - zadanie
Uzupełnij Kąt ______ ma mniej niż 90 stopni, kąt prosty ma_______stopni, kąt_____jest większy od kąta prostego ________Kąt ______ma więcej niż 180 stopni i jest mniejszy od kąta _______Kąty przyległe mają ______ ramię i razem tworzą kąt...
Okrąg i koło
Okręgiem o środku w punkcie O i promieniu r nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu O jest równa r. Kołem o środku w punkcie O i promieniu długości r nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których...
Metoda wyznaczników - Rozwiązanie układu równań
Rozwiązanie układu równań liniowych Rozważamy układ równań: \[2x + 3y = 5\] \[-4x + 2y = 7\] Wprowadzamy macierz współczynników: \[W = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}\] Obliczamy wyznacznik macierzy \(W\): \[W = 2...
Wzory na pola i objętości
PROSTOKĄT \[P = a \cdot b\] \[Ob = 2a + 2b\] TRAPEZ \[P = \frac{1}{2}(a + b) \cdot h\] \[Ob = \text{suma wszystkich boków}\] KWADRAT \[P = a^2\] \[Ob = 4a\] RÓWNOLEGŁOBOK \[P = a \cdot h\] \[Ob = 2a + 2b\] ROMB \[P = a...
Wzory na pola i objętości
Pole powierzchni całkowitej sześcianu: \[P = 6a^2\] Wzór na pole trójkąta: \[P = \frac{1}{2}ah\] Wzór na pole trapezu: \[P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}\] Pole kwadratu: \[P = a^2\] Pole prostokąta: \[P = a \cdot b\] Pole...
Wzory matematyczne
POLE PROSTOKĄTA \[ P = a \cdot B \] POLE KWADRATU \[ P = a^2 \] POLE RÓWNOLEGŁOBOKU \[ P = a \cdot h \] POLE ROMBU \[ P = \frac{e \cdot f}{2} \] POLE TRÓJKĄTA \[ P = \frac{a \cdot h}{2} \] POLE TRAPEZU \[ P =...
Podział trójkątów, czworokąty, okręgi i koła
Podział trójkątów ze względu na długość boków: a) Trójkąt różnoboczny: - Każdy bok ma inną długość. - Każdy kąt ma inną miarę. b) Trójkąt równoramienny: - Ramiona są równej długości. - Kąty przy podstawie są równej miary. c) Trójkąt...
Pola figur z przykładami
Wzór na pole prostokąta : a x b Czyli np. bok "a" wynosi 4 cm, a bok "b" 7 cm to stosujemy się do wzoru. Mianowicie: 4 cm x 7 cm = 28 cm kwadratowych. Wzór na pole kwadratu to : P = a 2 Czyli np. bok "a" ma 4 cm. W takim razie: 4...
Wyrażenia algebraiczne - definicja
Wyrażenie algebraiczne to wyrażenie składające się liter oraz liczb, które są połączone ze sobą znakami działań oraz nawiasami. Za pomocą wyrażeń algebraicznych zapisujemy różne zwroty matematyczne, wzory, twierdzenia oraz równania i nierówności....
Trójkąty, kwadraty, okręgi
TRÓJKĄTY Trójkąt – płaska będąca wielokątem o trzech bokach. Jeden z boków to podstawa trójkąta a pozostałe – ramiona trójkąta. Trójkąty dzielimy ze względu na długości ich boków oraz ze względu na miary kątów....
Własności czworokątów
PROSTOKĄT - wszystkie kąty proste - przekątne równej długości - przekątne dzielą się na połowy KWADRAT - wszystkie boki równe - wszystkie kąty proste Przekątne są: - równej długości - prostopadłe - dzielą się na polowy - osiami...
Plan rozwoju zawodowego nauczyciela stażysty ubiegającego się o stopień nauczyciela kontraktowego.
Imię i nazwisko nauczyciela odbywającego staż: mgr Sylwia Sadowska Stanowisko: nauczyciel matematyki Miejsce rozpoczęcia stażu: Publiczna Gimnazjum im. Narodów Zjednoczonej Europy w Bielicach Data rozpoczęcia stażu: 1 września...
Twierdzenie Talesa i twierdzenie odwrotne
Twierdzenie Talesa Jeżeli ramiona kąta przecięte są prostymi równoległymi to stosunek długości którychkolwiek dwóch odcinków utworzonych na jednym ramieniu jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków utworzonych na drugim ramieniu....
Liczby i wyrażenia arytmetyczne - sprawdzian
Praca klasowa liczby i wyrażenia arytmetyczne Pobierz załącznik
Wyrażenia algebraiczne
Wyrażenia algebraiczne powstają przez połączenie symboli literowych oraz liczb znakami działań i nawiasów, np. 4x+2y-3 3a+2b-c 8m-9 2(a+b) (x+y) Każde wyrażenie możemy zapisać w różny sposób, wykonując działania na literach, podobnie jak na...
Wzory - najbardziej przydatne
Obwód trójkąta - L=a+b+c jest sumą długości jego boków Pole trójkąta - P =a*ha przez 2 Pole trójkąta prostokątnego P=½ a*b Obwód prostokąta o bokach a i b - L=2a+2b Pole prostokąta - P=a*b Obwód kwadratu o boku a wyraża się wzorem - L=4*a...
Twierdzenie Pitagorasa
Trójkąt jest prostokątny to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa długości przeciwprostokątnych podniesionych do kwadratu. Twierdzenie Pitagorasa Wzór twierdzenia c²= a² + b² Wyrażenia a2, b2 oraz c2 kojarzą nam się...
Wyrażenia algebraiczne
Wyrażenia algebraiczne powstają przez połączenie symboli literowych oraz liczb znakami działań i nawiasów, np. 4x 2y-3 3a 2b-c 8m-9 2(a b) (x y) Każde wyrażenie możemy zapisać w różny sposób, wykonując działania na literach, podobnie jak na...
Liczby wymierne - definicja
Liczby wymierne są to wszystkie liczby całkowite oraz wszystkie ułamki (zwykłe i dziesiętne). Każdą liczbę wymierną można przedstawić na różne sposoby.
Zadania z wykorzystaniem wiadomości na temat podzielności liczb
Przedstawiam wykonanie zadań z zastosowaniem wiadomości o podzielności. Treść zadania Legenda: 321*654=321 do potęgi 654 Uzasadnij, że liczba 321*654-123*456 jest podzielna przez 10 i nie dzieli się przez 12 Jak rozwiązać takie...
Równania i ich rozwiązywanie
Rozwiązywanie równań najlepiej zapamiętać na przykładach: Ogólnie dążymy do tego,żeby mieć po jednej stronie x a po drugiej liczbę (bądź cyfrę) 4x-6=x+3 /-x odejmujemy x od lewej i prawej strony równania. (Po lewej stronie chcemy mieć...
Mnożenie, dzielenie, dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych przez dziesiętne
Zaczniemy od najłatwiejszego działania jakim jest dodawanie . Najpierw przypomnę budowę ułamka zwykłego: 1/2 po lewej stronie (normalnie na górze) jest licznik.Po prawej stronie (normalnie na dole) jest mianownik.ten ułamek czytamy jako...
Mnożenie ułamków
Mnożąc liczbę naturalną przez ułamek przez liczbę naturalną, mnożymy tę liczbę przez licznik ułamka a mianownik pozostaje bez zmian. Mnożąc liczbę mieszaną przez liczbę mieszaną przez liczbę naturalną, można przed wykonaniem mnożenia liczbę...
Potęgi
1 2 3 2 4 8 3 9 27 4 16 64 5 25 125 6 36 216 7 49 343 8 64 512 9 81 729 10 100 1000 11 121 1331 12 144 1728 13 169 2197 14 196...
Wyrażenia algebraiczne
Pojęcia Wyrażenie algebraiczne :jest to wyrażenie, w którym występują litery, cyfry, nawiasy. Przykład: 4x, 5y - 3, (ac 3)2 Jednomian: jest to wyrażenie algebraiczne będące, pojedynczą cyfrą, literą i iloczynem. Przykład: 6, 2x, y,...
Wzory na obwody i pola figur
Obwód - jest to suma wszystkich boków w figurze. Pole - może zinterpretuje to tak, jest to pole, które wypełnia daną figurę. Nie jest to definicja, którą podałaby nauczycielka jednak to też jest prawidłowe. Obwód zastępuje litera O...
Jednomiany
1. Jednomiany to takie wyrażenia, które są pojedynczymi liczbami, literami lub iloczynami liczb i liter, np. 3x, 5y, z, -3, itd. 2. Jednomian, w którym nie występuje żadna litera (np. 2 w wyrażeniu 3x+2) nazywamy WYRAZEM...
Jednostki, przeliczanie jednostek - powtórzenie wiadomości
Jednostki długości 1 m = 100cm 1 metr = 1000 centymetrów 1 cm = 10 mm 1 centymetr = 10 milimetrów 1 dm = 10 cm 1 decymetr = 10 centymetrów 1 km = 1000 m 1 kilometr = 1000 metrów Jednostki pola 1 ha = 100 a...
System metryczny
System metryczny 1 km (kilometr) = 1000 m (metr) 1 m = 10 dm (decymetr) = 100 cm 1 cm (centymetr) = 10 mm (milimetr) 1 km2 (kilometr kwadratowy) = 100 ha (hektar) 1 ha = 100 a (ar) = 10 000 m2 1 m3 (metr sześcienny) = 1000 dm3 1 l...
Graniastosłup
Graniastosłup jest to figura przestrzenna - bryła. Graniastosłup, którego wysokości są prostopadłe do podstaw nazywamy graniastosłupem prostym. Graniastosłup prosty, który ma w podstawie wielokąt foremny nazywamy graniastosłupem prawidłowym....
Jednostki - pola, masy, objętości, pojemności
Jednostki długości 1 km = 1000 m 1 cm = 0,001km 1 m = 100 cm 1 cm = 0,01m 1 m = 10 dm 1 dm = 0,1 m 1dm = 10 cm 1 cm = 0,1 dm 1cm = 10 mm 1 mm = 0,1cm Jednostki masy 1 kg = 1000 g 1 g = 0,001 kg 1 kg = 100 dag 1 dag =...
Wzory - okrąg wpisany i opisany
Wzory na trapez, wysokość, długość przekątnej kwadratu, okrąg wpisany i opisany na/w trójkącie równobocznym.
Pola i objętości brył
1. Sześcian P=6*a do 2 V=a do 3 2. Prostopadłościan P=2(a*b+b*h+a*h) V=a*b*h 3. Graniastosłup P=2*Pp+Pb V=Pp*H 4. Ostrosłup P=Pp+Pb V=1/3Pp*h 5. Czworościan foremny Pc= 4Pp = a kwadrat * pierwiastek z 3 V=1/3Pp*h...
Wyrażenia algebraiczne, równania, nierówności, sumy algebraiczne - prezentacja
Prezentacja w załączniku
Liczba PI
LICZBĘ PI - zwaną też ludolfiną określa się w matematyce jako stosunek obwodu koła do jego średnicy. W przybliżeniu wynosi ona 3,14.... i tak do nieskończoności. Najczęściej używaną sztuczką mnemotechniczną jest zapamiętanie wierszyka, w którym...
Jednostki masy, długości, powierzchni i objętości
Jednostki masy 1 gram 1 dekagram = 10 g 1 kilogram = 100 dag = 1000 g 1 tona = 1000 kg Jednostki długości 1 mm 1 cm = 10 mm 1 dm = 10 cm 1 m = 100 cm 1 km = 1000 m Jednostki powierzchni 1 mm2 1 cm2 = 100 1 dm2 =100...
Własności figur płaskich
RÓWNOLEGŁOBOK - Przeciwległe katy są równej miary - Suma kątów leżących przy tym samym boku to 180 stopni - Przekątne dzielą się na połowy dwie pary boków równych i równoległych ROMB - Wszystkie boki równe...
Wzory skróconego mnożenia
Kwadrat sumy (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 Kwadrat różnicy (a-b)2 = a2 - 2ab + b2 Sześcian sumy (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Sześcian różnicy (a-b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 Różnica kwadratów a2-b2=(a-b) * (a+b) Suma sześcianów...