Logika na prawie

ZAGADNIENIA WSTĘPNE

Logika powstała w starożytnej Grecji. Ojcem logiki był Arystoteles, choć nie można zapominać, że wcześniej zajmowali się nią Sokrates, Platon i stoicy. W rozwoju logiki wyodrębnia się trzy fazy:
I. starożytność
Zenon z Elei – 490-430 r.p.n.e.
• Zajmował się poszukiwaniem prawdy, wykorzystując do tego argumenty słowne
• Interesował się spekulacjami językowymi
• Twórca dialektyki rozumianej jako zdolność do posługiwania się słowem
Sokrates – 469-399 r.p.n.e.
• Zajmował się problemem definiowania
• Tworzenie definicji na drodze kolejnych przybliżeń
• Metoda Sokratesa polegała na budowaniu tablic przykładów
Na pierwszej tablicy zapisywane były cechy „rzeczy definiowanej”, a na drugiej cechy nie przysługujące „danej rzeczy”. Porównanie zapisów na obu tablicach prowadziło do stworzenia definicji uwzględniającej cechy obu tablic.
[jeśli definicja okazywała się za szeroka, wówczas dokonywano jej zawężenia. Za szeroka definicja wymagała dołączenia nowej cechy do cech z drugiej tablicy. Za wąska definicja wymagała eliminacji pewnych cech z tablicy pierwszej]
• Prekursor kanonów różnicy i zgodności
• Tworzył pojęcia przez definicje
• Prekursor indukcji – choć nie odróżniał twierdzeń indukcyjnych od definicji.
Platon – 427-347 r.p.n.e.
• Twórca pojęcia rozumowania dedukcyjnego jako podstawy rozumowania w matematyce
• Stosował rozumowania indukcyjne, które odróżniał od definiowania związanego z intuicją
• Zajmował się problemami stosunków nadrzędności i przeciwieństwa
• Stworzył podstawy podziału logicznego
Arystoteles ze Stagiry – 384-322 r.p.n.e.
• Rozwijanie rozumowania indukcyjnego
• Stworzenie pewnych form indukcji eliminacyjnej
• Podstawy definicji
– „definicja jest wyrażeniem oznaczającym istotę rzeczy”
- struktura definicji składa się z rodzaju i różnicy
- „rodzaj jest to co jest orzekane istotnie o wielu rzeczach gatunkowo różnych”
• Dzieła zebrane pod wspólnym tytułem Organom - narzędzie: Kategorie – dotyczące nazw, o wyrażaniu się – o zdaniach, analityki pierwsze i drugie – kolejno o wnioskowaniach i dowodzie, topiki – o sprawach publicznych, o dowodach sofistycznych – dotyczących obalania dowodów i klasyfikacji błędów.
• Zasady dotyczące definiowania
- odróżnia definicje wyrażeń od właściwych
- definiować należy za pomocą pojęć pierwotnych i bardziej znanych
- nie można używać w definiensie definiendum
• Błędy w definiowaniu
- „…gdy posługujemy się niejasnym językiem”
- „….jeśli określenie podaje więcej niż trzeba, wszystkie dodatki w definicji są zbędne”
• Twórca sylogizmu
- sylogizm to „wypowiedź, w której, gdy się coś założy, coś innego niż się założyło musi wynikać, dlatego, że się założyło”
- opiera się na zdaniach prostych, kategorycznych, w których występują zwroty:
Każdy… jest…; żaden…nie jest…; nie każdy…jest…; pewien…jest…;
- nie mogą występować dwie przesłanki przeczące, ani dwie szczegółowe
Wniosek z „każdy…jest…” i „żaden…nie jest…” może być wyprowadzony tylko wtedy, gdy przesłanki są ogólne
- jeśli wniosek byłby przeczący to i przesłanka taka musiałaby być
- używane były zdania asertoryczne – tak a tak jest, problematyczne – tak a tak może być, apodyktyczne – tak a tak musi być -> stworzenie sylogistyki modalnej.
• Sformułowanie podstawowych praw myślenia
- zasada sprzeczności – odnosi się do rzeczy, twierdzeń i przekonań
* „to samo nie może zarazem przysługiwać i nie przysługiwać temu samemu i pod tym samym względem” – ontologiczna zasada sprzeczności
* „dwa twierdzenia względem siebie sprzeczne nie mogą być równocześnie prawdziwe” – logiczna zasada sprzeczności
* „niepodobna, by ktokolwiek był jednocześnie przekonany o tym samym, że jest i że nie jest” – psychologiczne ujęcie
- zasada wyłączonego środka
* „z dwóch zdań sprzecznych jedno musi być prawdziwe i nie mogą być oba fałszywe”
• Logika pełniła rolę narzędzia
• Stworzył podstawy logiki formalnej
• Podstawy teorii definicji
• Logika stała się dyscypliną teoretyczną
Stoicy – Chryzyp z Soloi – 280-208 r.p.n.e.
• Zajmowali się zdaniami
• Analizowali spójniki międzyzdaniowe koniunkcji, implikacji, alternatywy, dysjunkcji i negacji (przynazwowa i przyzdaniowa).
• Chryzyp stworzył podstawy systemu założeniowego
• Sykstus Empiryk odwoływał się do prac Chryzypa
• Stoicy stworzyli podstawy logiki zdań
• Logika – nauka o znaku – należała do filozofii
• Szkoła mówców z Megary – rozwój logiki – analizowanie słynnych paradoksów, np. czy prawdę mówi, kto mówi, że to, co mówi jest fałszem?
• Stoicy i megarejczycy prowadzili dyskusję dotyczącą rozumienia implikacji
- Implikacja jako zdanie warunkowe, w którym poprzednik musi być fałszywy, jeśli następnik jest fałszywy
- Filion z Megary: implikacja zawsze jest prawdziwa, poza jednym przypadkiem, gdy poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy.
Teofrast – 370-287 r.p.n.e. - sylogizm hipotetyczny
II. Średniowiecze
• Logika średniowiecza silnie związana z teologią
Boecjusz – 480-525 r.n.e.
• komentowanie i tłumaczenie dzieł Arystotelesa na łaciński
Piotr Hiszpan – 1226-1277
• został papieżem Janem XXI
• Summalea Logicales – upowszechnienie logiki Arystotelesa
Dunst Szkot – XIV wiek
• Prawo Dunsa Szkota – własność implikacji
Wilhelm Ockham – I połowa XIV wieku
• Twierdzenia dotyczące rachunku zdań
• Problemy wynikania logicznego
• „nie należy mnożyć bytów ponad konieczność” – brzytwa Ockhama

III. nowożytność
Piotr Ramus – 1515-1572
• krytyk Arystotelesa
• wprowadza do sylogizmu w miejsce nazw ogólnych nazwy jednostkowe
• dokonuje podziału logiki, wyodrębniając jej zasadnicze części odnoszące się m.in. do definicji i klasyfikacji, wnioskowań, sądów i metody
Kartezjusz – 1596-1650
• podkreśla konieczność poznania jako warunku uzasadnienia
• w definiowaniu odwołuje się do procesu rozumienia
• Rozprawa o metodzie – podstawowe wskazówki, stanowiąc m.in. że poznanie jest warunkiem wstępnym oceny prawdziwości albo fałszywości
• Reguły metodologiczne
1. nigdy nie przyjmować niczego za prawdę, o czem nie wiemy jasno, że jest prawdą, to znaczy starannie unikać pośpiechu w sądzeniu i przesądu i nie obejmować naszemi sądami nic ponad to, co przedstawia się umysłowi tak jasno i wyraźnie, że nie ma zupełnie miejsca na zwątpienie
2. dzielić każde zagadnienie przedstawiające trudność na tyle części, na ile tylko można lub na ile podzielić trzeba, aby trudności rozwiązać
3. prowadzić rozumowanie systematyczne, zaczynając od rzeczy najprostszych i najłatwiej dających poznać się i przechodząc stopniowo do poznania rzeczy bardziej złożonych
4. przeprowadzić każdorazowo wyliczenie tak dokładnie i dokonywać przeglądu tak szczegółowego, abyśmy mogli mieć pewność, że nic nie zostało opuszczone
John Stuart Mill – 1809-1873
• logika jako nauka rozumowania
• stworzył pięć kanonów
1. kanon zgodności – jedynej zgodności
2. kanon różnicy – jedynej różnicy
3. kanon zgodności i różnicy
4. kanon reszt
5. kanon zmian towarzyszących
• opierająca się na tych kanonach indukcja eliminacyjna pozwala na identyfikowanie związków przyczynowo-skutkowych
Gottfried Wilhelm Leibniz – 1646-1716
• logika formalna
• podstawy rachunku zdań oraz podał definicję relacji tożsamości
Leonard Euler – 1707-1783
• wykresy obrazujące stosunki zakresowe przedmiotu i orzecznika w zdaniach kategorycznych – koło Eulera
John Venn – 1834-1923
• wykresy Venna, stanowiły nowy system graficzny, obrazujący zakresy nazw
August de Morgan – 1806-1878
• prawo logiczne negacji koniunkcji oraz negacji alternatywy
• podstawowe zasady teorii relacji
• zbudował schematy sylogistyczne
George Boole – 1815-1864
• logika nazw
• algebra logiki – termin, który powstał w wyniku dostrzeżonych analogii między funkcjami logicznymi a działaniami arytmetycznymi
- trzy działania logiczne – generalizacja, specjalizacja i negacja = dodawanie, mnożenie i odejmowanie logiczne
William Stanley Jevons
• logika jako nauka o myśleniu
• podstawowe działy logiki to: dział o terminach, zdaniach, sylogizmach i metodzie
• podręcznik logika
Gottlob Frege – 1848-1925
• logika jako teoria zbiorów i relacji
• proponuje wyprowadzenie matematyki z logiki
• system aksjomatyczny rachunku zdań
• sformuował regułę odrywania
• zdefiniował funkcję prawdziwości
• twórca teorii kwantyfikatorów
Bertrand Russel – 1872-1970
• teoria zdań i relacji
• logika orzeczników
Jan Łukasiewicz
• logika trójwartościowa -> wielowartościowa
• wprowadził ½ wartość logiczną
Kenneth Seeskin
• uważał, że model Łukasziwicza jest wadliwy
• koncepcja logiki zdań o przyszłości
G.W. von Wright
• funktory modalne: „jest możliwe, że”, „jest konieczne, że”
• dokonał podziału modalności:
- aletyczne, stwierdzające możliwość, konieczność i niemożliwość;
- epistemiczne, uznające coś za zweryfikowane;
- egzystencjalne, odnoszące się do istnienia
- deontyczne, dotyczące dozwolenia, obowiązku, zakazu i indyferencji
• twórca działu logiki modalnej – logiki deontycznej – logika norm, opiera się na pojęciu funktorów deontycznych: „obowiązkowe jest to, że”, „dozwolone jest to, że”, „zakazane jest to, że”.
A.N. Prior
• uzupełnił logikę modalną koncepcją modalności temporalnej
• wprowadził funktory temporalne, świadczące o czasie występowania danego zjawiska






ZNAK
Jest to stan rzeczy spowodowany przez człowieka po to, by według przyjętej konwencji znaczeniowej wiązać z tym stanem myśli o określonej treści. Celem wytworzenia znaku przez twórcę jest intencja komunikacji z jednym lub wieloma odbiorcami tego znaku.
Znak składa się z trzech elementów:
1. elementu oznaczającego = substrat materialny, tj. wytworzonego stanu rzeczy przez człowieka po to, by inny człowiek, który ten wytworzony stan rzeczy zobaczy, przypisał temu stanowi rzeczy określone znaczenie;
2. elementu oznaczanego – przedmiotu, bytu, pojęcia, zdarzenia, takiego fragmentu rzeczywistości, który chcemy wywołać w myśli za pomocą elementu oznaczającego;
3. funkcji znakotwórczej – określającej związek pomiędzy elementem oznaczającym a elementem oznaczanym.
Przykładami znaków mogą być znaki drogowe będące elementami oznaczającymi. Są to bowiem obiekty wytworzone przez człowieka, którym przypisano znaczenie opisane w postanowieniach z zakresu prawa o ruchu drogowym (funkcja znakotwórcza umowna).
Znakiem będzie też obrączka noszona na palcu, która oznacza, że osoba nosząca ją na palcu pozostaje w związku małżeńskim – funkcja znakotwórcza zwyczajowa.

Znak to pewien przedmiot innego rodzaju niż ten, do którego się odnosi. Znak kieruje uwagę na element oznaczany, sam pełni tylko funkcję przekazania tej uwagi.

Element oznaczający to układ rzeczy lub zjawisk. Jest on świadomie wytwarzany przez jego twórcę, by zgodnie z funkcją znakotwórczą kierować myśli odbiorcy na element oznaczany. Bywa, że temu samemu obiektowi (elementowi oznaczonemu) przypisywane są różne znaki, przykładem będą oznaczenia tego samego przedmiotu w różnych językach. Wyrazy parasol, ombrello, umbrella, parapluie – znaczają w różnych językach dokładnie taki sam przedmiot.
Element oznaczający może czasami występować jedynie w określonych okolicznościach, np. znak drogowy tylko przy drodze, komenda „pal” w obecności oddziału.
Element oznaczający z prawnego punktu widzenia może mieć różną postać, np. zgodą na zawarcie umowy może być kiwnięcie głową, brak odpowiedzi uważany jest w pewnych warunkach za zgodę, wystawienie towaru na wystawie sklepu z oznaczoną ceną jest ofertą jego sprzedaży.

Oznaka = symptom – powstaje samoistnie w określonym stanie rzeczy czy zdarzeniu – jest elementem współwystępującym z danym stanem rzeczy, tzn. skorelowanym lub powiązanym związkiem przyczynowym ze zjawiskiem poprzedzającym) i kieruje w jego stronę myśli – spaliny kojarzymy z przejeżdżającym samochodem, dym z palącym się ogniem itp. Z oznaką nie wiążą się żadne funkcje znakotwórcze.

Znaki ikoniczne – obiekty pełniące funkcję zbliżoną do znaku ze względu na ich podobieństwo do rzeczy oznaczanej – fotografia przedmiotu, makieta policjanta przy drodze, itp.

Znak słowny – ciąg foniczny [słowo wypowiadane] lub ciąg liter [słowo pisane], który ma znaczenie, jeżeli nas o czymś informuje. Ma to miejsce wtedy, gdy pomiędzy takim słowem a określonym stanem faktycznym (elementem rzeczywistości) zachodzi związek ustalony na zasadzie konwencji i gdy ta konwencja jest stała, niezmienna.

Wyraz – znak słowny stanowiący całość, np. logika, długopis, podręcznik.

Wyrażenie – sensowne zestawienie wyrazów, np. Uniwersytet Warszawski, Piotr pije sok pomidorowy. Te wyrażenia mają określoną treść, którą rozumiemy. Wyrażeniem nie jest bezsensowna zbitka wyrazów, jak np. żółty biegać pomarańcza.
Zarówno wyraz jak i wyrażenie mogą mieć postać słowną oraz pisemną.
Funkcje znaczeniowa wypowiedzi:
• OPISOWA, gdy za pomocą wypowiedzi opisujemy rzeczywistość, np. Kancelaria Premiera RP mieści się przy Alejach Ujazdowskich; wypowiedzi opisowe są przedmiotem zainteresowań semantyki
• EKSPRESYWNA, gdy za pomocą wypowiedzi wyrażamy przeżyca, uczucia, pragnienia, np. cholera
• SUGESTYWNA, gdy wypowiedź stanowi bodziec do zachowania się, np. komenda wojskowa ‘w tył zwrot’; jest przedmiotem zainteresowań pragmatyki
• PERFORMATYWNA, gdy wypowiedź niesie znaczenie czysto umowne, wybiegające poza zwykłe znaczenie wyrażenia. Znaczenie takie występuje tylko w określonym kontekście, tj. jeśli wypowiedź zostanie sformułowana przez określoną osobę w określonym miejscu i czasie. Przykładem może być ustanowienie normy przez prawodawcę: wypowiedź ta wywołuje skutek polegający na powstaniu u adresatów tej normy obowiązku postępowania zgodnie z tą normą. Albo nadanie imienia dziecku w trakcie chrztu, ślubowanie przy immatrykulacji studenta, sentencja wyroku sporządzona przez sędziego w postępowaniu sądowym itp. O wypowiedzi performatywnej możemy orzec, że jest ‘ważna’ – sformułowana przez odpowiednią osobę w odpowiednich warunkach – ewentualnie orzec, że jest ‘nieważna’ – nie została sformułowana w warunkach powodujących jej performatywne znaczenie.

JĘZYK
Język – określony poprzez zbiór wyrażeń i zbiór przyporządkowanych tym wyrażeniom znaczeń. Język w sensie historycznym jest sekwencją powiązanych ze sobą języków w sensie logicznym.

Logiczna koncepcja języka – język zmienia się z upływem czasu i badając go możemy tylko stwierdzić stan tego języka występujący w momencie badania.

Idiom- specyficzne dla danego języka wyrażenie, tj. złożone wyrażenie o swoistym znaczeniu, np.: ‘pleść trzy po trzy’, ‘płacić z dołu’, ‘spaść z wokandy’.

Homonimy – temu samemu wyrazowi lub wyrażeniu można przypisać różne znaczenia, np.: prawo, zamek, konik

Synonimy – różne wyrazy lub wyrażenia, którym przypisano w danym języku jednakowe znaczenia, np.: bogacz – krezus, wiadomość – informacja – komunikat, wiara – wyznanie – religia.

Logiczna teoria języka – zajmuje się językiem, bada trzy rodzaje stosunków wiążących wyrażenia:
• Semantyczne – powiązania zachodzące pomiędzy wyrażeniami a elementami rzeczywistości opisywanymi przez wyrażenia, w szczególności rozpatrywana jest problematyka znaczenia wyrażeń i zgodności z rzeczywistością zdań;
• Syntaktyczne – powiązania między wyrażeniami wewnątrz samego języka, w tym reguły budowy wyrażeń złożonych;
• Pragmatyczne – dotyczące funkcji wypowiedzi w procesie porozumiewania się w układzie nadawca wypowiedzi – wypowiedź – odbiorca wypowiedzi.

I. język naturalny – języki etniczne, np. polski, rosyjski. Powstają w drodze ewolucji społeczeństw i służą do wzajemnego przekazywania sobie informacji przez członków tych społeczeństw
II. język sztuczny – tworzone w celu wyspecjalizowanego przekazu informacji w określonych grupach osób: lekarze, prawniczy, technicy. Np.: nutowy zapis melodii, język znaków drogowych, język matematyki. Utworzone są w celu zaspokojenia określonych potrzeb.

POZIOMY JĘZYKA
I. wypowiedź odnosi się do otaczającej nas rzeczywistości i taką rzeczywistość opisuje, inaczej mówiąc jest to taka wypowiedź, która nie odnosi się do innych, np.:
W Czersku znajdują się ruiny średniowiecznego zamku.
Z okien hotelu Mariott w Warszawie widać Dworzec centralny PKP.
Sędzia rejestrowy odmówił wpisania do rejestru firmy Fabryka Dyskietek LTD.
II. Jeżeli przedmiotem, o którym orzeka dana wypowiedź, nie jest zjawisko empiryczne, lecz inna wypowiedź sformułowana w języku I stopnia, to mamy do czynienia z przedmiotem w języku II stopnia, czyli z wypowiedzią w metajęzyku. Wyrażenia w metajęzyku opisują własności wyrażeń językowych sformułowanych w języku I stopnia. Np.:
Las to rzeczownik.
W języku polskim słowo kontroler ma takie samo znaczenie, jak słowa rewident lub inspektor.
Prawodawca tworząc teksty prawne posługuje się językiem I stopnia, tzw. Językiem prawnym.
III. z wypowiedią w języku n-tego stopnia, gdzie n=>2 mamy do czynienia wtedy, gdy przedmiotem, o którym orzeka ta wypowiedź, jest druga wypowiedź sformułowana w języku o jeden stopień niższym. I tak, jeżeli przedmiotem jest wypowiedź w języku I stopnia, to mamy do czynienia z wypowiedzią II stopnia. Z kolei, jeżeli przedmiotem jest wypowiedź w języku II stopnia, to mamy do czynienia z wypowiedzią w języku III stopnia.

Język prawny – sformułowane są teksty prawa, tzn. przepisy prawne i ich zbiory. Przykładami wypowiedzi w języku prawnym są publikacje zawarte w dziennikach urzędowych, takich jak Dziennik Ustaw, Monitor Polski i inne.
Prawodawca z jednej strony dąży do ułatwienia rozumienia tekstów prawnych, a z drugiej strony dąży do wyspecjalizowania tego języka, aby był dostatecznie precyzyjny do przekazu informacji o prawie.

Język prawniczy – posługuje się nim nauka i praktyka prawa, komentując i interpretując wypowiedzi sformułowane w języku prawnym. Jest to język II stopnia. Biorąc za kryterium okoliczność, kto posługuje się językiem prawniczym, wyodrębniono takie jego działy, jak język prawniczy dogmatyki prawa, język prawniczy praktyki prawa używany przez organy stosujące prawo.

Glosy – język III stopnia, wypowiedź będąca komentarzem naukowym do orzeczenia sądowego, formułowana z reguły przez znawcę dziedziny prawa, której dotyczy dane orzeczenie sądowe, i publikowana w czasopiśmie prawniczym. Przedmiotem tej wypowiedzi jest orzeczenie sądowe, które jest wypowiedzią sformułowaną w języku prawniczym używanym przez praktykę stosowania prawa, tzn. jest wypowiedzią sformułowaną w języku II stopnia. Przedmiotem, o którym orzeka glosa, jest więc wypowiedź w języku II stopnia i sama glosa jest wypowiedzią w języku o jeden stopień wyższym, to jest wypowiedzią w języku III stopnia.

KATEGORIE SYNTAKTYCZNE

Dwa wyrażenia należą do jednej kategorii syntaktycznej określonego języka wtedy, gdy po zastąpieniu jednego z nich przez drugie w sensownym wyrażeniu tego języka otrzymujemy nowe wyrażenie, które jest również poprawne składniowo. Np.:
‘Doświadczony przewodnik prowadzi turystów’
• Przewodnik ->> hipokryta, wieloryb, biuletyn
‘Doświadczony wieloryb prowadzi turystów’
Powstałe wyrażenie jest poprawne składniowo, będące dalej zdaniem. Wyrażenie prawdziwe po takiej zmianie może stać się fałszywym.
• Przewodnik ->> lubi, niezbyt
‘Doświadczony niezbyt prowadzi turystów’
Powstałe wyrażenie nie jest poprawne pod względem składniowym i nie będzie miało znaczenia.

OZNACZENIA:
Z – zdanie
N – nazwa
(KRESKA UŁAMKOWA) - funktor


PODSTAWOWE KATEGORIE SYNTAKTYCZNE
Nazwa
Wyrażenie nadające się na podmiot (A) lub orzecznik (B) w zdaniu typu ‘A jest B’, oznaczające szeroko rozumiane przedmioty, tzn. empiryczne lub abstrakcyjne, a nawet będące tylko wytworem fantazji. Nazwy to:
• Wyrażenia, które są symbolami określonych przedmiotów: Jan Kowalski, trzeci dzień stycznia 2002 roku, najwyższy budynek w Warszawie
• Wyrażenia będące symbolem wielu przedmiotów posiadających wspólną własność lub własności: komputer, student, książka, nieruchomość
• W sensie lingwistycznym – rzeczowniki
• Przymiotniki: centralny
• Imiesłowy przymiotnikowe: uszkodzony, osiwiały, nauczony
• Przysłówki: wczoraj
• Liczebniki: pierwszy
Desygnat nazwy – przedmiot oznaczany przez daną nazwę.
Zakres nazwy = zbiór desygnatów = denotacja nazwy – zbiór przedmiotów przyporządkowany każdej nazwie.
Zdanie
Zdanie w sensie logicznym – wyrażenie, które jest prawdziwe lub fałszywe. Za pomocą tego zdania stwierdzamy pewne fakty. O wyrażeniu takim powiemy, że spełnia funkcję stwierdzania. Charakterystyczną cechą takiego zdania jest to, że zdanie takie spełnia funkcję stwierdzania. Zdaniem takim nie jest zdanie pytajne czy rozkazujące.
Wartość logiczna zdania – fałszywość lub prawdziwość, rozumiemy przez to jego zgodność/niezgodność ze stanem rzeczy, do którego się odnosi. Oznaczenie stanów rzeczy opiera się na tzw. Klasycznej definicji prawdy, stąd można zasadnie stwierdzić, że zdanie jest zgodne lub niezgodne z rzeczywistością.
Jedno zdanie posiada tylko jedną wartość logiczną:
‘Koń żyje w oceanach i morzach’ – fałszywe
‘Gazeta jest wykonana z papieru zadrukowanego’ – prawdziwe
Są zdania, których wartości logicznej nie można określić:
‘W dniu 1 stycznia 2001 roku objętość planety Merkury wynosiła dokładnie 0,666 objętości Ziemi’ – niewiadomo czy to zdanie jest fałszywe czy prawdziwe, ponieważ nie jest to łatwe do określenia ze względu na brak odpowiednich technicznych środków pomiarów.
Zasada dwuwartościowości – zdanie nie może mieć innej wartości logicznej jak prawda lub fałsz.

Teorie Łukaszewicza – trójwartościowy rachunek zdań. Dla opisania wartości logicznej zdania obok prawdy i fałszu stosuje się również trzecią wartość logiczną, nazywaną połowicznością.

Podział zdań względem przypisania wartości logicznej:
• Zdania analityczne – określenie wartości logicznej wymaga jedynie znajomości składni i znaczenia użytych w tym zdaniu słów i nie wymaga odwołania się do otaczającej rzeczywistości. Np.:
‘Każdy student jest człowiekiem’
‘Liczba 5 jest większa od 2’
Do stwierdzenia wartości logicznej tych zdań nie potrzeba przeprowadzać żadnych badań empirycznych.
‘Pies jest ptakiem’
‘Trójkąt ma cztery kąty’
Zdania wewnętrznie kontradyktoryczne, które traktujemy jako fałszywe bez konieczności empirycznego badania.
• Zdania syntetyczne – te zdania, które nie są zdaniami analitycznymi. Wartość tych zdań, określamy poprzez obserwacje faktów, o których zdanie orzeka. Np.:
‘Budynek WPiA UW położony w Warszawie przy ul. Krakowskie Przedmieście jest dwupiętrowy’
Wartość logiczną tego zdania możemy orzec dopiero po obejrzeniu tego budynku

Zdania egzystencjonalne – orzekają o pustości lub niepustości zbioru przedmiotów stanowiących zakres nazwy. Np.: W Zakopanem jest dworzec kolejowy, w Zakopanem nie ma lotniska.
Zdania sumbsumpcyjne – orzekają o stosunku zakresowym zakresów dwu nazw, np.: Żaden adwokat nie jest prokuratorem, każdy sędzia jest prawnikiem.

Wypowiedzi niezupełne – wypowiedzi skrótowe, wieloznaczne, które w pewnych kontekstach mogą być traktowane jak zdania, kiedy to w tych kontekstach możemy stwierdzić, że są prawdziwe bądź fałszywe, a bez znajomości kontekstu tego zrobić nie możemy. Np.: Gość hotelowy ma do dyspozycji basen i restaurację – ta wypowiedź nie jest ani prawdziwa, ani fałszywa. Nie jest to zdanie w sensie logicznym. Natomiast gdyby ta wypowiedź była w opisie hotelu Mariott to można by określić jej wartość logiczną.
‘Gość hotelu Mariett ma do dyspozycji basen i restaurację’ – można określić wartość logiczną.
Funktory
Nie są nazwami, ani zdaniami, lecz służą do wiązania nazw czy zdań w wyrażenia złożone i mogą występować jako części zdań. Jest to wyraz bądź wyrażenie nie będące nazwą czy zdaniem.
Argument funktora – wyraz lub wyrażenie wiązane w złożoną całość przez funktor.

Podział funktorów ze względu na rodzaj wyrażenia otrzymanego w wyniku zastosowania funktora, czyli dodania funktora do jego argumentu lub argumentów:
• Zdaniotwórcze – w wyniku użycia powstaje zdanie, łącznie ze swoimi argumentami tworzy zdanie.
Dwa typy takich funktorów:
- od argumentów nazwowych, np. czasowniki ‘pisze’, ‘idzie przez’
- od argumentów zdaniowych, gdy w wyniku powstaje zdanie złożone, np. ‘lub’, ‘oraz’, ‘jeżeli… to…’.
Zdaniem złożonym jest zdanie, w którym występuje co najmniej jeden funktor zdaniotwórczy od argumentów zdaniowych. Przykład: Koło Warszawy Wisła jest bardzo szeroka i dlatego pierwszy most stały wzniesiono dopiero w XVI wieku.
Podział zdań ze względu na funktory zdaniotwórcze:
- Zdanie proste – w zdaniu występuje tylko jeden funktor zdaniotwórczy. Argumentem takiego funktora zdaniotwórczego jest nazwa lub nazwy. Np. ‘Ala kupiła książkę’, ‘Duży kredyt jest spłacany przez Pawła od 5 lat’
- zdanie złożone – w zdaniu występuje więcej niż dwa funktory zdaniotwórcze. Np. ‘Jeżeli Jan zdał egzamin, to Jan zaliczył semestr’, ‘Jan czyta książkę, a Piotr pisze list’ szczególny przypadek:
Jan nie czyta książki.
n z z n
- -
z n n
W zdaniu złożonym znajduje się co najmniej jeden funktor zdaniotwórczy określony na argumencie/argumentach zdaniowych. Jeden z funktorów jest funktorem głównym.
Główny funktor – funktor zdaniotwórczy w zdaniu wtedy, gdy jest to funktor od argumentów zdaniowych i wszystkie inne wyrazy i wyrażenia występujące w tym zdaniu znajdują się w argumentach tego funktora.
Przykłady zdaniotwórcze:
z
- Piotr idzie. – zdaniotwórczy od 1 argumentu nazwowego
n

z
- Jan bije Pawła – zdaniotwórczy od 2 argumentów nazwowych
n n

z
- Jan wymienił dolary na złotówki – zdaniotwórczy od 3 argumentów
nnn

z
- Nie jest tak, że Jan jest studentem – zdaniotwórczy od 1 argumentu zdaniowego
z

z
- Chociaż Jan jest studentem, to Jan lubi czytać bajki – zdaniotwórczy od 2 argumentów
z z zdaniowych
Funktor zdaniotwórczy jest określony na argumentach nazwowych albo na zdaniowych.
Podział funktorów zdaniotwórczych:
- funktory ekstensjonalne = prawdziwościowe – wartość logiczna zdania Z zbudowanego przez ten funktor jest wyznaczona wyłącznie przez wartości argumentów tego funktora w zdaniu Z. Przykłady: jednoargumentowa negacja ‘nie jest tak, że…’ oraz dwuargumentowe spójniki międzyzdaniowe takie jak ‘i’, ‘lub’, ‘albo’, ‘jeżeli… to…’ i inne
- funktory intensjonalne = nieprawdziwościowe – wartość logiczna zdania Z nie jest możliwa do ustalenia na podstawie wartości logicznej jego argumentów. Przykłady:
‘Jest zakazane, aby (pies był karmiony kawiorem)’
‘Obowiązuje, żeby (pies chodził w kagańcu)’
‘Jest możliwe, że (Andrzej jest posłem)’
‘Jacek był przekonany, że (Piotr jest właścicielem motocykla marki Junak)’
‘Pradziadek Pawła wiedział, że (Paweł nie zdał egzaminu z biologii)’
Prawdziwość takich wypowiedzi nie zależy od wartości logicznej zdań-argumentów, w podanych wyżej przykładach umieszczonych w nawiasach, lecz ponadto zależy od innych zdarzeń czy przyjętych sposób interpretacji.
I tak wartość logiczna wyrażenia ‘Pradziadek Pawła wiedział, że (Paweł nie zdał egzaminu z biologii)’ zależy nie tylko od wyniku egzaminu Pawła, ale również od tego, czy pradziadek Pawła żył w dniu egzaminu Pawła i czy był o wyniku egzaminu poinformowany, a więc do przyznania wartości logicznej niezbędne jest posiadanie przez nas dodatkowych informacji, poza informacją o wartości logicznej zdania-argumentu.
- funktor koniunkcyjny – ‘i’, ‘oraz’, ‘a także’, przecinek
Może być funktorem nazwotwórczym bądź zdaniotwórczym. Z tego punktu widzenia rozróżniamy dwa sposoby użycia koniunkcji:
użycie koniunkcyjne – gdy stwierdzamy, że A jest B i C. Mówimy wtedy, że desygnat nazwy A jest zarazem desygnatem nazwy B i C, czyli inaczej jest desygnatem zbioru elementów należących do iloczynu (przecięcia) zbioru B i C. W takiej sytuacji funktor ‘i’ buduje nazwę złożoną B i C, której desygnaty należą do iloczynu zbiorów B oraz C. W takim przypadku koniunkcja jest funktorem nazwotwórczym od dwu argumentów nazwowych. W zdaniu ‘Jan jest studentem i sportowcem’ funktor ‘i’ buduje nazwę złożoną ‘student i sportowiec’, której desygnatami są osoby będące zarazem studentami i sportowcami.
użycie enumeracyjne – gdy stwierdzamy, że A i B jest C. Mówimy wtedy o przedmiotach A, że należą do klasy C, a także mówimy o przedmiotach B, że należą do klasy C. Podane wyżej zdanie można by przekształcić na równoznaczne A jest C i B jest C. W opisanej sytuacji funktor ‘i’ jest funktoremzdaniotwórczym od dwu argumentów zdaniowych. W zdaniu ‘Szachiści i brydżyści są sportowcami’ mamy na myśli, że ‘Szachiści są sportowcami i brydżyści są sportowcami’, funktor ‘i’ buduje zaś zdanie złożone z dwu zdań prostych.
użycie syntetyzujące - używane gdy zdanie dodatkowo zawiera informację, że suma zakresów dwu nazw A oraz B połączonych funktorem koniunkcji jest równa zakresowi C. W takim użyciu stwierdzamy, że A i B razem wzięte to C. W tym szczególnym przypadku funktor ‘i’ jest funktorem nazwotwórczym od dwu argumentów nazwowych, na takie użycie tego funktora wskazuje zaś zwrot ‘zarazem’ lub ‘razem wzięci’. Przykładem jest ‘Studenci Wydziału Historii UW i pracownicy WH UW razem wzięci tworzą korporację WH UW’ – występują dwie nazwy o tym samym zakresie
• Funktorotwórcze – w wyniku użycia funktora powstaje też funktor, jednak o zmodyfikowanej treści. Wraz ze swoimi argumentami tworzą inne funktory. Pod kreską oznaczającą funktor piszemy to, co jest jego argumentem, nad kreską piszemy zaś to, co otrzymujemy w wyniku dodania funktora do jego argumentu:
Oznaczenie tego, co tworzy funktor
Argument funktora

Tymi funktorami są najczęściej przysłówki, które są nazwą sposobu, czasu, miejsca, stopnia, np. głośno, dziko, dobrze. Argumentem funktora funktorotwórczego jest zawsze funktor. Przykłady:
Szybko biegnie

Bardzo szybko biegnie

• Nazwotwórcze – w wyniku użycia powstaje nazwa złożona, służą do budowy nazw złożonych z dwu lub więcej wyrazów.
Argumentami funktora nazwotwórczego – może być jedna lub więcej nazw. Opisuje się go w mianowniku i będzie to jedna lub wielokrotność litery ‘n’ oznaczającej nazwę, w zależności od tego, do ilu argumentów odnosi się badany funktor. W liczniku będzie litera ‘n’, gdyż funktor nazwotwórczy z definicji buduje jedną nazwę złożoną.
Przykłady nazwotwórcze:
n
- mądry student
n

n
- dziura w jezdni
n n

n
- dom między lasem a rzeką
nnn
Nazwy złożone, które mają właściwe znaczenie tylko wtedy, gdy użyjemy łącznie tworzących je słów i żadne z tych słów nie pełni funkcji konstrukcyjnej:
Imiona własne – Jan Kowalski, Pałac Łazienkowski
Deskrypcje – wyrażenia odnoszące się do jednego obiektu, desygnatu, np. Najdłuższy most w Polsce, brat Klaudiusza (o ile Klaudiusz ma jednego tylko brata)
Nazwy złożone nie będące zarazem nazwami własnymi, w których nie występuje żadne słowo o funkcji konstrukcyjnej, gdzie znaczenie zestawienia słów jest swoiste na zasadzie przyjętej konwencji znaczeniowej: świadectwo zgonu, akt małżeństwa, prestiż prawa, skrzywienie zawodowego, zasady współżycia społecznego lub zdolność do czynności prawnych. Wszystkie z podanych przykładów nie zawierają w sobie funktora nazwotwórczego.

W zależności od sposobu użycia w zdaniu to samo słowo może być zaliczone do różnych kategorii syntaktycznych; może być traktowane jako nazwa, lub funktor nazwotwórczy. Dotyczy to np. przymiotnika, imiesłowu przymiotnikowego, przysłówka lub liczebnika. Przykłady:
‘Ciężki samochód przejechał przez most’ – ‘ciężki’ jest przymiotnikiem, który modyfikuje znaczenie nazwy ‘samochód’, jest więc funktorem nazwotwórczym od jednego argumentu nazwowego.
‘Czołg jest ciężki’ – przymiotnik ‘ciężki’ pełni funkcję nazwy i jest skrótem myślowym wyrażenia ‘przedmiot ciężki’.

Dysponując zdaniem możemy dokonać jego analizy, oznaczając, do jakich kategorii syntaktycznych należą poszczególne wyrazy składające się na to zdanie.
Przykłady:
Jan jest uczciwym człowiekiem.


NAZWA

Nazwa – wyraz lub wyrażenie, które może być podmiotem A lub orzecznikiem B w zdaniu A jest B.
przykład: Piotr Kowalski jest notariusze.
‘Piotr Kowalski’ i ‘notariusz’ są nazwami.
Nazwą może być:
• wyrażenia, które są symbolami określonych przedmiotów, np. pies Burek, dworzec kolejowy w Zakopane, inauguracja roku akademickiego 2004
• wyrażenia, które są symbolem wielu przedmiotów posiadających wspólną własność lub własności, np. podręcznik, długopis, biskup, rzeka żeglowna
• w sensie lingwistycznym nazwami są wszystkie rzeczowniki (poza pełniącymi funkcje przyimka, np. wynikiem, celem)
• przymiotniki, np. blady, imiesłowy przymiotnikowe, np. przegrany, osiwiały, nauczony, przysłówki, np. dzisiaj, liczebniki, np. piąty
desygnat – przedmiot oznaczany przez daną nazwę
zakres nazwy = zbiór desygnatów
denotacja nazwy – stosunek nazwy do jej zakresu
równoważność nazw – dwóm nazwom odpowiada ten sam zbiór desygnatów, np.
‘Pałac Kultury i Nauki’ = ‘najwyższy budynek w Warszawie’
Eskorta = straż
Eskulap = Lekarz
Fikcja = Złudzenie
Podziały nazw

Proste i złożone
Kryterium tego podziału jest budowa wyrażenia odpowiadającego danej nazwie.
PROSTE – jednowyrazowe, np. notariusz, prokurator, książka
ZŁOŻONE – składają się z dwo albo więcej wyrazów, np. student WPiA, książki, które oddałem do biblioteki.
Indywidualne i generalne
Podział dokonany ze względu na sposób wyodrębnienia desygnatów. Podstawę rozróżnienia stanowi okoliczność czy nazwa zostaje przypisana danemu desygnatowi ze względu na przyjętą konwencję (niezależnie od własności tego desygnatu), czy też nazwa zostaje przypisana desygnatowi ze względu na określone własności tego desygnatu.
INDYWIDUALNA – podmiot zdania typu ‘A jest B’. przysługuje desygnatowi na zasadzie przyjętej konwencji znaczeniowej, niezależnie od właściwości posiadanych przez desygnat. Np. Piotr – nazwa ta odnosi się do konkretnej osoby, jest jej przypisana na zasadzie konwencji znaczeniowej przez rodziców i nie zależy od właściwości osoby; Rondo ONZ, Pałac Kazimierzowski, Apollo.
Natomiast ‘osoba o imieniu Piotr’ już nie jest nazwą indywidualną, gdyż odnosi się do wielu osób o imieniu Piotr.
GENERALNA – przypisywana jest przedmiotowi ze względu na wyodrębnioną cechę lub cechy. Np. Warszawa jest największym miastem Polski, nazwą generalną jest ‘największe miasto Polski’. Ta nazwa może być użyta jako podmiot lub orzecznik.
Supozycje – różne role znaczeniowe dla nazwy generalnej i indywidualnej. Rodzaje:
• prosta – suppositio simplex – odnosi się do poszczególnego desygnatu nazwy. W takiej supozycji występuje słowo ’pies’ w zdaniu „Pies zjadł całą kurę” – mamy tutaj na myśli określonego jednego psa, który zjadł tę kurę – NAZWA INDYWIDUALNA I GENERALNA
• formalna – suppositio formalin – odnosi się do gatunku, a nie poszczególnego reprezentanta gatunku. Np. „pies to ssak” – mamy na myśli wszystkie desygnaty nazwy ‘pies’ – NAZWA GENERALNA
• materialna – suppositio materialis – odwołujemy się do będącego nazwą wyrazu bądź wyrażenia jako takiego, a więc wyrażenie występujące w tej roli znaczeniowej jest nazwą dla samego siebie, co znajduje odbicie w umieszczeniu tego wyrazu bądź wyrażenia w cudzysłowiu, np. w zdaniu „Wyraz pies składa się z czterech liter” nie odwołujemy się do jakiegokolwiek desygnatu tej nazwy, lecz orzekamy o własności wyrazu tworzącego nazwę. Ta supozycja łączy się z metajęzykiem, który służy do opisu innego języka.
Ogólne, jednostkowe, puste
Ten podział odnosi się do ich zakresu. Liczebność zbioru desygnatów stanowi kryterium podziału.
OGÓLNA – ma więcej niż jeden desygnat, np. pióro, książka, szafa – nazwą ogólną nie może być nazwa indywidualna!!!
JEDNOSTKOWA – ma tylko jeden desygnat, np. Piotr Kowalski, najstarszy człowiek na świecie
PUSTA – nie ma żadnego desygnatu, np. obecny król Francji, pies o wadze 200 kg albo też inne przykłady np. Zeus, nimfa, Miś Puchatek – wyrazu mają wiele desygnatów, ale nie są prawdziwe.
Konkretna i abstrakcyjna
KONKRETNA – odnosi się do rzeczy, osób lub wyobrażenia osoby albo rzeczy. Np. prokurator, skrypt, budynek, Harry Potter
ABSTRAKCYJNA – nie odnosi się do rzeczy ani osób, lecz wskazuje na cechy wspólne przedmiotów – czerwoność, stan rzeczy – nostalgia, spokój oraz stosunek między przedmiotami – wyższość, bliskość.
Błąd hipostazowania – polega na przyporządkowaniu nazwie abstrakcyjnej desygnatów uznanych za empiryczne, które jednak w rzeczywistości nie istnieją.
Zbiorowe i niezbiorowe
Zbiór – składa się z elementów, tzn. obiektów, przedmiotów, które do tego zbioru należą. Ze względu na sposób określenia tych elementów tworzących zbiór rozróżniamy zbiory:
• w sensie kolektywnym = mereologicznym – składa się z części, składników, kawałków. W przypadku tak rozumianego zbioru element elementu zbioru jest elementem zbioru. Np. terytorium Polski, które składa się z województw, województwa z powiatów, przy czym zbiór województw i powiatów są tym samym terytorium Polski. Każde województwo jest elementem terytorium, a każdy powiat jest elementem województwa, stąd każdy powiat jest elementem terytorium.
• W sensie dystrybutywnym – składa się z elementów – obiektów określonego rodzaju, typu. To zespół przedmiotów posiadających cechę lub cechy, np. zbiór liczb parzystych, zbiór absolwentów WH UW, zbiór rowerów, zbiór książek – pomimo iż każda książka składa się z kartek, to kartki nie należą do zbioru książek. Do tych zbiorów należą tylko konkretne elementy. Elementami zbioru X są tylko x!
ZBIOROWA – desygnaty są zbiorami złożonymi z róznego rodzaju elementów i wszystkie desygnaty takiej nazwy tworzą zbiór w sensie kolektywnym, np. kodeks cywilny, prawa człowieka, sąd okręgowy, Wielka Brytania, system komputerowy, Sejm.
NIEZBIOROWA – desygnaty, którymi są pojedyncze przedmioty, a nie zbiory tych przedmiotów, np. student, podręcznik, krzesło.
Przykład różnicy między tymi nazwami:
‘Pies jest na łańcuchu’ – nazwa niezbiorowa
‘Łańcuch składa się z ogniw’ – nazwa zbiorowa

Stałe i zmienne
STAŁE – nie zależy od miejsca i czasu wypowiedzi, np. liczba podzielna przez dwa, pies, samochód, żelazo
ZMIENNE – zależy od miejsca i czasu wypowiedzi, a także kto i gdzie posłużył się tą nazwą np. mój ojciec, ja, tutaj, teraz
Wyraźne i niewyraźne
NIEWYRAŹNE - nie można jednoznacznie określić treści, czyli cech desygnatu lub desygnatów. Są to nazwy intuicyjne, np. zieleń, niedorozwój umysłowy. Nazwy niewyraźne są z reguły także nazwami nieostrymi.
WYRAŹNE – posiada określoną i nie budzącą wątpliwości znaczeniowych treść językową, np. książka, żołnierz, przepis prawny.
Ostra i nieostra
Dzielimy je ze względu na jednoznaczność przypisania desygnatu do zakresu nazwy.
OSTRA – możemy jednoznacznie orzec, czy dany przedmiot przynależy, czy też nie przynależy do jej zakresu, np. książka, prostokąt, długopis.
NIEOSTRA - nie można jednoznacznie określić jej zakresu jak np. młodociany, nietrzeźwy, dobra wiara, uczciwość kupiecka. Nazwy nieostre występujące w prawie: należyta ostrożność, nieuzasadnione opóźnienie, szkodliwość społeczna


Treść nazwy
Konotacja = znaczenie nazwy – jest jej treścią, na którą składa się zespół cech, które posiada każdy desygnat danej nazwy. Znaczenie posiadają wyłącznie nazwy generalne, np. kwadryga – rydwan zaprzężony w czwórkę koni, ustawionych w jednym rzędzie, używany podczas wyścigów i triumfalnych wjazdów w starożytnej Grecji i Rzymie.
Treść pełna nazwy = suma cech konstytutywnych i konsekutywnych – wszystkie cechy nazwy, na podstawie których możemy zakwalifikować dany przedmiot jako desygnat nazwy.
Podział na cechy:
• Konstytutywne – cechy ograniczone, które wystarczają do scharakteryzowania desygnatu nazwy. Są to cechy istotne, które w sposób jednoznaczny określają desygnat. Np. trójkąt – bycie figurą geometryczną, złożoną z trzech boków.
• Konsekutywne – cechy dodatkowe, np. wyżej wymieniony trójkąt ma wiele innych cech: suma kątów jest równa 180 stopni, pole wynosi ah/2 itd.
Równoznaczność – dwie nazwy mają taką samą treść, tzn. taki sam jest zbiór cech wyróżniających desygnaty tych nazw, czyli jest im przyporządkowany ten sam zbiór desygnatów. Np. flaga – chorągiew.
Homonimy - nazwy, które występują w wielu znaczeniach, np. arenga – (dla prawnika – preambuła) – (dla biologa – palna cukrowa) .
Synonimy – równoznaczność. Np.: leń – próżniak, zabobon – przesąd, flaga – sztandar – chorągiew.
Stosunki zakresowe nazw
Występują tylko w przypadku, gdy nie są nazwami pustymi.
Klasa uniwersalna = universum – zbiór desygnatów wszystkich istniejących nazw. Jeśli z klasy uniwersalnej wyłączymy przedmioty określone nazwą ‘prawnik’, wówczas pozostała jej część tworzy klasę negatywną ‘nie-prawnik’.
• Stosunek zamienności
------------P-------------- S – flaga; P - chorągiew
|-------------|---------------------------|-----------|
------------S--------------
Desygnaty S są desygnatami P. S = P i P = S
• Stosunek nadrzędności

----------------------S------------------- S – lekarz; P - chirurg
|------------|----|-----------------------------|--------|-------|
-----------------P----------
Każde P jest S, lecz nie każde S jest P.
• Stosunek podrzędności

---------S-------- S – pies; P - ssak
|-----|------------------|-----------------|------|
---------------P-------------------
Każde S jest P, lecz nie każde P jest S.
• Stosunek krzyżowania się
 Stosunek niezależności – klasa uniwersalna nie została wyczerpana
-----------------S--------------- S – prawnik; P - polityk
|---|------------|--------------------|-----------|-----------|
------------------P-------------
Niektóre S są P i niektóre P są S.
 Stosunek podprzeciwieństwa, w którym klasa uniwersalna została wyczerpana
----------------------S---------------------- S – prawnik, P – nie-notariusz
|------------------|--------------------------|----------------|
------------------------P------------------
Niektóre S są P i niektóre P są S i poza S oraz P nie ma żadnych innych przedmiotów.
• Stosunek wykluczania się

 Stosunek przeciwieństwa – klasa uniwersalna niewyczerpana
----S---- S – prokurator; P - sędzia
|---|----------|----------------|----------------------|---------|
-----------P----------
Nie istnieją S, które byłyby P i nie istnieją P, które byłyby S. oprócz P i S istnieje co najmniej jeszcze jeden przedmiot.
 Stosunek sprzeczności – nie ma żadnych innych desygnatów
-------------S----------- S – sędzia, P – nie-sędzia
|-------------------------|---------------------------|
---------P-----------------

KOŁA EULERA

R – sędzia, P – sportowiec, S – adwokat


Przykłady:
Rada gminy – radny  stosunek wykluczania się – przeciwieństwo
Drzewo – drzewa  stosunek wykluczania się



DEFINICJE

Za twórcę definicji uznaje się Arystotelesa, według którego na definicję składa się rodzaj i różnica, dwie definicje: słowna, dotycząca określonego terminu i właściwa, wyjaśniająca, czym jest dana rzecz.
Warunki konieczne zachowane w definicji według W.S. Jevons:
 Definicja powinna podawać własność istotną określonego gatunku
 Definicja nie może zawierać terminu definiowanego
 Definicja musi ściśle odpowiadać gatunkowi definiowanemu – musi wyznaczać zakres przedmiotów należących do definiowanego gatunku, musi oznaczać cały ten zakres i nic więcej ponadto.
 Definicja nie może być sformułowana w wyrazach o znaczeniu niejasnym, obrazowych lub wieloznacznych.
 Definicja nie powinna być negatywna tam, gdzie może być pozytywna.

Podział definicji
Nominalne i realne
NOMINALNA – polega na zastępowaniu jednych wyrażeń innymi wyrażeniami. Wyraz definiowany występuje w supozycji materialnej. Zastępowanie może być równoznaczne – treść lub równoważne – zakres nazw. Dzielimy na:
 Treściowa – zmierza ku zachowaniu znaczenia danego wyrażenia
 Zakresowa – zachowanie zakresu nazwy poprzez np. podanie jej równoważnika.
Przykład: Herbicyd – substancja chemiczna używana do niszczenia chwastów.
Definicjami nominalnymi są definicje z aktów normatywnych, ponieważ dotyczą one języka, a nie otaczającej nas rzeczywistości.
REALNA – odnosi się do przedmiotu. Przykład: zegar to urządzenie służące do mierzenia czasu. Wyraz definiowany występuje w supozycji formalnej lub prostej.
Sprawozdawcze i projektujące
Podział ze względu na zadania stawiane definicjom, genezę znaczenia definiendum lub sposób uzasadnienia definicji.
SPRAWOZDAWCZA – skierowana ku przeszłości lub teraźniejszości. Jest to swego rodzaju sprawozdanie oddające znaczenie danego terminu. Przykład: repatriacja – powrót obywateli do kraju.
PROJEKTUJĄCA – przyszłościowa. Np. bank genów jest to ośrodek, gdzie genotypy są przechowywane poza ich normalnym środowiskiem, wyposażony w niezbędne budowle i urządzenia – prawodawca projektuje znaczenie tego wyrażenia i oczekuje, iż wyrażenie to będzie występowało powszechnie w powyższym znaczeniu. Ta definicja może być definicją:
 Konstrukcyjną – dotyczy nowych słów lub nowego znaczenia słów. Np. maluch – uczeń pierwszej klasy gimnazjum – zupełnie nowe znaczenie słowa
 Regulująca – wyraźne znaczenie danego wyrazu, np. hałas to dźwięk o częstotliwości od 16 Hz do 16 000 Hz. – w znaczeniu potocznym jest inna definicja ale ta też jest dobra.
Równościowe i nierównościowe
RÓWNOŚCIOWA – składa się z trzech części:
1. definiendum – część definicji zawierająca zwrot definiowany
2. zwrot łączący
3. definiens – zwrot definiujący
przykład:
(1) Żołnierz (2) jest (3) osobą pełniącą czynną służbę wojskową.
Definicja kontekstowa = w uwikłaniu – definiendum może być skonstruowane w sposób rozbudowany, czyli może obejmować poza wyrażeniem definiowanym inne wyrażenia.
Postacie definicji równościowej:
 O budowie klasycznej – składa się z rodzaju i różnicy gatunkowej. Przykład: pełnoletnim jest, kto ukończył lat osiemnaście. Polega na podaniu nazwy o zakresie szerszym, a następnie zawężeniu zakresu.
 O budowie nieklasycznej – wskazujemy zakresy poszczególnych nazw, łącznie dające zakres nazwy definiowanej. Przykład: PCB – rozumie się przez to polichlorowane difenyle, polichlorowane trifenyle, monometylotetrachlorodife-nylometan oraz mieszaniny zawierające jakąkolwiek z tych substancji w ilości powyżej 0,0005% wagowo łącznie.
Formy stylizacji definicji równościowej w zależności od roli znaczeniowej definiendum i definiensa – wszystkie odnoszą się do definicji nominalnej:
 Słownikowa – polega na ujęciu wyrażenia definiowanego – definiendum i wyrażenia definiującego – definiensa w supozycji materialnej, którą wskazuje cudzysłów. Zwrot łączący – wyrażenie: ‘znaczy tyle co’, ‘znaczy to samo co’. Przykład: Aurypigment – znaczy to samo co – siarczek arsenu.
 Semantyczna – definiendum przedstawione w supozycji materialnej, a definiens zaś charakteryzuje przedmiot. Zwrot łączący: oznacza, denotuje. Przykłady: wyraz ‘cadyk’ oznacza przywódcę żydowskiej gminy chasydzkiej, uważanego często przez współwyznawców za cudotwórcę.
 Przedmiotowa – przykłady: Chloran jest to sól kwasu chlorowego.
NIERÓWNOŚCIOWE – charakteryzowane w sposób negatywny jako te, które nie mają budowy właściwej dla definicji równościowej. Rodzaje definicji:
 Przez postulaty – aksjomatyczna, umieszczanie definiowanego wyrazu w kilku wzorcowych zdaniach, na podstawie których może zrozumieć, jakie znaczenie mu się przypisuje. Przykłady: nie popełnia przestępstwa, kto w obronie koniecznej odpiera bezpośredni, bezprawny zamach na jakiekolwiek dobro chronione prawe.
 Operacyjna – istotę definiowanego terminu określa się w niej przez podanie operacji, jakie należy wykonać, aby otrzymać to, co jest definiowane. Przykładem może być przepis kuchenny.
 Cząstkowe – niepełne, podane na zasadzie przykładowym.

Błędy w definiowaniu
 Idem per idem = to samo przez to samo – w definiensie pojawia się wyrażenie występujące w definiendum, np. współpraca, wg. Ustawy, jest to świadoma i tajna współpraca z ogniwami operacyjnymi.
 Błędne koło pośrednie – jedno wyrażenie definiujemy za pomocą innego wyrażenia, które z kolei definiujemy za pomocą następnego wyrażenia, na końcu zaś zwracamy się ku wyrażeniu pierwotnemu. Przykład: radełko jest to urządzenie służące do robienia radlin. Radlina to wał ziemi usypany przez radlenie. Radlenie to obsypywanie ziemią roślin uprawnych za pomocą radełka.
 Ignotus per ignotus = nieznane przez nieznane – polega na powtórzeniu w definiensie nieznanego odbiorcy definicji wyrażenia, które jest zawarte w definiendum. Przykład: annalista jest to autor annałów.
 Nieadekwatność – zakres definiendum powinien być zamienny z zakresem definiensa, w tym przypadku tak nie jest i przyjmuje różne postacie:
- zakres definiensa jest szerszy od zakresu definiendum – definicja za szeroka, przykład: zabytkiem jest rzecz zasługująca na trwałe zachowanie ze względu na posiadaną wartość artystyczną.
- zakres definiensa jest węższy od zakresu definiendum – definicja za wąska, przykład: nożyczki to urządzenie służące do cięcia jedwabiu.
- zakres definiendum i definiensa krzyżują się, przykład: prawnik to pracownik Ministerstwa Sprawiedliwości
- zakres definiendum i definiensa wykluczają się – przykład: nietoperz jest to prowadzący nocny tryb życia ptak o bardzo dobrze rozwiniętym zmyśle słuchu.
Błąd przesunięcia kategorialnego – w definiensie i definiendum występują wyrażenia z różnych kategorii ontologicznych. przykład: stołeczność to miasto będące stolicą danego państwa.
Definicje w prawie
& 146 ust. 1 ‘Zasad techniki prawodawczej’ stwierdza, że w ustawie należy sformułować definicję danego określenia, jeżeli:
o Dane określenie jest wieloznaczne
o Dane określenie jest nieostre, a pożądane jest ograniczenie jego nieostrości
o Znaczenie danego określenia nie jest powszechnie zrozumiałe
o Ze względu na dziedzinę regulowanych spraw istnieje potrzeba ustalenia nowego znaczenia danego określenia

Definicje legalne – charakter normatywny, uznaje się je za metanormy.
Metanormy – normy mówiące o innych normach.



RELACJE

Relacja – regulowanie określonych stosunków, które zachodzą między ludźmi, jednostkami organizacyjnymi oraz między ludźmi i jednostkami organizacyjnymi. Np. stosunek między wierzycielem a dłużnikiem. W logice są to relacje między nazwami, zdaniami oraz relacjami.
Człony – obiekty, pomiędzy którymi zachodzi określona relacja. Wyróżniamy ze względu na liczbę:
 Dwuczłonowe – bycie małżonkiem
 Trójczłonowe
 Czwórczłonowe – relacja między sprzedającym, kupującym, pośrednikiem, nieruchomościa – nabycie nieruchomości
 Wieloczłonowe
Relacja między elementami (dwuczłonowa):
xR1y - x pozostaje w relacji R1 do y
przykład: Piotr jest właścicielem nieruchomości ‘Patria’ – relacja to ‘bycie właścicielem’
x – poprzednik  suma poprzedników to dziedzina relacji = dominium
oznaczamy ją jako D(R) i określamy: /\\\\x [x D(R) \\\\/y(xRy)]
y – następnik  suma następników to przeciwdziedzina relacji = condominium
oznaczamy jako (R) i określamy: /\\\\y [y (R) \\\\/x(xRy)]
suma poprzedników i następników to pole = campus
oznaczamy jako P(R) i definiujemy: P(R) = D(R) (R)
Przykłady:
 Wykluczają się: ‘bycie mężem’ – x jest mężem y – dziedziną relacji jest zbiór wszystkich mężczyzn, którzy znajdują się w związku małżeńskim, przeciwdziedziną jest zbiór wszystkich kobiet, które znajdują się w tym związku.
 Zamienne: ‘bycie małżonkiem’ – x jest małżonkiem y – dziedziną jest zbiór wszystkich osób pozostających w związku małżeńskim, ten sam zbiór jest przeciwdziedziną.
 Krzyżowanie: ‘bycie bratem’ – x jest bratem y – dziedziną są osoby, które są braćmi, przeciwdziedziną są posiadają braci. Lecz nie każdy jest bratem, oraz nie każdy posiada brata.
 Nadrzędność: ‘bycie postrzeganym’ – x jest postrzegany przez y – przeciwdziedziną są wszystkie postrzegające przedmioty, a dziedziną są przedmioty, które są postrzegane. Przedmiot postrzegający postrzega sam siebie.
 Podrzędność: ‘bycie matką’ – x jest matką y – dziedziną są wszystkie matki, a przeciwdziedziną są osoby posiadające matki. Każda matka miała matkę.

Relacja R przyporządkowuje elementowi x element y:
R 1 – n /\\\\x,y,z(xRz /\\\\ yRz  x = y)
1-n – jednoznaczna – dowolny element przeciwdziedziny przyporządkowany jest przez relację jednemu elementowi dziedziny. Np.: ‘bycie matką’ – każdy ma jedną matkę.
R n - 1 /\\\\x,y,z(xRz /\\\\ xRz  y = z)
n-1 – odwrotnie jednoznaczna – dowolnemu elementowi dziedziny relacja ta przyporządkowywuje tylko jeden element dziedziny. Np.: ‘bycie bezpośrednim podwładnym’ – każdy ma tylko jednego bezpośredniego podwładnego.
R 1 – 1 R n – 1 /\\\\ R 1 - n
1-1 – wzajemnie jednoznaczna = doskonała – dowolnemu elementowi dziedziny przyporządkowany jest tylko jeden element przeciwdziedziny i dowolny element przeciwdziedziny przyporządkowany jest tylko jednemu elementowi dziedziny. Np.: ‘bycie żoną’ – w małżeństwie monogamicznym każda żona ma jednego męża i jest jedyną jego żoną.
n-n
wzajemnie wieloznaczna – w dziedzinie istnieje przynajmniej jeden element pozostający w tej realcji do więcej niż jednego elementu przeciwdziedziny i istnieje w przeciwdziedzinie element, do którego pozostają w tej relacji przynajmniej dwa różne elementy dziedziny. Np.:
‘bycie oszukanym’ – x został oszukany przez y – znajdzie się taki człowiek, który był oszukany przez wielu oraz taki, który wielu oszukał.

Cechy relacji
Symetryczność
Jeżeli zachodzi relacja pomiędzy x i y to czy zachodzi relacja pomiędzy y i x. trzy różne sytuacje:
1. R Sym /\\\\x,y(xRy  yRx) - relacja symetryczna - zachodzi relacja R (xRy) pomiędzy x a y oraz pomiędzy y a x. np.: ‘bycie rówieśnikiem’ – jeśli x jest rówieśnikiem y, to y jest rówieśnikiem x.
2. R Asym /\\\\x,y(xRy  ~yRx) – relacja asymetryczna = przeciwsymetryczna – jeżeli zachodzi relacja między x a y, to nie zachodzi relacja między y a x. np.: ‘bycie wyższym’ – jeżeli x jest wyższy od y, to y nigdy nie będzie wyższy od x.
3. R Nonsym \\\\/x,y(xRy yRx) \\\\/x,y(xRy ~yRx) – relacja nonsymetryczna = niesymetryczna – gdy x pozostaje w relacji R do y, to w niektórych przypadkach y pozostaje w relacji do x, a w innych nie. Np.: ‘bycie bratem’ – jeżeli x jest bratem y, to y może być bratem x albo siostrą x.
4. R2 = 1 /\\\\x,y(xR1y yR2x) – konwers relacji – pomiędzy x a y występuje określona relacja R1, zawsze mamy do czynienia z wystąpieniem relacji R2 pomiędzy y a x. np.: konwersem relacji ‘bycia niższym’ jest ‘bycie wyższym’. Natomiast konwers relacji symetrycznej jest z nią identyczny, np.: jeśli x jest krewnym y, to y jest krewnym x – konwersem relacji ‘bycia krewnym’ jest ‘bycie krewnym’.
Zwrotność
Czy x pozostaje w stosunku R do samego siebie. Trzy różne sytuacje
1. R Zwr /\\\\x(xRy) – relacja zwrotna - refleksywna – każde x pozostaje w relacji R do samego siebie xRx. Np.: ‘bycie rówieśnikiem’ – każdy człowiek jest rówieśnikiem siebie samego.
2. R Azwr /\\\\x(~xRy) – relacja azwrotna = przeciwzwrotna = irrefleksywna – żadne x nie pozostaje w relacji do siebie samego. Np.: ‘bycie małżonkiem’, ‘bycie wspólnikiem’.
3. R Nonzwr \\\\/x(xRx) \\\\/x(~xRx) – relacja nonzwrotna = niezwrotna = zwrotna nieregularnie – pewne x pozostaje w tej relacji do samego siebie, a pewne nie. Np.: ‘bycie bronionym’ – x broni y przed bezprawnym zamachem podczas napardu – x broniąc y broni się również sam, ale czasami broni tylko y.
Przechodniość
Czy relacja R zachodzi między x a z, o ile zachodzi pomiędzy x a y oraz y a z. trzy sytuacje:
1. R Tranz /\\\\x,y,z(xRy yRz  xRz) – relacja tranzytowa = przechodnia – zawsze pomiędzy x a z zachodzi dana relacja, gdy zachodzi ona pomiędzy x a y oraz y a z. np.: ‘bycie starszym’ – jeżeli x jest starszy od y, a y starszy od z, to z jest starszy od z.
2. R Atranz /\\\\x,y,z(xRy yRz  ~xRz) – relacja tranzytowa = przeciwprzechodnia = przechodnia – x nigdy nie pozostaje w relacji do z, gdy pozostaje w niej do y, a y do z. np.: ‘bycie ojcem’ – jeżeli x jest ojcem y, a y ojcem z, to x nie jest ojcem z.
3. R Nontranz /\\\\x,y,z(xRy yRz xRz) \\\\/x,y,z(xRy yRz ~xRz) – relacje nontranzytywne = nieprzechodnie = nonprzechodnie = przechodnie nieregularnie – gdy x pozostaje w relacji do y i y pozostaje w relacji do z, wtedy w niektórych przypadkach x pozostaje w relacji do z, a w niektórych nie. Np.: ‘bycie lubianym’ – jeżeli x jest lubiany przez y, a y lubiany przez z, to może być tak że x jest też lubiany przez z, albo i nie.
Spójność
Czy w tej relacji pozostają do siebie dwa dowolnie wybrane różne elementy określonego zbioru. Sytuacje:
1. R Spój(Z) /\\\\x,y(x Z y Z x y  xRy yRx) – relacja spójna w zbiorze Z – jeżeli między dwoma dowolnymi, nie identycznymi przedmiotami tego zbioru zachodzi ona w jednym lub w drugim kierunku. Np.: ‘bycie współoskarżonym w ramach jednego procesu’ w zbiorze osób oskarżonych w konkretnym procesie o współudział w przestępstwie – niezależnie, którą parę współoskarżonych będziemy rozpatrywać to, zawsze stwierdzamy między nimi relacje ‘bycia współoskarżonymi’.
2. R Aspój(Z) /\\\\x,y[x Z y Z x y  ~(xRy yRx)] – relacja spójna = przeciwspójna – w ramach określonego zbioru elementów nie da się znaleźć żadnej pary różnych elementów, między którymi dałoby się stwierdzić ich zachodzenie. Np.: ‘bycie równą liczbą’ w zbiorze liczb naturalnych – dla żadnej wybranej pary z tego zbioru nie da się stwierdzić zachodzenia tego stosunku, ponieważ każda liczba jest różna co do wartości od pozostałych.
3. R Nonspój(Z) \\\\/x,y[x y (xRy yRx)] \\\\/x,y[x y ~(xRy yRx)] – relacja nonspójna = niespójna = spójna nieregularnie – określona relacja R1 zachodzi jedynie między pewnymi parami wybranych elementów zbioru. Np.: ‘bycie wyższym’ w zbiorze studentów wydziału prawa – wśród niektórych utworzonych par da się stwierdzić zachodzenie tej relacji, wśród innych zaś nie. Relacja nie będzie zachodziła w tych parach, gdzie osoby będą równe wzrostem.
ZAMIENNOŚĆ symetryczna, przechodnia, zwrotna
PODRZĘDNOŚĆ asymetryczna, tranzytywna, azwrotna
NADRZĘDNOŚĆ asymetryczna, tranzytywna, azwrotna
NIEZALEŻNOŚĆ symetryczna, nontranzytywna, azwrotna
PODPRZECIWIEŃSTWO symetryczna, nontranzytywna, azwrotna
PRZECIWIEŃSTWO symetryczna, nontranzytywna, azwrotna
SPRZECZNOŚĆ asymetryczna, tranzytywna, azwrotna


Relacje szczególnego typu
Porządkująca – za jej pomocą da się wyznaczyć w ramach pewnego zbioru określony porządek. Musi być:
 Spójna
 Asymetryczna
 Przechodnia
Porządkuje ona określony zbiór w sposób pełny, tj. w sposób umożliwiający dokładne uszeregowanie elementów tego zbioru ze wskazaniem elementu poprzedzającego i następującego.
Relacja mocno porządkująca – wszystkie 3 cechy.
Przykład takiej relacji: ‘bycie osobą, która wcześniej stanęła w kolejce’ w zbiorze osób stojących w kolejce –
o jest relacją spójną, ponieważ dla każdej pary osób stojącej w kolejce jest możliwe stwierdzenie, która z nich stanęła wcześniej, a która później.
o Jest relacją asymetryczną – jeżeli osoba x stanęła wcześniej niż y, to y nie mogła stanąć wcześniej niż x.
o Jest tranzytywna – jeżeli osoba x stanęła w kolejce wcześniej niż y, a y wcześniej niż z, to x stanęła wcześniej niż z.
Relacja słabo porządkująca tylko asymetryczna i przechodnia.
Przykład: ‘bycie wyższym’ w zbiorze osób, gdzie znajdują się także osoby równe wzrostem.
Równościowa = równoważnościowa = ekwiwalencja. Jest:
 Zwrotna
 Symetryczna
 Przechodnia
Przykład: ‘bycie w tej samej sytuacji prawnej’ –
o Zwrotna – jeżeli osoba x jest w tej samej sytuacji prawnej co osoba y, to osoba x jest w tej samej sytuacji prawnej, w jakiej znajduje się sama.
o Symetryczna – jeżeli osoba x jest w tej samej sytuacji prawnej co osoba y, to osoba y jest w tej samej sytuacji prawnej co x.
o Tranzytowa – jeśli osoba x znajduje się w tej samej sytuacji prawnej co y, a y co z, to x znajduje się w tej samej sytuacji co z..
Identyczność = relacja tożsamości – rodzaj relacji równościowej – określone x jest identyczne z y, jeżeli każda własność przysługująca x przysługuje też y. np.: stolica Polski – Warszawa.
Relacje jako zbiory
Relacja jest własnością wszystkich par tego zbioru, pomiędzy którymi da się określić jej zachodzenie – zbiór par uporządkowanych. Np.: relacja mniejszości zachodząca między liczbami rzeczywistymi jest zbiorem, do którego należą wszystkie pary liczb rzeczywistych, mających jako pierwszy element liczbę mniejszą od tej, która jest jej drugim elementem.
Desygnatami relacji są mniej lub bardziej liczne zbiory uporządkowanych par elementów, pomiędzy którymi relacje te zachodzą.
o Relacja pusta – relacja nie zachodzi między żadną parą przedmiotów określonego zbioru. Np.: w zbiorze mężczyzn ‘bycie matką’ – relacja nie zachodzi pomiędzy żadną parą tego zbioru.
o Relacja pełna – relacja zachodzi pomiędzy każdą parą elementów uporządkowaną tego zbioru. Np.:’bycie równym wobec siebie’ w zbiorze wszystkich tych, którzy stykają się z polskim prawem.
Liczność relacji jest równa liczbie par.

Stosunki pomiędzy relacjami:
 Równoważności = zamienności zakresowej zbiorów – pomiędzy relacją R i S – każda para spełniająca relację R spełnia relację S i odwrotnie. Np.: relacja równoboczności i równokątności trójkątów.
 Podrzędność – relacja R zawiera się w relacji S = każda para spełniająca relację R spełnia relację S. np.: stosunek braterstwa jest zawarty w stosunku pokrewieństwa – dwie osoby będące braćmi są spokrewnione.
 Nadrzędność - relacja S zawiera się w relacji R. np.: stosunek pokrewieństwa S jest nadrzędnym w stosunku do braterstwa.
 Krzyżowanie się
 Niezależność – relacje ‘bycie krewnym’ i ‘bycie spadkobiercą’ – pewna osoba x może być krewnym y i jednocześnie jego spadkobiercą, ale może być jedynie krewnym, a nie spadkobiercą.
 Podprzeciwieństwo – relacje ‘bycie krewnym’ i ‘bycie nie-ojcem’ – x nie jest krewnym y to x jest nie-ojcem y oraz są takie pary, gdzie x jest krewnym y, a nie jest ojcem y. Te pary stanowią część wspólną krzyżujących się zbiorów par.
 Wykluczanie się
 Sprzeczności – pomiędzy dowolnymi x i y zajść może tylko jedna relacja R lub S. np.: ‘bycie wspólnikiem’ i ‘nie-bycie wspólnikiem’.
 Przeciwieństwa – pomiędzy dowolnymi x i y zachodzi albo relacja S albo R, a w niektórych x i y może nie zachodzić żadna z tych relacji. Np.: ‘bycie starszym’ i ‘bycie młodszym’ – między x i y może nie zachodzić żadna relacja bo osoby mogą być równe wiekiem.


Działania na relacjach:
 R = R1 R2 /\\\\x,y(xRy xR1y xR2y) = Suma relacji – zachodzi, gdy zachodzi jedna xR1y lub druga xR2y relacja. Np.: relacja ‘x jest użytkownikiem nieruchomości y-eka’ i relacja ‘x jest dzierżawcą nieruchomości y-eka’ – sumą tego jest ‘x jest użytkownikiem lub dzierżawcą nieruchomości y-eka’.
 R = R1 R2 /\\\\x,y(xRy xR1y xR2y) = iloczyn relacji – jest koniunkcją relacji xR1y i xR2y. np.: relacja ‘x jest młodszą siostrą y’ jest iloczynem ‘x jest młodszy od y’ i ‘x jest siostrą y’.
 R = R1 R2 /\\\\x,y(xRy \\\\/z(xR1z zR2y)) = iloczyn względny relacji – zachodzi, o ile istnieje taki przedmiot z, do którego x pozostaje w relacji R1, i który pozostaję w relacji R2 do y. np.: relacja ‘bycia teściowa’, która jest iloczynem względnym relacji ‘bycia matką’ i ‘bycia mężem lub żoną’ – x pozostaje w relacji bycia teściową względem y, jedynie, gdy istnieje z, dla którego x jest matką i z jest jednocześnie mężem lub żoną.
 R = (R1)2 /\\\\x,y(xRy \\\\/z(xR1z zR1y)) = potęgowanie relacji – relacja zachodzi dwukrotnie pomiędzy trzema elementami, przy czym jeden element jest wspólnym jako następnik w pierwszej relacji i poprzednik w drugiej. Np.: ‘bycie dziadkiem po mieczu’ jest potęgą relacji: ‘bycia ojcem’ – relacja R1 zachodzi dwukrotnie: pomiędzy x a jego synem y i po raz drugi pomiędzy z a jego dzieckiem, to pomiędzy x a y zachodzi relacja ‘bycia dziadkiem po mieczu’.
Podział logiczny
y [x]R yRx = Klasa abstrakcji – podzbiory w określonym zbiorze – zbiór wszystkich przedmiotów y, które do x pozostają w relacji R.
zasada abstrakcji – zbiór klasy abstrakcji relacji równościowej R jest podziałem pola relacji R. np.: ‘bycie studentem tego samego roku’ w zbiorze studentów stanowiących pole relacji – wyodrębnia się klasy abstrakcji będące zbiorami studentów poszczególnych lat studiów.
Całość dzielona = totum divisionis – zakres nazwy, który jest poddany podziałowi (student). Zakres nazwy N dzielimy na zakresy nazw A,B,C,… - desygnat nazwy N jest desygnatem jednej tylko z nazw A,B,C,….
Człon podziału = membran divisionis – wyróżniane w podziale zakresy nazw podrzędnych (student I roku, II roku,…).
Podział o charakterze logicznym – charakter dystrybutywny - musi spełniać warunki formalne:
 zupełność podziału = adekwatność – każdy desygnat nazwy dzielonej musi należeć do zakresu któregoś z wyodrębnionych członów podziału.
 rozłączność podziału – żaden z desygnatów dzielonego pojęcia nie może być desygnatem więcej niż jednego z członów podziału – człony podziału wykluczają się nawzajem.
 zachowanie jednej podstawy podziału = fundamentum divisionis.
 warunki treściowe - powodują to, że podział jest użyteczny ze względy na cel, dla którego został dokonany. Np. podział książek w bibliotece według ich formatu w związku z przeprowadzką.
Podział o charakterze typologicznym – wyróżniamy podzbiory wyodrębnione na skutek jego zastosowania zwane typami. Obiekt dobieramy do najbardziej zbliżonego typu. Np.: podział budowli na renesansowe, romańskie, barokowe i klasycystyczne – katedra Notce Dame – porównać trzeba jej wygląd z wyodrębnionymi modelami i najbardziej zbliżony wybrać.
Partycja – podział o charakterze kolektywnym, tj, zbioru w sensie agregatu – wyróżnianie pewnych części przedmiotu. Zbiór kolektywny to zbiór w rozumieniu mereologicznym, charakteryzuje się tym, iż jest całością złożoną z pewnych przedmiotów traktowanych jako część tej całości. Np.: Polska – podział administracyjny – Polskę dzielimy na województwa i gminy – gmina jest częścią województwa i Polski, lecz ani gmina, ani województwo nie jest Polską.
Stratyfikacja – polega na przykład na określeniu kształtu, ciężaru lub barwy przedmiotu.
Podział niezupełny = nieadekwatny – np.: podział wszystkich ludzi ze względu na wykształcenie: podstawowe, średnie, wyższe, itp. – nie uwzględnia ludzi bez wykształcenia.
Podział podziałów:
1. naturalny – w poszczególnych członach znajdują się obiekty do siebie bardziej podobne niż obiekty należące do innych członów. Np.: podział ludzi ze względu na wiek, płeć, wykonywany zawód.
2. sztuczny – w poszczególnych członach znajdują się obiekty do siebie mniej podobne niż obiekty należące do innych członów – w ramach jednego członu znajdują się przedmioty pod wieloma względami niepodobne do siebie. Np.: podział ludzi według pierwszej litery nazwiska.
Rodzaje podziałów:
 wg zasady dyskrepancyjnej = dwuczłonowy = dychotomiczny – według cech kontradyktorycznych – w obrębie zakresu dzielonego wyodrębnia się klasę przedmiotów posiadających pewną cechę i klasę przedmiotów, które tej cechy nie posiadają. Np.: podział ludzi na obywateli RP i nie-obywateli RP.
 Wg zasady specyfikacyjnej – według różnych odmian = determinanty określonej cechy = determinanta. Np.: podział pracowników naukowych ze względu na ich stopień naukowy – posiadanie określonego stopnia to determinanta, a bycie doktorem lub doktorem habilitowanym to determinanty.
Zbiory współrzędne – ze względu na zasadę – człony podziały przeprowadzonego według pewnej zasady.
Przeprowadzenie podziału jest poprawne, gdy:
 Są uwzględnione wszystkie odmiany cechy stanowiącej podstawę podziału
 Cecha będąca podstawą podziału przysługiwać musi wszystkim desygnatom pojęcia dzielonego
 Żaden przedmiot leżący w zakresie pojęcia dzielonego nie może posiadać dwóch odmian cech będących zasadą podziału

Klasyfikacja – wielostopniowy podział logiczny. Np.: system wyszukiwania informacji wspólnot Europejskich CELEX – podziały na sektory, które podlegają dalszemu podziałowi.
KONIUNKCJA symetryczna, tranzytywna, nonzwrotna
BINEGACJA symetryczna, tranzytywna, nonzwrotna
DYSJUNKCJA symetryczna, nontranzytywna, nonzwrotna
ALTERNATYWA ZWYKŁA symetryczna, nontranzytywna, nonzwrotna
ALTERNATYWA ROZŁĄCZNA symetryczna, atranzytywna, azwrotna
RÓWNOWAŻNOŚĆ symetryczna, tranzytywna, zwrotna
IMPLIKACJA nonsymetryczna, tranzytywna, zwrotna


RACHUNEK ZDAŃ
Funktory nieprawdziwościowe i prawdziwościowe
NIEPRAWDZIWOŚCIOWE – nie wyznaczają w jednoznaczny sposób wartości logicznej zdania złożonego: ‘konieczne jest, że’; ‘z tego, że …należy sądzić, że’; ‘możliwe jest, że’; ‘wiedział, że’. Przykłady:
 Paryż jest stolicą Francji – zdanie prawdziwe. Jeżeli dodamy do tego zdania ‘koniecznym jest, że’  koniecznym jest, że Paryż jest stolicą Francji – fałszywe.
 Arystoteles wiedział, że gruźlica jest wywoływana przez prątek gruźlicy – fałszywe, bo dopiero odkrył to Robert Koch w 1882 roku.
 Z tego, że w zeszłym roku obrodziły jabłka, wynika, że grudzień w zeszłym roku był mroźny – fałszywe, bo jedno nie ma związku z drugim.
PRAWDZIWOŚCIOWE – wartość logiczna jest jednoznacznie wyznaczona przez wartość logiczną zdań prostych, z których złożone jest zdanie, takie zdania nazywamy argumentami funktora. Zwroty: ‘lub’, ‘albo… albo’, ‘bądź… bądź’, ‘i’, ‘jeżeli… to’. Wyróżniamy ze względu na argumenty funktory:
 JEDNOARGUMENTOWE
o Asercja = afirmacja – funktor potwierdzający prawdziwość. Zwroty: ‘prawdą jest, że’; ‘zaiste’; ‘naprawdę’ – dołączenie tego funktora do zdania nie powoduje zmiany jego wartości logicznej.
-p p

1 1
0 0
o Negacja – użycie powoduje zmianę wartości logicznej. Przekształcenia zdania na negację możemy dokonać jedynie, gdy wypowiedzi są równoznaczne. Przykład: ‘oni wszyscy nie są uczciwi’ ’nieprawdą jest, że oni są uczciwi’ – nie są równoznaczne, bo w pierwszym zdaniu jest mowa o wszystkich osobach, a w drugim o pewnej grupie w grupie osób. Zwroty: ‘nieprawda, że’; ‘nie jest tak, że’.
p ~p
1 0
0 1
 Sprzeczne – jedno zdanie stwierdza pewien stan rzeczy, a drugie mówi, że tak nie jest. Przykład: ‘Jan jest w domu’ – ‘Nieprawdą jest, że Jan jest w domu’.
 Przeciwne – zdania niezgodne co do treści. Przykład: ‘Jan jest w domu’ – ‘Jan jest na uniwersytecie’.
 DWUARGUMENTOWE
o Koniunkcja – związek współprawdziwości dwóch zdań. Jest prawdziwa tylko wtedy, gdy oba zdania łączące są prawdziwe. Zwroty: ‘i’; ‘oraz’; ‘a chociaż’; ‘lecz’; ‘pomimo, że’; ‘a także’; ‘lecz także’; ‘jak również’; ‘,’.
p q p q

1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
o Alternatywa – zwroty: ‘lub’; ‘albo’; ‘bądź’; ‘względnie’; ‘albo… albo’; ‘bądź… bądź’; ‘może… może…’. Rodzaje funktora alternatywy na podstawie’lub’:
 Zwykły – związek niewspółfałszywości dwóch zdań  zdanie złożone jest fałszywe, tylko wtedy, gdy oba zdania proste są fałszywe. Czytamy ją jako ‘p lub q’.

p q p q

1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0

 Rozłączny = ekskluzja – związek niezgodności dwóch zdań pod względem prawdy i fałszu  jedno zdanie proste jest fałszywe, a drugie prawdziwe – wtedy zdanie złożone jest prawdziwe. Czytam jako ‘albo p, albo q’.
p q p q

1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 0

 Dysjunkcji – związek niewspółprawdziwości zdań  zdanie złożone jest zawsze prawdziwe, z wyjątkiem gdy oba zdania są prawdziwe. Dysjunkcja jest negacją koniunkcji. Czytana jest jako: ‘bądź p, bądź q’ albo ‘p bądź q’.

p q p/q
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 1
o Binegacja – związek współfałszywości dwóch zdań  jest prawdziwa tylko, gdy p i q są fałszywe. Czytana jako: ‘ani p, ani q’.

p q p q

1 1 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
o Implikacja – związek strukturalnoprawdziwościowy. Zwroty: ‘jeżeli… to…’; ‘skoro… to…’; ‘ponieważ’; ‘… wobec tego…’; ‘… zatem…’; ‘nie ma konkretnego zwrotu, ale ze zdania wynika’ – np. w razie niebezpieczeństwa udaję się na wzgórze. Czytany jest jako: ‘jeżeli p to q’.
p q pq
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
o Implikacja odwrotna = intensywna. Zwroty: ‘zawsze jeżeli, to’ i ‘tylko jeżeli, to’. Przedstawiamy jako ‘q  p’ lub ‘p  q’.
p q pq
1 1 1
1 0 1
0 1 0
0 0 1
o Równoważność – związek zgodności dwóch zdań pod względem prawdy i fałszu. Jest implikacją obustronną. p i q to człony równoważności. Czytana jako ‘zawsze wtedy i tylko wtedy, gdy p to q’.
p q p q

1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 WIELOARGUMENTOWE
o Koniunkcja – prawdziwa tylko wtedy, gdy wszystkie zdania proste prawdziwe
o Alternatywa zwykła – fałszywa tylko wtedy, gdy wszystkie człony fałszywe
o Dysjunkcja – fałszywa tylko wtedy, gdy wszystkie zdania proste prawdziwe.
o Alternatywa rozłączna – prawdziwa tylko wtedy gdy jedno ze zdań jest prawdziwe, a inne fałszywe.

Konkretyzacja funkcji – przekształcenie funkcji w zdanie poprzez dokonanie podstawienia w miejsce występujących w niej zmiennych konkretnych nazw lub zdań.
Skwantyfikowanie – polega na objęciu kwantyfikatorem każdej ze zmiennych występujących w schemacie, co powoduje przekształcenie tych funkcji w zdanie.
Funkcja zdaniowa – wyrażenie opisowe reprezentujące strukturę wypowiedzi same przez się nie mają wartości logicznej. Staje się zdaniem prawdziwym w zależności co podstawimy pod zmienne. Są to wyrażenia:
 ‘każde S jest P’ – Każdy adwokat jest prawnikiem, jeżeli pod P podstawimy pielęgniarka to zdanie będzie już fałszywe.
 ‘jeżeli p to q’ – Jeżeli Andrzej ukończył studia prawnicze, to dziekanat WPiA wydał mu dyplom – jeżeli pod p podstawimy Andrzej ukończył studia medyczne to zdanie będzie fałszywe.
Szczególnym przypadkiem tej funkcji jest funkcja logiczna – zbudowana jest jedynie ze stałych logicznych (funktory prawdziwościowe) i zmiennych (p, q, r , s,…). Dzielimy na:
o Tautologiczne – dla każdego podstawienia wartości zmiennych zawsze dają zdanie prawdziwe
o Kontrtautologiczne – fałsze logiczne – dla każdego podstawienia wartości zmiennych dają zawsze zdanie fałszywe
o Spełniane – przy niektórych wartościach logicznych ich argumentów stają się zdaniami prawdziwymi, a przy innych fałszywymi.
Przykład:
Jeżeli niezdolność opiekuna do sprawowania opieki jest warunkiem wystarczającym do tego, by władza opiekuńcza zwolniła opiekuna i jeżeli dopuszczenie się przez niego czynów naruszających dobro pozostającego pod opieką jest warunkiem wystarczającym do tego, by władza opiekuńcza zwolniła opiekuna, a opiekun jest niezdolny do sprawowania opieki lub dopuszcza się czynów naruszających dobro pozostającego pod opieką, to władza opiekuńcza zwalnia opiekuna  [(p  r) (q  r) (p q)]  r
Metody badania funkcji logicznych
Sprawdzenie czy funkcja logiczna jest tautologią czy nie. Rodzaje metod:
SPRAWDZAŃ ZERO-JEDYNKOWYCH
Działa poprzez podstawienie pod określone zmienne wartości p i q  0 i 1. Jeśli w każdym przypadku wychodzi wartość 1 to funkcja jest tautologią.
DOWODZENIE NIEWPROST
= skrócone badanie zer-jedynkowe – założenie, że badana funkcja nie jest tautologią. Każda funkcja ma zazwyczaj postać implikacji, która jest prawdziwa tylko wtedy kiedy poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy – na tej zasadzie bada się funkcję.
DOWODÓW ZAŁOŻENIOWYCH
Przyjmujemy określone schematy formalne bez dowodu, uznając, że są niezawodne = schematy pierwotne, dowodząc innych schematów formalnych = wtórnych. Zdania stwierdzające ich niezawodność – reguły pierwotne:
o RO – reguła odrywania  prawo sylogizmu konstrukcyjnego = modus Popendo ponens – z prawdziwości implikacji i prawdziwości jej poprzednika wynika prawdziwość następnika.
p  q
p
-------- można to zapisać w inny sposób [(p  q) p]  q
q
o DK – reguła dołączania koniunkcji – z dwóch prawdziwych wyrażeń zdaniowych wynika prawdziwość ich koniunkcji.
p
q
-------
p q
o OK – reguła opuszczania koniunkcji – z prawdziwości koniunkcji wynika prawdziwość każdego z jej czynników
p q p q
------- --------
p q
o DA – reguła dołączania alternatywy – z prawdziwości jednego ze składników alternatywy wynika prawdziwość alternatywy.
p q
------- --------
p q p q
o OA – reguła opuszczania alternatywy = prawo sylogizmu alternatywnego = modus tollendo ponens – z prawdziwości alternatywy i negacji jednego z jej składników wynika prawdziwość drugiego
p q p q
~p ~q
-------- ---------
q p
o DE – reguła dołączania równoważności – z implikacji i implikacji względem niej odwrotnej wynika równoważność
p  q
q  p
--------
p q
o OE – reguła opuszczania równoważności – z równoważności wynika implikacja oraz implikacja odwrotna
p q p q
------- -------
p  q q  p
DOWODZENIA NA GRUNCIE RACHUNKÓW AKSJOMATYCZNYCH
System dedukcyjnego = aksjomatycznego rachunku zdań powstaje w kilku fazach. Obiera się pewne spójniki jako terminy pierwotne. Wszystkie spójniki mogą być definiowane za pomocą innych spójników. Dla celów budowy rachunków aksjomatycznych wykorzystuje się zazwyczaj dwa spójniki prawdziwościowe: ‘-‘, ‘ ’, albo ‘~’, ‘ ’ albo ‘~’, ‘’. Możliwe jest stworzenie rachunku aksjomatycznego opartego na jednym spójniku – dysjunkcji albo binegacji.
Aksjomaty – twierdzenia naczelne systemu. Przyjmowane są bez dowodu jako tautologie. Za pomocą tej metody z aksjomatów formułuje się nowe tezy będące twierdzeniami wtórnymi systemu.
W trakcie budowy systemu wprowadza się do niego nowe spójniki za pomocą definicji., która wygląda w ten sposób, iż z jednej strony znaku równości definicyjnej znajduje się zapis zawierający definiowany spójnik, a z drugiej zapis, w którym występują jedynie te spośród spójników, które są terminami pierwotnymi albo też zostały uprzednio wprowadzone przez inne definicje.

Schemat Whiteheada-Russela oparty na 5 aksjomatach:
Omawiany system został oparty na negacji i alternatywie jako terminach pierwotnych. Do systemu został wprowadzony znak równości definicyjnej. Przed podaniem aksjomatów została wprowadzona definicja.
Df. (p  q) = (~p q)
A1. (p p)  p
A2. q  (p  q)
A3. (p q)  (q p)
A4. p (q r)  q (p r)
A5. (q  r)  [(p q)  (p r)]
Dla przejrzystości systemu definiuje się koniunkcję i równoważność:
Df. (p q) = ~(~p ~q)
Df. (p q) = (p  q) (q  p)

Cechy systemu aksjomatycznego:
o Musi być zupełny – z przyjętych w tym systemie aksjomatów musi dać się wywieść każdą tautologię.
o Musi być niesprzeczny – układ aksjomatów musi być taki, aby nie dało się z nich wyprowadzić twierdzeń sprzecznych.
o W systemie musi występować jak najmniejsza liczba terminów pierwotnych i liczba aksjomatów.
Każda funkcja zdaniowa może być przekształcana przy pomocy wykorzystaniu dopuszczalnych reguł inferencyjnych:
 Podstawianie – w miejsce pewnych zmiennych w danym wzorze umieszczamy wybrane dowolne funkcje lub zmienne.
 Zastępowanie – zamiast określonej funkcji będącej częścią przekształcanego wyrażenia, wstawiamy inną funkcję, która jest równoważna logicznie funkcji zastępowanej. Np.: (p q) można zastąpić: (~p  q).
 Odrywania – w określonej funkcji należącej do systemu aksjomatycznego, a mającej postać implikacji lub równoważności, opuszczamy poprzednik, o ile przyjęliśmy go już uprzednio do systemu.
Dowodzenie – metoda badania właściwości funkcji logicznej na gruncie aksjomatycznego rachunku zdań.


Prawa logiczne
Transpozycja – zdanie warunkowe, które powstaje z niego poprzez przestawienie poprzednika z następnika i zanegowanie obu.
Sylogizm – wypowiedź w postaci okresu warunkowego mającą w poprzedniku koniunkcję dwóch lub większej liczby funkcji lub zmiennych, w których powtarza się jedna lub więcej zmiennych, następnik jest zaś funkcją, w której występują tylko te zmienne, które nie powtarzają się w poprzedniku.
Dylematy – schematy wnioskowań, w których obok dwóch zdań warunkowych występuje jako trzecia przesłanka zdanie alternatywne.
Trylematy – prawa logiczne, w których obok trzech zdań warunkowych występuje jako czwarta przesłanka zdanie alternatywne trójczłonowe.
Funkcje, które przyjmują wartość prawdy dla każdego podstawienia  Tautologie:
1. zasada tożsamości = principium identitalis
(p  p)
2. zasada niesprzeczności = principium non contradictionis – to samo zdanie nie może być zarazem prawdziwe i fałszywe.
~(p ~p)
3. zasada wyłączonego środka = principium tertio exclusi – jedno i to samo zdanie musi być prawdziwe albo fałszywe
(p ~p)
1, 2 i 3 to podstawowe zasady myślenia Arystotelesa. Zalicza się do nich też:
o dictum de omni – cokolwiek ma walor w zastosowaniu do każdego, ma również walor w zastosowaniu do niektórych i do poszczególnych
o dictum de nullo – cokolwiek nie ma waloru w zastosowaniu do żadnego, nie ma również waloru w zastosowaniu do niektórych czy do poszczególnych.
o Zasada racji dostatecznej – nie należy uznawać za prawdziwe żadnego zdania, które nie jest uzasadnione, tzn. bez istnienia racji dostatecznej, że jest tak, a nie inaczej.
4. zasada podwójnego przeczenia = binegacji – zawsze, jeżeli nieprawdą jest, że p jest fałszywe, to jest ono prawdziwe.
~(~p) p
5. prawo redukcji do absurdu – jeżeli z p wynika ~p, to nieprawda, że p – jeżeli z jakiegoś zdania wynika zaprzeczenia tego zdania, to uznajmey, że zdanie to jest fałszywe.
(p ~p)  ~p
6. sylogizm konstrukcyjny = modus ponendo ponens – wnioskowanie z prawdziwości pewnego wyrażenia o prawdziwości innego – o ile prawdziwa ma być implikacja i prawdziwy jest poprzednik p, to prawdziwy także musi być następnik q.
[(p  q) p]  q
7. sylogizm destrukcyjny = modus tollendo tollens – wnioskowanie z fałszywości pewnego wyrażenia o fałszywości innego – jeżeli prawdziwa ma być implikacja, to jeżeli jej następnik q jest fałszywy, to fałszywy musi być poprzednik p.
[(p  q) ~q]  ~p
8. sylogizm alternatywny = modus tollendo ponens – wnioskowanie z fałszywości pewnego wyrażenia o prawdziwości innego – jeżeli prawdziwa ma być alternatywa zwykła i jeden z jej składników jest fałszywy, to drugi musi być prawdziwy.
[(p q) ~p]  q
[(p q) ~q]  p – Jeżeli umowa zawarta została w formie ustnej lub pisemnej, to jeżeli nie była zawarta w formie pisemnej, to była zawarta w formie ustnej.
9. sylogizm dysjunkcyjny = modus ponendo tollens – z prawdziwości pewnego wyrażenia wnioskujemy o fałszywości innego – jeżeli prawdziwa ma być dysjunkcja i jeden z jej składników jest prawdziwy, to drugi musi być fałszywy.
[(p / q) p]  ~q
[(p / q) q]  ~p – Jeżeli prawnik jest bądź sędzią, bądź notariuszem, to jeżeli jest notariuszem, to nie jest sędzią.
10. sylogizm alternatywno-rozłączny – o ile prawdziwa ma być alternatywa rozłączna i jeden ze składników alternatywy jest a,b-prawdziwy/c,d-fałszywy, to drugi musi być a,b-fałszywy/c,d-prawdziwy.
a) [(p q) p]  ~q
b) [(p q) q]  ~p
c) [(p q) ~p]  q
d) [(p q) ~q]  p – Jeżeli oskarżonego skazano na karę grzywny albo na karę ograniczenia wolności i nie skazano go na karę ograniczenia wolności, to oznacza, że skazano go na karę grzywny.
11. sylogizm równoważnościowy – o ile prawdziwa ma być równoważność i jeden z jej członów jest a,b-prawdziwy/c,d-fałszywy, to i drugi ma taką samą wartość logiczną.
a) [(p q) p]  q
b) [(p q) q]  p
c) [(p q) ~p]  ~q
d) [(p q) ~q]  ~p
12. prawo transpozycji prostej – zdanie warunkowe jeżeli p to q przekształcone jest tu na inne zdanie warunkowe, w którym q i p są zanegowane i zmieniona jest ich kolejność.
(p  q)  (~q  ~p) – jeżeli ktoś jest zabójcą, to jest przestępcą, to jeżeli nie jest przestępcą, to nie jest zabójcą.
13. I prawo de Morgana – negacja koniunkcji jest równoważona alternatywie jej zanegowanych składników – pierwsze, albo drugie zdanie jest fałszywe, albo oba.
~(p q)  (~p ~q)
14. II prawo de Morgana – negacja alternatywy jest równoważna koniunkcji jej zanegowanych składników.
~(p q)  (~p ~q) – jeżeli nieprawdą jest, że ktoś jest prawnikiem lub lekarzem, to nieprawdą jest, że jest prawnikiem i nieprawdą jest, że jest lekarzem.
15. charakterystyka prawdy = prawo symplifikacji – o ile następnik implikacji jest prawdziwy, to cała implikacja jest prawdziwa, niezależnie od tego jaką wartość przyjmie poprzednik.
q  (p  q)
16. charakterystyka fałszu – jeżeli poprzednik implikacji jest fałszywy, to implikacja jest zawsze prawdziwa, niezależnie od wartości, jakie przyjmie następnik.
~p  (p  q)
17. prawo Dunsa Szkota – koniunkcja dwóch zdań sprzecznych implikuje wszelkie zdanie o dowolnej treści.
(p ~p)  q
18. prawo negowania implikacji – jeżeli nieprawda, że p to q, czyli jeżeli nieprawda, że p implikuje q, to oznacza, że q implikuje p.
~(p  q)  (q  p) – jeżeli nie jest prawdą, że jeżeli Jan został skazany prawomocnym wyrokiem, to Jan złożył apelację.
19. prawo sylogizmu hipotetycznego koniunkcyjnego – zdanie warunkowe posiadające w poprzedniku koniunkcję dwóch implikacji, w których tylko jedna zmienna q jest wspólna, zmiennej tej jest brak w następniku, w którym występują zmienne nie powtarzające się w poprzedniku.
[( p  q) (q  r)]  (p  r) – jeżeli ktoś był winny popełnienia przestępstwa, to stanął przed sądem, i jeśli ktoś stanął przed sądem, to została mu wymierzona kara, stąd jeśli ktoś był winny popełnienia przestępstwa, to została mu wymierzona kara.
20. prawo sylogizmu hipotetycznego bezkoniunkcyjnego – funktorem głównym jest implikacja a nie koniunkcja.
(p  q)  [(q  r)  (p  r)]
21. prawo transpozycji złożonej
a) [(p q)  r]  [(p ~r)  ~q] – jeżeli ktoś kradnie i stosuje przemoc, to dopuszcza się rozboju, to jeżeli kradnie i nie dopuszcza się rozboju, to nie stosuje przemocy.
b) [(p q)  r]  [(~r q)  ~p] – jeżeli ktoś kradnie i stosuje przemoc, to dopuszcza się rozboju, to jeżeli nie popełnia rozboju i stosuje przemoc, to nie kradnie.
22. prawo impostacji i eksportacji
[(p q)  r] [p  (q  r)]
a) [(p q)  r] [p  (q  r)] – prawo eksportacji
b)[p  (q  r)] [(p q)  r] – prawo impostacji
23. prawo dylematu konstrukcyjnego prostego
[(p  r) (q  r) (p q)]  r
24. prawo dylematu destrukcyjnego prostego
[(r  p) (r  q) (~p ~q)]  ~r – jeżeli projekt ustawy przeszedł (r), to głosowała za nim prawica (p) i jeżeli projekt ustawy przeszedł (r), to głosowało za nim centrum (q), więc jeżeli nie głosowała za nim prawica (~p) lub nie głosowało za nim centrum (~q), to projekt ustawy nie przeszedł (~r).
25. prawo mnożenia implikacji
[(p  q) (r  s)]  [(p r)  (q s)] – jeżeli jest bardzo zimno, to zakłada się palto i jeżeli jest silne słońce, to zakłada się okulary słoneczne, to jeżeli jest bardzo zimno i jest silne słońce, to zakłada się palto i zakłada się okulary słoneczne.
26. prawo dodawania implikacji
[(p  q) (r  s)]  [(p r)  (q s)] – jeśli prawdą jest, że jeżeli są zaspy śnieżne, to pociągi nie kursują i jeżeli jest gęsta mgła, to lotniska są zamknięte, to jeżeli są zaspy śnieżne lub gęsta mgła, to pociągi nie kursują lub lotniska są zamknięte.
27. prawo dylematu konstrukcyjnego złożonego
[(p  q) (r  s) (p r)]  (q s)
28. prawo dylematu destrukcyjnego złożonego
[(p  q) (r  s) (~q ~s)]  (~p ~r)
29. prawo trylematu - oparte o dylematu konstrukcyjnego prostego
[(p  r) (q  r) (s  r) (p q s)]  r



ELEMENTY RACHUNKU PREDYKATÓW
Rachunek kwantyfikatorów = rachunek predykatów – zajmuje się wnioskowaniami odwołującymi się do wewnętrznej budowy zdań.
Deskrypcja – nazwa złożona z co najmniej dwu słów. Niektóre z nazw generalnych, posiadające tylko jeden desygnat. Jest zbudowana z jednej lub wielu jednostkowych nazw indywidualnych, np. pierwszy prezydent RP oraz wyrażenie, które w połączeniu z tą albo tymi nazwami daje nam nazwę jednostkową. Wyrażenie to jest deskrypcyjnym funktorem nazwotwórczym, którego argumentem lub argumentami jest nazwa indywidualna. Np. mąż Magdy – argumentem i terminem jednostkowym indywidualnym jest ‘Magda’, a ‘mąż’ zaś jest deskrypcyjnym funktorem jednoargumentowym. Argumentami deskrypcyjnego funktora nazwotwórczego są nazwy indywidualne, a nazwy generalne są częścią składową deskrypcyjnego funktora nazwotwórczego, np. granica między RP i Litwą – ‘RP’ i ‘Litwa’ to argumenty i terminy jednostkowe, a ‘granica między… i ….’ Jest deskrypcyjnym funktorem nazwotwórczym opartym na dwu argumentach – nazwach jednostkowych.
Term – łącznie nazwa indywidualna i deskrypcja – zbiór nazw jednostkowych i zakres nazwy ‘term’ jest równy sumie zakresów nazwy ‘jednostkowa nazwa indywidualna’ i ‘deskrypcja’.
Predykat – wyrażenie, które w połączeniu z jednym lub więcej termów tworzy zdanie w sensie logicznym.
 Jednoargumentowy – tworzy zdanie z jednym termem, np. Piotr uczy się – ‘piotr’ jest termem i argumentem predykatu, a ‘uczy się’ jest predykatem jednoargumentowym.
 Dwuargumentowy – z dwoma termami, np. Jan jest wyższy od Pawła – Jan i Paweł są argumentami i termami, a ‘jest wyższy od’ jest predykatem dwuargumentowym.
 Trzyargumentowy – z trzema termami, np. 10 podzielne przez 5 jest równe 2 – 10, 5 i 2 są nazwami jednostkowymi indywidualnymi, a ‘podzielne przez… jest równe…’ jest predykatorem trzyargumentowym.
 n-argumentowy
KWANTYFIKATORY
 ogólny = duży = wielki = generalny –‘/\\\\’, ‘dla każdego’, ‘dla wszystkich’.
 Szczegółowy = mały = egzystencjalny - \\\\/, ‘istnieje’, ‘dla pewnego’, ‘dla niektórych’.
Zmienna kwantyfikatora – odnosi się do niej kwantyfikator. Umieszczona za znakiem kwantyfikatora, np. \\\\/x.
Zasięg kwantyfikatora – po zminnej umieszczany, jest to wyrażenie, do którego odnosi się ten kwantyfikator, np. ( ).
Zmienna związana – występuje w wyrażeniu kwantyfikatora., np. /\\\\x (jeżeli x jest adwokatem, to x jest prawnikiem.
RACHUNEK PREDYKATÓW PIERWSZEGO STOPNIA
Odnoszą się do zmiennych, za które wolno podstawiać termy. Symbole tego rachunku:
 Funktory prawdziwościowe: negacji, koniunkcji, alternatywy, implikacji, równoważności.
 Kwantyfikator ogólny i szczegółowy
 Stałe jednostkowe, będące termami, oznaczane dalej małymi literami pisanymi ‘prosto’: a, b, c, …
 Zmienne indywiduowe, za które można podstawiać termy, oznaczane: x, y, z, t, …
 Predykaty n-argumentowe, gdzie n = 1, 2, 3, …oznaczane dalej odpowiednio:
 P1 - jednoargumentowy
 P2 - dwuargumentowy
 P3 - trzyargumentowy
 Pn – n-argumentowy
Wyrażenie rachunku predykatów - P2 (a,b)
Sensowne wyrażenie rachunku predykatów – spełnia warunki:
 Zbudowane z n-elementowego symbolu predykatowego i następującego po tym symbolu, ujętego w nawiasy, n-elementowego ciągu zmiennych indywiduowych, np. P2 (a,b) ale nie P2 (a,b,c).
 Zbudowane z funktorów prawdziwościowych, których argumentami są sensowne wyrażenia rachunku predykatów. Jeżeli A i B są sensowne to, np. ~A jest tez sensowne.
 Jeżeli A jest sensownym wyrażeniem, x jest występującą zmienną indywiduową, to sensownymi wyrażeniami są: /\\\\x(A).
Formuła zdaniowa atomowa – wyrażenie zbudowane z n-elementowego predykatu i następujących po nim n zmiennych indywiduowych lub termów. Zalicza się do niej także pojedynczą zmienną zdaniową, którą w wyrażeniach złożonych można łączyć za pomocą funktorów prawdziwościowych z wyrażeniami zbudowanymi z predykatów i ich argumentów.
Formuła zdaniowa – formuła atomowa, jak też każde wyrażenie zbudowane z formuł zdaniowych atomowych, innych formuł zdaniowych oraz funktorów prawdziwościowych lub kwantyfikatorów. Jeżeli A i B SA formułami zdaniowymi, to formułą zdaniową jest negacja tych formuł, alternatywa, koniunkcja, równoważność, implikacja oraz inne wyrażenia zbudowane za pomocą pozostałych funktorów prawdziwościowych. Formułami zdaniowymi są: \\\\/xA, /\\\\xA.
Zdanie – formuła zdaniowa, w której występują wyłącznie termy lub poprzedzone kwantyfikatorami zmienne indywiduowe.
Tautologia rachunku predykatów – formuła zdaniowa rachunku predykatów, która jest zawsze prawdziwa.
Wyrażenia języka naturalnego
‘Adwokat jest prawnikiem’
W wypowiedzi tej jest predykat jednoargumentowy ‘jest prawnikiem’. Argumentem tego predykatu jest ‘adwokat’, który jest skrótem wyrażenia rozwiniętego: jeżeli x jest adwokatem, gdzie x jest zmienną indywiduową.. pełna wypowiedx to: ‘jeżeli x jest adwokatem, to x jest prawnikiem’ – predykat jednoargumentowy ‘jest adwokatem’ oznaczmy A1 , a ‘jest prawnikiem’ B1, a x jest zmienną indywiduową: A1 (x)  B1 (x).

PRAWA RACHUNKU PREDYKATÓW
1) /\\\\x{[A(x)]  PREDYKATÓW(x’)} = dictum de omni = przepowiadanie ze wszystkiego - jeżeli x jest termem, który może być podstawiony za zmienną indywiduową x  jeżeli każdy Przedmiot ma własność wyrażaną przez predykat A, to również przedmiot oznaczony przez term x’ ma własność wyrażaną przez A. np. z tego, że każdy sędzia (x) ukończył studia prawnicze można sądzić, że Paweł, który jest sędzią (x’), ukończył studia prawnicze.
2) A(x’)  \\\\/xA(x) = dictum de singulo = przepowiadanie za pojedynczego – jeżeli x’, który jest termem, moze być podstawiony za zmienną indyiduową x – stawierdza ona, że jeżeli przedmiot x’ ma własność wyrażoną przez predykat A, to istnieje taki przedmiot, który ma własność A. np. jeśli o Adamie (x’) wiemy, że jest absolwentem sinologii UW, to możemy powiedzieć, że istnieje co najmniej jeden absolwent sinologii UW.
3) /\\\\xA(x)  \\\\/xA(x) = prawo zastepowania kwantyfikatora ogólnego przez kwantyfikator szczegółowy – jeżeli formuła A(x) jest prawdziwa dla każdego x, to formuła ta jest prawdziwa dla niektórych x. np. jeżeli każdy absolwent prawa zdał egzamin magisterski, to niektórzy absolwenci prawa zdali egzamin magisterski.
4) /\\\\x/\\\\yA2(x,y) /\\\\y/\\\\x A2(x,y) = prawo podstawiania kwantyfikatorów ogólnych – przestawienie kolejności kwantyfikatorów ogólnych umieszczonych przed ich zasięgiem nie zmienia znaczenia i wartości logicznej całego wyrażenia, np. równoznaczne są: każdy pracodawca i każdy pracownik jest stroną umowy o pracę oraz każdy pracownik i każdy pracodawca jest stroną umowy o pracę.
5) \\\\/x\\\\/y A2(x,y) \\\\/y\\\\/x A2(x,y) – prawo przestawiania kwantyfiaktorów szczegółowych – przestawienie kolejności kwantyfikatorów szczegółowych poprzedzających wyrażenie będące zasięgiem tych kwantyfikatorów nie zmienia znaczenia i wartości logicznej całego wyrażenia. Np. równoznaczne SA: niektóre banki i niektórzy ubezpieczyciela udzielają gwarancji celnych oraz niektórzy ubezpieczyciela i niektóre banki udzielają gwarancji celnych.
6) \\\\/x/\\\\y A2(x,y)  /\\\\y\\\\/x A2(x,y) = prawo przestawiania kwantyfikatora szczegółowego z kwantyfikatorem ogólnym – jesli istnieje takie x, że dla każdego y jest A2(x,y), to dla każdego y istnieje takie x, że A2(x,y). np. jeżeli istnieje taki człowiek (x), który przeczytał wszystkie ogłoszenia z gazety (y), to o każdym z ogłoszeń (y) może stwierdzić, że istnieje człowiek, który to ogłoszenie przeczytał (x).
7) ~[/\\\\xA(x)] \\\\/x~[A(x)] = II prawo de Morgana = negowanie kwantyfikatora ogólnego – nie jest tak, że dla każdego x jest A(x) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie x, dla którego nie jest A(x). np. nie jest tak, że wszyscy studenci palą papierosy wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki student, który nie pali papierosów.
8) ~[\\\\/xA(x)] [/\\\\x~A(x)] = II prawo de Morgana = negowanie kwantyfikatora szczegółowego – nie istnieje takie x, dla którego jest A(x) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x nie jest A(x). np. nie istnieje osoba, która z przyjemnością płaci podatek od lokat bankowych wtedy i tylko wtedy, gdy każda osoba nie płaci z przyjemnością podatku od lokat bankowych.
9) /\\\\xA(x) ~[\\\\/x~A(x)] = II prawo zastępowania ogólnego kwantyfikatora przez szczegółowy - kwantyfikator ogólny można zastąpić szczegółowym w połaczeniu z dwoma znakami negacji
10) \\\\/xA(x) ~[/\\\\x~A(x)] = prawo zastepowania szczegółowego kwantyfikatora przez ogólny – kwantyfikator szczegółowy można zastąpić ogólnym w połączeniu z dwoma znakami negacji.
11) /\\\\x[A(x)  B(x)]  [/\\\\xA(x)  /\\\\xB(x)] = prawo rozkładania ogólnego kwantyfikatora względem implikacji – jeżeli dla każdego x jest tak, że jeżeli x ma własność A(x), to x ma własność B(x), to jeżeli każdy x ma własność A(x), to każdy x ma własność B(x). np. jeżeli dla każdego x jest tak, że jeżeli x zda egzamin, to x zaliczy rok studiów, to jeżeli każdy x zda egzamin, to każdy x zaliczy rok studiów.
12) /\\\\x[A(x)  B(x)]  [\\\\/xA(x)  \\\\/xB(x)] = prawo rozkładania kwantyfikatora szczegółowego względem implikacji – jeżeli dla każdego x jest tak, że x ma własność A(x), to x ma własność B(x), to jeżeli istnieje x mający własność A(x), to istnieje x mający własność B(x). np. jeżeli dla każdego studenta jest tak, że jeżeli nie zaliczy wymaganych egzaminów na I rok, to zostaje skreślony z listy studentów, to jeżeli istnieją studenci, którzy nie zaliczyli wymaganych egzaminów na I rok, to istnieją studenci skreśleni z listy.
13) \\\\/x[A(x) B(x)] [\\\\/xA(x) \\\\/xB(x)] = prawo rozkładania kwantyfikatora szczegółowego względem alternatywy – istnieje takie x, dla którego jest A(x) lyb B(x), wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie x, dla którego jest A(x), lub istnieje takie x, dla którego jest B(x). np. istnieje takie miasto woj. Mazowieckiego, które jest uzdrowiskiem lub kurortem, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie miasto woj. Mazowieckiego, które jest uzdrowiskiem, lub istnieje takie miasto woj. Mazowieckiego, które jest kurortem.
14) /\\\\x[A(x) B(x)] [/\\\\xA(x) /\\\\xB(x)] = prawo rozkładania ogólnego kwantyfikatora względem koniunkcji – dla każdego x jest A(x) i B(x) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x jest A(x) i dla każdego x jest B(x). np. każdy student zna prawo karne materialne i prawo karne procesowe wtedy i tylko wtedy, gdy każdy student zna prawo karne materialne i każdy student zna prawo karne procesowe.
15) \\\\/x[A(x) B(x)]  [\\\\/xA(x) \\\\/xB(x)] = prawo rozkładania kwantyfikatora szczegółowego względem koniunkcji – jeżeli istnieje x, dla którego jest A(x) oraz B(x), to istnieje x, dla którego jest A(x), oraz istnieje x, dla którego jest B(x). np. jeżeli istnieje samochód osobowy, który osiaga szybkość 250 km/h i zużywa benzyny poniżej 10l/100 km, to istnieje samochód osobowy osiągający szybkość 250 km/h i istnieje samochód osobowy zuzycwający benzyny poniżej 10l/100km.



TEORIA NAZW
Zdania kategoryczne – występują w niej dwie nazwy – podmiot = subiectum i orzecznik = praedicatum połączone funktorem zdaniotwórczym ‘jest’. Wyróżnia się je w następującej postaci:
 zdania ogólno-twierdzące – ‘każde S jest P’ S a P
nie istnieje S, które nie byłoby P
 zdania ogólno-przeczące – ‘Żadne S nie jest P’ S e P
żadne S nie są P
 zdania szczegółowo-twierdzące – ‘Niektóre S są P’ S i P
Istnieją takie S, które są P
 zdania szczegółowo-przeczące – ‘Niektóre S nie są P’ S o P
istnieją takie S, które nie są P
interpretacja mocna zdań kategorycznych - S i P są nazwami niepustymi

Stosunki międzyzakresowe Wartość logiczna
S a P S e P S i P S o P
Zamienność 1 0 1 0
Podrzędność 1 0 1 0
Nadrzędność 0 0 1 1
Niezależność 0 0 1 1
Popdprzeciwiweństwo 0 0 1 1
Przeciwieństwo 0 1 0 1
sprzeczność 0 1 0 1

Zdania kategoryczne ze słowem ‘tylko’:
 ‘Tylko S jest P’ tylko S a P – ‘tylko S a P’ ‘P a S’
 ‘Tylko S nie jest P’ tylko S e P – ‘tylko S e P’ ‘nie-S a P’ oraz ‘tylko S e P’ nie-P a S’
 ‘Tylko niektóre S są P’ tylko S i P – ‘tylko S i P’ (S i P S o P)
 ‘Tylko niektóre S nie są P’ tylko S o P - ‘tylko S o P’ (S o P S i P) = (S i P S o P) (S o P S i P)

Stosunki międzyzakresowe Wartość logiczna
S a P S e P S i P S o P
Zamienność 1 0 0 0
Podrzędność 0 0 0 0
Nadrzędność 1 0 1 1
Niezależność 0 1 1 1
Popdprzeciwiweństwo 0 0 1 1
Przeciwieństwo 0 1 0 0
sprzeczność 0 0 0 0

KWADRAT LOGICZNY

 - wynikanie
---- - łączy zdania pozostające w stosunku przeciwieństwa
……… - łączy zdania podprzeciwne

łączy zdania sprzeczne
prawa opozycji = prawa kwadratu logicznego:
S a P S o P
S e P S i P
S a P / S e P
S i P S o P
S a P  S i P
S e P  S o P
Przekształcenia zdań kategorycznych
 konwersja – polega na zamianie miejscami podmiotu z orzecznikiem
 konwersja prosta: S e P P e S oraz S i P P i S – Żaden słoń nie jest nosorożcem, a więc żaden nosorożec nie jest słoniem albo niektórzy studenci są Warszawiakami = niektórzy warszawiacy są studentami.
 konwersja ograniczona: S a P  P i S – Każdy struś jest ptakiem, ale nie każdy ptak jest strusiem.
 Obwersja – zmiana jakości zdania kategorycznego z jednoczesnym zanegowaniem orzecznika. Elementy składające się na obraz obwersji:
o Nie ma zmiany ilości zdania, czyli zdanie ogólnym pozostaje ogólnym, a szczegółowe – szczegółowym
o Następuje zmiana jakości zdania – zdanie twierdzące zostaje przekształcone na przeczące i odwrotnie
o Najmniejszej zmiany nie doznaje podmiot
o Orzecznik zostaje zanegowany
 S a P S e nie-P – każda prokura jest pełnomocnictwem = żadna prokura nie jest nie-pełnomocnictwem
 S e P S a nie-P – żadna ustawa nie jest zarządzeniem = każda ustawa jest nie-zarządzeniem
 S i P S o nie-P – niektórzy uczniowie są pełnoletni = niektórzy uczniowie nie są nie-pełnoletni
 S o P S i nie-P – niektóre przestępstwa nie są zbrodniami = niektóre przestępstwa są nie-zbrodniami
 Kontrapozycja – dokonanie obwersji, a następnie konwersji - częściowa, jeżeli jeszcze dokonamy obwersji - zupełna:
 S a P S e nie-P nie-P e S nie-P a nie-S – każdy tygrys jest drapieżnikiem żaden nie-drapieżnik nie jest tygrysem każdy nie-drapieżnik jest nie-tyrgysem
 S e P S a nie-P  nie-P i S nie-P o nie-S – kontrapozycja ograniczona, gdyż nei wszystkie zdania są równoważne
 S o P S i nie-P nie-P i S nie-P o nie-S
SYLOGIZM KATEGORYCZNY - rodzaj wnioskowania pośredniego, w którym na podstawie dwóch przesłanek dochodzimy do wniosku:
 Terminus medium = termin średni M – termin powtarzający się w przesłankach
 Praedictum = termin większy P, będący orzecznikiem konkluzji sylogizmu występujący w przesłance większej
 Subiectum = termin mniejszy S, będący podmiotem konkluzji wsytępujący w przesłance mniejszej
Przykład:
Każdy występek jest przestępstwem  przesłanka
Każda bigamia jest występkiem  przesłanka
Każda bigamia jest przestępstwem  konkluzja
‘występek’ – M
‘przestępstwo’ – P
‘bigamia’ – S
schemat rozumowania
M a P przesłanka większa
S a M przesłanka mniejsza
-------
S a P wniosek
S podmiot
P orzecznik
Przesłanki, które SA zdaniami kategorycznymi, połaczone znakiem koniunkcji tworzą poprzednik implikacji, a wnioskiem jest następnik:
(M a P S a M)  S a P
tryb sylogistyczny słuszny – z przesłanek wynika logicznie wniosek. Odnosząc się do formalnej poprawności trybu, a więc jego budowy, można określić zespół reguł warunkujących poprawność trybów.
figury sylogistyczne
 M zajmuje miejsce podmiotu przesłanki większej i orzecznika przesłanki mniejszej
M P
S M
-----
S P

M a P
S a M
S a P M e P
S a M
S e P M a P
S i M
S i P M e P
S i M
S o P M a P
S a M
S i P M e P
S a M
S o P

 M w miejsce orzecznika w przesłance większej i mniejszej
P M
S M
-----
S P

P e M
S a M
S e P P e M
S i M
S o P P a M
S e M
S e P P a M
S o M
S o P P a M
S e M
S o P P e M
S a M
S o P

 M w miejsce podmiotu w przesłance większej i mniejszej
M P
M S
-----
S P
M a P
M a S
S i P M a P
M i S
S i P M i P
M a S
S i P M e P
M a S
S o P M o P
M a S
S o P M e P
M i S
S o P

 M w miejsce orzecznika w przesłance większej i podmiotu w mniejszej
P M
M S
-----
S P
P a M
M a S
S i P P a M
M e S
S e P P e M
M a S
S o P P i M
M a S
S i P P e M
M i S
S o P P a M
M e S
S o P

Zasady poprawności trybu sylogistycznego
 Co najmniej jedna przesłanka musi być twierdząca i co najmniej jedna ogólna
 Jeżeli dwie przesłanki są twierdzące/przeczące, wniosek musi być twierdzący/przeczący.
 M musi być rozłożony w przynajmniej jednej przesłance
 Jeśli M jest rozłożony we wniosku, musi być on rozłożony w przesłance
 M musi być użyty w obu przesłankach w tym samym znaczeniu
Błąd czterech terminów = quaternio terminorum – użycie M jako nazwy wieloznacznej w różnych znaczeniach lub różnych supozycjach. Np.:
Każdy zamek jest budowlą
Niektóre zamki są urządzeniami blokującymi drzwi
Niektóre urządzenia blokujące drzwi są budowlami

Niepoprawny sylogizm – występuje błąd:
o Więcej niż trzy terminy
o M w żadnej z przesłanek nie jest rozłożony
o Obie przesłanki są przeczące
o Obie przesłanki są szczegółowe
o Terminy rozłożone we wniosku, nie są rozłożone w przesłance
o Wniosek jest twierdzący, gdy jedna z przesłanek jest szczegółowa
o Wniosek jest przeczący, gdy obie przesłanki są twierdzące
Przykład:
Każde przestępstwo jest czynem zabronionym
Każda zbrodnia jest przestępstwem
Każda zbrodnia jest czynem zabronionym



M a P
S a M
-------
S a P – jest rozłożony we wniosku i w przesłance

Błąd formalny – wniosek nie wynika z przesłanek – zastosowanie niepoprawnego wzoru, według którego przeprowadza się wnioskowanie.
Błąd materialny – traktowanie przesłanki jak prawdziwej gdy jest fałszywa.




UZASADNIANIE TWIERDZEŃ
Uzasadnianie
 Bezpośrednie – polega na wykorzystywaniu w procesie uzasadniania zdań wyłącznie naszych doznań zmysłowych.
 Spostrzeżenie - operacja polegająca na zarejestrowaniu postrzeżenia łączącego się z jednoczesnym wykorzystaniem zasobów naszej wiedzy. Poprzez spostrzeżenia możemy dokonywać uzasadnień bezpośrednich, np. ściany Sali wykładowej są pomalowane na biało.
 Obserwacja – uporządkowany ciąg spostrzeżeń, np. określenie, że Polska leży w strefie klimatu umiarkowanego – można stwierdzić po szeregu spostrzeżeniach, przeprowadzonych w dłuższym okresie czasu, o określonej godzinie, używając odpowiednich do tego urządzeń.
 Eksperyment – przeprowadzanie obserwacji w sztucznie stworzonych warunkach. Może mieć charakter:
 Pozytywny – przeprowadzenie badania popierającego tezę, że pomiędzy czynnikiem A i czynnikiem B zachodzi pewna zależność  nie uzasadnia badanej zależności w sposób ostateczny
 Negatywny – przeprowadzenie badania zaprzeczającego tezę, że pomiędzy czynnikiem A i czynnikiem zaprzeczającego zależność ta zachodzi  prowadzi do pewnego rezultatu

 Pośrednie = wnioskowanie – polega na stwierdzaniu na podstawie uznania prawdziwości pewnego zdania czy też zdań  przesłanek prawdziwości innego zdania  wniosku.

I. Implikacja – funktor prawdziwościowy łączący zmienne zdaniowe lub zdania, a zdanie złożone powstające przy użyciu implikacji jest fałszywe jedynie, gdy 1  0. poprzednik i następnik nie muszą się łączyć logicznie, żeby stwierdzić prawdziwość implikacji.
II. Wynikanie – gdy ze zdania Z1 wynika zdanie Z2, mówimy, że zdanie Z1 jest racją zdania Z2, zdanie zaś Z2 jest następstwem zdania Z1 – musza być spełnione dwa warunki:
 Z1  Z2 – jest prawdziwa
 Prawdziwość zdania Z1 pociąga za sobą prawdziwość Zdania Z2 – między nimi zachodzi związek o charakterze treściowym lub strukturalnym:
• Związek logiczny - ze zdania Z1 wynika logicznie zdanie Z2 wtedy i tylko wtedy, gdy implikacja Z1  Z2 jest konkretyzacją tautologii – implikacja powstaje z tautologii przez zastąpienie stałymi wszystkich zmiennych. Np.: jeżeli żaden adwokat nie jest prokuratorem, to żaden prokurator nie jest adwokatem – z racji wynika następstwo ze względu na strukturę zdań.
• Związek analityczny – Jeżeli Piotr jest wyższy od Pawła to Paweł jest niższy od Piotra – racja i następstwo złączone ze sobą ze względu na sens użytych słów w tym zdaniu.
• Związek przyczynowo-skutkowy – jeżeli temperatura spadnie poniżej zera, to woda w stawie zamarznie – zdanie złożone składające się ze zdań związanych związkiem.
• Związek strukturalny – jeżeli dziś jest 7 maja, to za tydzień będzie 14 maja – związany z rozmieszczeniem zdarzeń lub przedmiotów w czasie i przestrzeni
• Związek tetyczny – jeżeli ktoś jest ojcem, to powinien dbać o zapewnienie małoletnim dzieciom środków utrzymania – wynika z ustanowienia określonych norm prawnych.
III. Wnioskowanie – polega na stwierdzeniu na podstawie uznanego za prawdziwe zdania lub zdań  przesłanki innego zdania  wniosku z określonym stopniem prawdopodobieństwa jego prawdziwości.
NIEZAWODNE – wnioskujący stwierdza na podstawie prawdziwości pewnego zdania lub kilku zdań będących przesłankami prawdziwości innego zdania będącego wnioskiem – od przesłanek prawdziwych prowadzą do prawdziwego wniosku – są to dedukcyjne, sensu stricto, dowodzenie i indukcja enumeracyjna zupełna.
ZAWODNE – prawdziwość przesłanek nie przesądza o prawdziwości wniosku – są to niededukcyjne, tłumaczenie, sprawdzanie, indukcja enumeracyjna niezupełna, indukcja statystyczna, indukcja eliminacyjna i wnioskowanie z analogii.
DEDUKCYJNE – charakter niezawodny - opierając się na prawdziwej przesłance, będącej racją, dochodzimy do prawdziwego wniosku będącego jej następstwem. Podział ze względu na kierunek przeprowadzanych wnioskowań:
 Dedukcja = sensu stricto – mamy uznaną rację i badamy jakie jest jej następstwo. Np. jeżeli Jan jest sędzią, to Jan jest pełnoletni – oparte na funkcjach tautologicznych.
 Dowodzenie – poszukujemy uznanej racji dla określonego nieznanego jeszcze następstwa. Posługujemy się regułami inferencyjnymi. Różni się od sensu stricto tylko tym, że mamy do czynienia z innym punktem wyjścia. Przeprowadza się je w postaci:
 Dowodu wprost – polega na wskazaniu przesłanek będących uznanymi racjami, z których wynika udowadniane zdanie  formułuje się tzw. Pytanie rozstrzygnięcia ‘czy prawdą jest, że Z2?’, a następnie przeprowadza się wnioskowanie o następującej postaci: ‘jeżeli wiadomo, że prawdą jest, że jeżeli Z1 to Z2 i wiadomo, że Z1 to na pewno Z2’ – schemat modus ponendo ponens.
 Dowód niewprost = dowód apagogiczny = przez sprowadzanie do sprzeczności = reductio ab absurdum – polega na zanegowaniu zdania dowodzonego, a następnie dochodzi się poprzez zastosowanie reguł dowodzenia do stwierdzenia zaprzeczenia jakiegoś już uprzednio udowodnionego zdania – poprzez przekształcenie zanegowanego zdania dochodzimy do zdania sprzecznego z aksjomatem lub przyjętą już do systemu tezą, co powoduje, że zdanie udowadniane uznać musimy za prawdziwe  pytanie rozstrzygające to ‘czy prawdą jest, że Z2?’, następnie przyjęcie założenia, że nieprawdą jest, że Z2, następnie wnioskowanie ‘jeżeli wiadomo, że prawdą jest, że nie Z2, to prawdą jest, że Z3 i wiadomo, że Z3 jest fałszywe, to oznacza, że nasze założenie o fałszywości Z2 jest nieprawdziwe. Oznacza to, że Z2 jest prawdziwe’ – modus tollendo tollens .
NIEDEDUKCYJNE – występująca zależność między przesłanką a wnioskiem opiera się na związkach o różnych charakterach:
 Tłumaczenie = wyjaśnianie – dla pewnego następstwa uznanego za prawdziwe będącego w tym rozumowaniu przesłanką szuka się prawdziwej racji będącej w tym rozumowaniu wnioskiem. Np. ‘jezdnia jest mokra’ – dlaczego? – hipotezy konkurencyjne ‘spadł deszcze’ ‘polał ją dozorca wodą’.
 Sprawdzanie – uważając jakieś zdanie za jedynie prawdopodobnie prawdziwe, szukamy jego następstw aby z ich prawdziwości bądź fałszywości wnosić o wartości logicznej sprawdzanego zdania.
 Pozytywne – dla wątpliwego sprawdzanego zdania znajduje się następstwo prawdziwe i wtedy, choć jedynie z pewnym prawdopodobieństwem, wnioskujemy o jego prawdziwości
 Negatywne – znalezienie dla sprawdzanego zdania jakiegoś następstwa fałszywego, wnioskujemy o fałszywości sprawdzanego zdania jako racji. Ma charakter niezawodny, opiera się na modus tollendo tollens.
 Np. osoba dokonała włamu – osoba znajdowała się na miejscu czynu – stwierdzamy, że zdanie fałszywe to racja też fałszywa.
INDUKCYJNE – na podstawie wielu przesłanek jednostkowych stwierdzających, iż poszczególne zbadane przedmioty pewnego rodzaju mają określoną cechę, dochodzi się do wniosku ogólnego stwierdzającego, że każdy Przedmiot tego rodzaju taką cechę posiada.
 Indukcja enumeracyjna niezupełna = przez proste wyliczenie = wnioskowanie właściwe – odmiana tłumaczenia - zbiór przesłanek jednostkowych stwierdzających o poszczególnych badanych przedmiotach, że posiadają pewną cechę, nie jest pełny, tzn. nie dotyczą one wszystkich przedmiotów tworzących zbiorowość  od pewnych następstw będących przesłankami przechodzimy do niepewnej, będącej wnioskiem, racji. Przykład: ‘wszystkie łabędzie są białe’ stwierdzamy dzięki badaniom przeprowadzonym na łabędziach w Ogrodzie Saskim, jednakże wniosek nie jest zupełnie prawdziwy, bo istnieją czarne łabędzie.
 Indukcja enumeracyjna zupełna = wnioskowanie pełne = indukcja niewłaściwa – rozumowanie dedukcyjne - liczba sformułowanych przesłanek jednostkowych stwierdzających posiadanie pewnej cechy przez określone przedmioty jest równa liczbie tych przedmiotów. Przykład: ‘Dania, Finlandia, Norwegia, Szwecja i Islandia są państwami demokratycznymi’ stąd wnioskujemy, że każde państwo skandynawskie jest państwem demokratycznym’.
 Indukcja statystyczna – poprzez badania o stosunkowo niewielkim zasięgu pozwala na wysnucie wniosków o bardzo wysokim stopniu pewności.
 Indukcja eliminacyjna – metoda badania współwystępowania zjawisk, polegająca na kanonach:
 Kanon zgodności
Sfera przyczynowa Sfera skutkowa
WYSTĘPOWANIE
ZJAWISK ABCDE WYSTĘPOWANIE ZJAWISKA Z1
BCDE Z1
ABDE Z1
ABCE Z1
ABCD Z1
ZATEM: B jest przyczyną Z1
 Kanon różnicy – polega na eliminowaniu ze sfery przyczynowej określonego zjawiska i obserwowaniu zjawiska Z1
Sfera przyczynowa Sfera skutkowa
Występowania zjawiska ABCDE Występowanie zjawiska Z1
ABDE Z1
ACDE Niewystępowanie zjawiska Z1
Zatem: B jest przyczyną Z1
 Połączony kanon jedynej zgodności i jedynej różnicy – wpierw za pomocą kanonu zgodności ustala się, że określone zjawisko A jest przyczyną powstawania Z1, a później sprawdza się za pomocą kanonu różnicy, czy usunięcie zjawiska A powoduje zniknięcie Z1
 Kanon reszt – to co pozostaje niewyjaśnione w sferze skutkowej, jest wynikiem oddziaływania tego, co pozostaje niewyjaśnione w sferze przyczynowej.

Sfera przyczynowa Sfera skutkowa
Występowanie zjawisk ABC Występowanie zjawiska Z1, Z2
AB Z2
Zatem C jest przyczyną Z1
Przykład: ‘Ponieważ rozbolał mnie żołądek, żołądek tego dnia jadłem lody, wypiłem herbatę i niegazowaną wodę, to skoro wiem, że nie mogła mi zaszkodzić herbata ani niegazowana woda, to na tej podstawie wnioskuję, że zaszkodziły mi lody’. Jest rozumowaniem zawodnym, gdyż mogło zupełnie coś innego zaszkodzić.
 Kanon zmian towarzyszących – dochodzi do zmiany siły stopnia oddziaływania zjawisk w sferze przyczynowej
Sfera przyczynowa Sfera skutkowa
Występowanie zjawisk ABCD Występowanie zjawiska Z1
(A)BCD Z1
A(B)CD (Z1)
AB(C)D Z1
ABC(D) Z1
Zatem: C jest przyczyną Z1

PRZEZ ANALOGIĘ = rozumowanie na mocy przykładu – od szczegółowej przesłanki przechodzi się do szczegółowego wniosku
 Przesłanki stwierdzają, że każdy kolejny badany przedmiot określonego rodzaju posiada pewną cechę, wysnuwa się wniosek, że dalszy kolejny badany Przedmiot będzie również tę cechę posiadał
X1 € P, X2 € P, X3 € P, … Xn € P, stąd Xn+1 € P
X1, X2, X3, … Xn, Xn+1 – kolejne przedmioty określonego rodzaju
P – cecha posiadana przez te przedmioty
Przykład: po obejrzeniu pary filmów Dawida Lynch stwierdzamy, że były one dobre, i wysnuwamy wniosek, że następny jego film też taki będzie. Tymczasem następny jest kiepski. – jest zawodnym wnioskowaniem
 Na podstawie szeregu przesłanek stwierdzających, że określony przedmiot posiada wiele cech, które powodują, że należy on do szeregu określonych klas przedmiotów, wśród których znajduje się klasa P, wysnuwamy wniosek, że inny przedmiot, u którego stwierdzamy, że również posiada te same cechy, które powodują, że należy on do tych samych klas przedmiotów, z wyjątkiem cechy przesądzającej o przynależności do klasy P, tę cechę również posiada, tj. również przynależy do klasy P.
X € A i B i C i D oraz X € P
Y € A i B i C i D to Y € P
X, Y – określone przedmioty
A, B, C, … - klasy przedmiotach mających pewne cechy
Przykład: wiemy, że osoba X posiada dość znaczny majątek, jest osobą inteligentną znającą język angielski i francuski, ma liczne kontakty za granicą, a także dzieci, na których wykształceniu jej zależy, i jest osobą należącą do ‘Rotary Club’, to po poznaniu osoby Y, o której wiemy, że posiada wszystkie wymienione wyżej cechy oprócz ostatniej, dochodzimy na tej podstawie do wniosku, że jest ona również osobą należącą do ‘Roatry Club’ – wnioskowanie zawodne, gdyż może nie należeć.
PRZESŁANKA ENZYMATYCZNA – przesłanka, która nie jest wymieniona we wnioskowaniu z powodu uznania jej za oczywistą. Przykład: jeżeli ktoś twierdzi, że z przesłanki ‘w lipcu 1999 roku w Polsce zanotowano bardzo obfite opady deszczu’ da się wysnuć wniosek ‘w Polsce doszło do powodzi’, to uznać należy, że nie jest prawdą. Żeby wynikał z niej wniosek trzeba dodać niewypowiedzianą przesłankę: jeżeli występują obfite opady, to powodują one podniesienie się poziomu rzek, a podniesienie poziomu rzek prowadzi do powodzi’.

Błędy we wnioskowaniu
 Materialny = merytoryczny – błąd mogący występować we wszystkich rozumowaniach. Polega on na przyjęciu we wnioskowaniu fałszywej przesłanki. Przykład: uznając, że osoby, które nie ukończyły 13 lat, nie posiadają zdolności prawnej, stąd 5-letnie dziecko nie może być spadkobiercą – popełnia się błąd gdyż myli się zdolność do czynności prawnej ze zdolnością prawną.
 Formalny = non sequitur – dotyczy wnioskowań dedukcyjnych – polega na oparciu się we wnioskowaniu na schemacie nie będącym prawem logicznym, np.:
 błąd stwierdzenia poprzednika w oparciu o następnik – uznając za prawdziwe ‘Jeżeli Jan uczęszcza na wykłady prowadzone przez profesora A.M., to Jan wie, jak profesor A.M. wygląda’ i ‘Jan wie, jak profesor A.M. wygląda’, wysnuwa wniosek, że prawdziwe jest zdanie ‘Jan uczęszcza na wykłady profesora A.M.’ – popełniamy błąd, gdyż [(p  q) q]  p nie jest tautologią
 błąd zanegowania poprzednika – popełnia go ten, kto w oparciu o przesłankę (p  q) i przesłankę ~p błędnie wnioskuje, że prawdziwe jest zdanie ~q. np. ‘jeżeli Piotr jest prawnikiem, to Piotr ukończył wyższe studia’ a zatem ‘jeżeli Piotr nie jest prawnikiem to Piotr nie ukończył wyższych studiów’.
 Błąd fałszywego połączenia = fallacium a sensu divisio ad sensum compositum – na podstawie przesłanki stwierdzającej, że każda część przedmiotu X ma własność W, wnioskujemy, że cały Przedmiot X ma własność W. np. z faktu, że ‘elementy użyte do budowy gmachu są małe’, wysnuwa się wniosek, że ‘gmach jest mały’ – błąd
 Błąd fałszywego podziału = fallacium a sensu compositio ad sensum divisium – polega na przyjęciu na podatnie przesłanki stwierdzającej, że pewien zbiór ma określoną właściwość, wniosku, że własność tę posiada każdy element tego zbioru. Np. z faktu, że określona budowla jest duża, wysnuwa wniosek, że duży jest każdy z jej elementów – błąd
 Błąd następstwa = post hoc ergo propter hoc – z faktu, że wydarzenie A poprzedza wydarzenia B, wysnuwamy wniosek, że wydarzenie A jest przyczyną wydarzenia B  wnioskowanie z następstwa czasowego na powiązanie przyczynowe.
 Błąd wnioskowania z reguły na wyjątek – np. z faktu obowiązywania art. 148 &1 kk zakazującego zabicia człowieka wysnuwa wniosek, że nie istnieje żadna sytuacja, w której dopuszczalne jest zabicie człowieka, tymczasem art. 25 kk, dotyczy obrony koniecznej, a także art. 26 kk dotyczy stanu wyższej konieczności.
 Błąd wnioskowania z wyjątku na regułę – ten, kto nie rozpoznając, że chodzi o pewien wyjątek, uznaje, że chodzi o regułę. Np. jeżeli ktoś, kto wie, że w przypadku bezpodstawnego wzbogacenia możliwe jest zwrócenie wartości uzyskanej korzyści majątkowej, uznaje na tej podstawie, że można tak czynić w każdej sytuacji. W rzeczywistości tak jednak nie jest. Pierwszeństwo ma wydanie korzyści w naturze, a zwrócenie wartości uzyskanej korzyści majątkowej jest możliwe wtedy, gdy wydanie korzyści w naturze jest niemożliwe.
 Błędy o charakterze pragmatycznym
 Błąd nieznajomości dowodzonej tezy – przeprowadzający wnioskowanie uzasadnia nie tę tezę, którą miał udowodnić. Np. popełnia go ten, kto chcąc udowodnić, że oskarżony jest winny przestępstwa, prowadzi następujące wnioskowanie ‘oskarżony spożywał alkohol, a także nie starał się o podjęcie pracy zarobkowej, jest więc osobą, której zachowania są aspołeczne’.
 Błąd nieuzasadnieni przesłanki – polega na przyjęciu jakichś przesłanek bez należytego uzasadnienia. Np. popełnia go ten, kto twierdzi, że oskarżony nie popełnił przestępstwa, ponieważ w momencie popełnienia czynu znajdował się w innym miejscu, w sytuacji, w której fakt pozostawania oskarżonego w tym czasie w innym miejscu nie jest udowodniony.
 Błędne koło w dowodzeniu – polega na przyjęciu za przesłankę tego, co ma być w danym dowodzeniu wywnioskowane. Np. twierdzenie, że ‘Arystoteles był wspaniałym logikiem, bo napisał Analityki, Analityki zaś są wspaniałym dziełem, bo zostały napisane przez Arystotelesa, który był wspaniałym logikiem’.
 Błąd fałszywej analogii – polega na przyjęciu fałszywego założenia o związku między cechami podobnych przedmiotów. Np. popełnia go ten, kto z przesłanki stwierdzającej, że w dwóch kolejnych turach egzaminacyjnych osoby siedzące przy oknie otrzymały oceny niedostateczne, wysnułby wniosek, że w kolejnej turze osoba, która usiądzie przy oknie, również otrzyma ocenę niedostateczną.



WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE
Indukcja statystyczna – umożliwia określenie prawdopodobieństwa wniosku, należy do wnioskowań niededukcyjnych, zawodnych.
Jeżeli badamy losowo wybraną część zbiorowości i na tej podstawie wypowiadamy wniosek, który będzie dotyczył całej zbiorowości, a więc również części jednostek zbiorowości niezbadanych bezpośrednio, to takie wnioskowanie będzie przebiegało według schematu indukcji statystycznej. Wniosek taki zwykle zawiera stwierdzenie o prawidłowościach w zakresie występowania badanej cechy w całej zbiorowości.
BADANIA I POMIAR
I. Etap
1. określenie badanej cechy, np. czas pracy przeznaczony na wykonanie określonej czynności – badając cechę jak nakład czasu pracy musimy określić jednostkę pomiaru. Np. minuta.
a. Cecha ilościowa – przedstawiane w postaci liczby, np. wynagrodzenie za pracę
b. Cecha jakościowa – mierzy się, np. inteligencja, znajomość przedmiotu
2. zdefiniowanie jednostki badanej zbiorowości, np. urzędnik gminy
3. określenie zbiorowości, np. urzędnicy określonej gminy
II. etap  pomiar statystyczny – przyporządkowanie jednostkom zbiorowości statystycznej wielkości liczbowych dokonane z uwzględnieniem poziomu badanej cechy u jednostek tej zbiorowości.
1. obserwacja badanej zbiorowości pod kątem badanej cechy
2. materiał statystyczny – otrzymany wynik
3. warunki pomiaru statystycznego:
o równości – ‘równy-różny’ - występuje gdy jednostkom zbiorowości, u których badana cecha występuje w równym natężeniu, przypisuje równe wielkości liczbowe
o porządku – ‘większy-mniejszy’, np. porządkowanie zbioru ludzi pod względem ocen z wiedzy.
o dodawania – np. książka A i B ważą razem 2 kg, A waży 0.6 a B 1.4.
skale pomiarowe
 Nominalna – ‘równy-różny’ - podział jednostek zbiorowości ze względu na mierzoną cechę i następnie na przypisaniu wszystkim jednostkom włączonym do jednego członu podziału takiej samej liczby jako miary badanej cechy.
 Porządkowa – ‘większy-mniejszy’ – przypisanie określonym jednostkom zbiorowości określonych rang ze względu na posiadaną przez nie mierzoną cechę.
 Przedziałowa – przyjęcie dla celów pomiaru określonych jednostek, pozwalających na określenie dystansu pomiędzy jednostkami zbiorowości pod względem mierzonej cechy.
 Stosunkowa – posiada wszystkie własności w/w skal, a ponadto dysponuje określeniem bezwzględnej wartości zera dla mierzonej cechy. Np. długość 30 cm jest 3-krotnie większa od 10 cm, i 2-krotnie większa od 15 cm.
III. Opis statystyczny – polega na pogrupowaniu i zliczeniu jednostek, przeprowadzeniu klasyfikacji, budowie tablic, wykresów oraz na policzeniu miar statystycznych, odpowiednio do celu badania.
 Przedstawienie wyników pomiarów w postaci szeregów statystycznych uporządkowanych
 Przedstawienie zbiorowości statystycznej w postaci tablic i wykresów
 Obliczenie miar statystycznych ‘przeciętności’, jakich jak średnie, miary pozycyjne, różnego typu wskaźniki dla cech jakościowych, różnego typu wskaźniki i miary tendencji występujących w szeregach czasowych
 Obliczenie miar zróżnicowania jednostek badanej zbiorowości pod względem badanych cech, takich jak odchylanie standardowe, współczynniki zmienności, skośności, pułapu i inne.
IV. Wnioskowanie – określone zostaje prawdopodobieństwo, z jakim można odnieść wynik uzyskany z badania próby do tej całej zbiorowości, z której próba została pobrana. Prawdopodobieństwo poprawności uogólnienia pokazuje, jaki jest przy zastosowanej metodzie badania i przyjętej dokładności uogólnienia stosunek uogólnień poprawnych do wszystkich uogólnień przeprowadzonych przy zastosowaniu danej metody i przyjętej przez nas dokładności badania, np. może wynosić 0.98.
Metoda reprezentacyjna – przedmiot działu statystyki, jest to badanie własności prób otrzymywanych za pomocą różnych metod ich poboru ze zbiorowości generalnej. Opiera się na statystyce matematycznej i rachunku prawdopodobieństwa.
Schematy, według których przebiega wnioskowanie statystyczne:
 Estymacji – oszacowania badanego parametru w całej zbiorowości na podstawie badania pobranej z tej zbiorowości próby
 Weryfikacji – hipotezy dotyczącej całej zbiorowości na podstawie badania pobranej z tej zbiorowości próby.
Definicje prawdopodobieństwa:
 Aprioryczna = klasyczna – zawiera błąd idem per idem, zdarzenia danego rodzaju składają się z n wykluczających się, jednakowo możliwych zdarzeń prostych, np. rzut kostką, n=6, m=3 prawdopodobieństwo zdarzenia A to:
P(A) =
 Częstościowa = aposterioryczna – przeprowadzenie obserwacji badanych zdarzeń empirycznych polegającej na badaniu częstości ich występowania.
P(X) =
m – częstość wystąpienia zdarzenia X
n – częstość wystąpienia zdarzenia Y
 Subiektywne – zasada niedostatecznej racji stwierdzającej, że jeżeli mamy dwa zdarzenia, co do których brak podstaw do stwierdzenia, że jedno z nich jest bardziej prawdopodobne od drugiego, to uważamy je za jednakowo prawdopodobne.
 Logiczne – odnosi się do zdań, określa podstawy uznania za prawdziwe zdania A orzekającego o wystąpieniu zdarzenia, którego wystąpienie chcemy przewidzieć ze względu na inne zdanie B orzekające o wystąpieniu innego zdarzenia, o którym sądzimy, że jest związane związkiem przyczynowym lub współwystępuje ze zdarzeniem, o którym jest mowa w zdaniu A. orzeka o prawdziwości zdania A pod warunkiem prawdziwości zdania B przy założeniu, że istnieje co najmniej jeden term, dla którego jest prawdziwe zdanie B1(y).


PRZEKAZYWANIE MYŚLI
Pytania – logika erotetyczna - zbudowane są z partykuły pytajnej albo i nie, po której występuje zdanie w sensie logicznym lub fragment takiego zdania. Podział:
 Zamknięte – wyznacza się równocześnie schemat odpowiedzi, np. ilu posłów jest w Sejmie, albo też są to pytania ankietowe.
 Otwarte – dlaczego doszło do tego wypadku?
 Rozstrzygnięcia – są z partykułą, mogą być wieloczłonowe
 Dopełnienia – reszta
Osnowa pytania = datum questionis – schemat odpowiedzi.
Przykłady
‘który z kontynentów jest największy?’ – pytanie
‘x jest największym kontynentem’ – x należy do Z, które jest zakresem niewiadomej pytania.
‘Europa jest największym kontynentem’ – odpowiedź właściwa
‘Polska jest największym kontynentem’ – odpowiedź niewłaściwa
Założenia pytania
 Pozytywne – stwierdzenie, że wśród odpowiedzi właściwych na dane pytanie istnieje przynajmniej jedno zdanie prawdziwe
\\\\/x(x Z x jest największym kontynentem)
 Negatywne - poprzez założenie negatywne stwierdzamy zaś, iż w zbiorze takich odpowiedzi jest co najmniej jedno zdanie fałszywe
\\\\/x(x Z x nie jest największym kontynentem)
Podział odpowiedzi
 Właściwe
 Niewłaściwe
o Fałszywe
o Prawdziwe
 Całkowite wprost – odpowiedź właściwa, np. które miasto jest stolicą Polski? Warszawa jest stolicą Polski
 Całkowita niewprost – Warszawa jest największym miastem Polski i siedzibą ważnych organów.
 Częściowa – stolicą Polski jest miasto leżące na Mazowszu
Metody przesłuchania
 Swobodnej relacji
 Przesłuchiwania wyłącznie poprzez zadawanie pytań
 Mieszana, art. 171 & 1 kpk i art. 271 & 1 kpc
Retoryka – sztuka wymowy, której celem jest perswazja. Zasady:
 Organiczności – wypowiedź jako organiczna całość wymagająca zachowania wewnętrznego porządku tej całości
 Stosowności – niezbędne jest odpowiednie dobranie środków retorycznych
 Funkcjonalności – funkcją wypowiedzi jest przekonanie słuchacza i realizacji tego właśnie zadania należy podporządkować całą wypowiedź.
Dyskusja – wymiana zdań między pewną liczbą osób. Zasady:
 Klarowna – konieczność określenia języka dyskusji, aby był w pełni zrozumiały dla wszystkich dyskutantów
 Merytoryczna – określenie przedmiotu dyskusji
 Konkluzywna – określa założenia
Erystyka – umiejętność dyskutowania. Chwyty:
o Argumentum ex contesso = argumentum ad hominem – dostosowywanie prezentowanej argumentacji do człowieka, z którym toczy się spór. Wyprowadzenie wniosków z przyjętych przez przeciwnika przesłanek
o Argumentum ad personam – skierowany przeciwko osobie, z którą prowadzi się spór. Atak personalny na przeciwnika.
o Argumentum ad crumenam – punktem odniesienia są interesy materialne osób uczestniczących w dyskusji
o Argumentum ad misericordiam – odwołanie się do czynników wzbudzających litość
o Argumentum ad verecundiam – odnosi się do nieśmiałości, polega na szukaniu poparcia swoich tez w wypowiedziach autorytetów, którym oponent lub decydent raczej się nie przeciwstawi
o Argumentum ad vanitatem – odnosi się do próżności słuchaczy. Prawienie słuchaczom pochlebstw, licząc na ich przychylność niezależnie od argumentów
o Argumentum ad populum – oddziałuje na słuchaczy, mówi się to co słuchacze chcieliby usłyszeć, a nie jak jest rzeczywiście.
Błędy w przekazywaniu myśli
 Niezrozumienie – odbiorca nie rozumie przekazanego komunikatu
 Nieporozumienie – odbiór komunikatu nie po myśli nadawcy
 Błąd ekwiwokacji – ‘Jan interesuje się zamkami’ bez wyjaśnienia o jakie zamki chodzi
 Błąd czterech terminów – użycie wieloznacznego słowa
 Błąd figuralnego myślenia – dosłowne rozumienie wyrażeń będących użytych przenośnie, np. robienie z igły widły
 Użycie wyrażenia okazjonalnego – wyrażenia, które nie ma określonego zbioru desygnatów, zależna jest od okoliczności użycia
 Błąd amfibologii – wieloznaczność wyrażenia tkwi w strukturze, np. guma dla dzieci bez cukru, niewiadomo czy chodzi o dzieci bez cukru czy gumę
 Posługiwanie się wyrażeniami ostrymi – wyrażenia nie przez każdego rozumiane tak samo, n. Jaś lubi Gosię
 Niedopowiedzenie kwantyfikacji – nieokreślone czy dotyczy niektórych czy wszystkich elementów danej klasy.
 Niedopowiedzenie relatywizacji – brak wskazania punktu odniesienia, np. dyskutant na międzynarodowym sympozjum mówiący na temat kary pozbawienia wolności, nie wskazując o jakim państwie mówi.



WYPOWIEDZI
NORMATYWNA
Norma – wypowiedź zawierająca wzór postępowania w określonej sytuacji.
Dyrektywa techniczna – wskazuje sposób postępowania prowadzący do osiągnięcia wskazanego skutku, np. zapis w instrukcji obsługi telefonu X nakazujący naciśnięcie przycisku z kropką w celu rozłączenia prowadzonej rozmowy.
Normodawca – twórca normy
Adresat normy – osoba lub osoby, do których skierowana jest norma. Określony przy użyciu normy indywidualnej lub generalnej.
Budowa normy
Hipoteza normy – określa skończoną liczbę przedmiotów indywidualnych za pomocą nazw indywidualnych lub generalnych oraz określoną liczbę zachowań tych przedmiotów za pomocą funktorów zdaniotwórczych.
Zakres zastosowania normy – zbiór wszystkich stanów faktycznych, w których norma znajduje zastosowanie.
Dyspozycja normy – zawarte jest wskazanie działań lub zaniechań adresata normy, które są pożądane przez normodawcę.
Zakres normowania normy – zbiór zachowań adresatów normy, które ta norma reguluje.
Norma prawna – najmniejszy element systemu prawa.
Przepis normatywny – jednostka systematyki tekstu prawnego, oznaczona jako artykuł, paragraf, punkt, litera itp. przez nią przekazywana jest informacja o ustanowionej przez prawodawcę normie.
Proces komunikacyjny
Normodawca  kodowanie norm  kanał informacyjny  odkodowanie norm  adresat
(legislacja) (wykładnia)
Rodzaje wypowiedzi
OCENIAJĄCE – polega na określeniu relacji pomiędzy ocenianym stanem rzeczy a kryterium.
Zawiera nasz sąd o stanie rzeczy S ze względu na wartość C, której wystąpienie w stanie S uważamy za cenne.
Kryterium – zdanie ogólno-przeczące lub ogólno-twierdzące.
‘Spożywanie jabłek jest korzystne dla zdrowia, ponieważ spożywanie owoców jest korzystne dla zdrowia, a jabłko jest owocem’
‘mniejszą szkodę oceniamy lepiej niż większą, mimo że każdą szkodę oceniamy negatywnie’.
Do tych wypowiedzi zaliczamy:
Oceny instrumentalne – orzekamy o przydatności czegoś jako środka do osiągnięcia zamierzonego celu, np. fakt wystąpienia dużych opadów śniegów przed zawodami narciarskimi ocenimy pozytywnie
Wypowiedzi optatywne – ocena stanu rzeczy przyszłego, np. dopsze by było dla rodziców, gdyby Jan zaliczył egzamin w pierwszym terminie.
MODALNE – zdanie opisowe w sensie gramatycznym, w którym występuje funktor modalny.
Funktory modalne
1. ‘musi’ – (obowiązany jest, powinien, należy, konieczne jest) – buduje wypowiedzi apodyktyczne
2. ‘może’ – (wolno, dopuszczalne jest) – buduje wypowiedzi problematyczne.
Wypowiedzi modalne – funktor modalny z argumentem = zdaniem w sensie logicznym. Należy ona do wypowiedzi niezupełnych i nie jest zdaniem w sensie logicznym. Typy wypowiedzi modalnych:
 Musi być tak, że Z
 Musi być tak, że ~Z
 Może być tak, że Z
 Może być tak, że ~Z

Interpretacje wypowiedzi modalnych
 Logiczna
W – wiedza, składająca się z nieskończonej liczby zdań prawdziwych, niesprzecznych
Z – zdanie w sensie logicznym
Sytuacje, w jakich W pozostaje w stosunku do Z
o Zdanie Z jest elementem zbioru zdań W albo w zbiorze tym znajduje się inne zdanie lub zdania, z których wynika zdanie Z, a więc interpretator wie, że zdanie Z jest prawdziwe
o W zbiorze zdań W znajduje się zdanie sprzeczne do zdania Z, albo w zbiorze tym znajduje się inne zdanie lub zdania, z których wynika zdanie sprzeczne do zdania Z. interpretator wie, że zdanie Z jest fałszywe.
o W zbiorze zdań W nie ma zdania Z i nie ma zdania ~Z, jak też nie ma takiego zdania lub zdań, z których wynikałoby zdanie Z względnie wynikałoby zdanie ~Z, a więc interpretator nie ma żadnej wiedzy na temat, o którym orzeka zdanie Z.
Zasady przypisywania wartości logicznej prawdy wypowiedziom modalnym
 Musi być tak, że Z – prawdziwe, gdy 1)
 Musi być tak, że ~Z – prawdziwe, gdy 2)
 Może być tak, że Z – prawdziwa, gdy 1) lub 3)
 Może być tak, że ~Z - prawdziwa, gdy 2) lub 3)


KWADRAT LOGICZNY

 - wynikanie
---- - łączy zdania pozostające w stosunku przeciwieństwa
……… - łączy zdania podprzeciwne

łączy zdania sprzeczne
możliwość jednostronna – jedno ze zdań zawierających zwrot ‘może’ jest fałszywe, a co najmniej jedno zawsze jest prawdziwe. Np. możliwe jest, że Adam był w Białymstoku.
Możliwość dwustronna
 Musi być tak, że Z – prawdziwe, gdy 1)
 Musi być tak, że ~Z – prawdziwe, gdy 2)
 Może być tak, że Z i może być tak, że ~Z – prawdziwe, gdy 3)





Zależność pomiędzy zdaniami w interpretacji dwustronnej – linie łączą zdania przeciwne:

 Tetyczna = normatywna = deotyczna
Zakłada, że interpretator wypowiedzi modalnych dysponuje zbiorem obowiązujących norm prawnych i interpretacja jest przeprowadzana poprzez odwołanie się do zbioru obowiązujących norm.
Zbiór norm – wytworzony przez racjonalnego normodawcę.
Tej interpretacji podlegają wypowiedzi modalne orzekające o:
o Osobach
o Czynach osób
Wzorcowe postacie:
 Musi być tak, że x czyni c
 Musi być tak, że x nie czyni c
 Może być tak, że x czyni c
 Może być tak, że x nie czyni c
Dokonując tej interpretacji dysponujemy:
 Wypowiedzią modalną – określona osoba x postępuje w określonej sytuacji w sposób c
 Zbiorem N norm postępowania o uzasadnieniu tetycznym – każda z tych norm orzeka o osobie, która w określonej sytuacji winna postąpić w określony sposób
Porównanie w/w informacji:
1. czyn c osoby x jest nakazany przez normę n należącą do N – art. 19 kpa: Organy administracji publicznej przestrzegają z urzędu swojej właściwości rzeczowej i miejscowej.
2. czyn c osoby x jest zakazany przez normę n należącą do N
a. czyn c osoby x objęty jest wprost zakazem określonym przez normę n, np. art. 190 ksh: Wspólnikowi nie wolno pobierać odsetek od wniesionych wkładów.
b. Działanie c osoby x jest sprzeczne z nakazem zawartym w normie n, np. art. 415 kc: Kto z winy swojej wyrządził drugiemu szkodę, obowiązany jest do jej naprawienia.
c. Działanie c osoby x jest przeciwne do działania nakazanego przez normę n, np. art. 291 & 1 OP: Indywidualne dane zawarte w deklaracji oraz innych dokumentach składanych przez podatników, płatników lub inkasentów objęte są tajemnicą skarbową.
3. Czyn jednostronnie fakultatywny - norma n ze zbioru N stwierdza, że czyn c osoby x nie jest nakazany – adresatom, znajdującym się w takiej samej sytuacji jak osoby x, której dotyczy wyjątkowe traktowanie nakazuje postępować w sposób c, np. wyjątek od używania pasów bezpieczeństwa w art. 39 ust. 2.
4. Czyn jednostronnie dozwolony - norma n ze zbioru N stwierdza, że czyn c osoby x nie jest zakazany – wszystkim adresatom, z wyjątkiem osoby x, której czyn jest jednostronnie dozwolony, zakazuje postępować w sposób c, np. wyjątki mogące pozostawić na drodze samochód z włączonym silnikiem, co dla większości jest zakazane.
5. żadna z norm ze zbioru N nie orzeka niczego o czynie c osoby x – czyn jest niezakazany i nienakazany, np. nie istnieje norma określająca koloru koszuli używanej przez mieszkańca Warszawy.
Zasady przypisywania wartości logicznych
 Nncx – ze względu na normę n czyn c osoby x jest nakazany – ‘x musi czynić c’ przypisujemy wartość prawdy, gdy 1).
 Zncx – ze względu na normę n czyn c osoby x jest zakazany – ‘x musi nie czynić c’ przypisujemy prawdę, gdy 2).
 Dncx – ze względu na normę n czyn c osoby x jest dozwolony – ‘x może czynić c’ przypisujemy prawdę, gdy 1), 4), 5).
 Fncx – ze względu na normę n czyn c osoby x jest fakultatywny – ‘x może nie czynić c’ jest prawdą, gdy 2), 3), 5).
 Incx – ze względu na normę n czyn c osoby x jest indyferentny – ‘x może czynić c’ i ‘x może nie czynić c’ – jeśli oba są prawdziwe to działanie nie jest nakazane ani nie jest zakazane
 Oncx Nncx Zncx – czyn c osoby x jest przedmiotem obowiązku wtedy, gdy jest on nakazany albo jest zakazany przez normę n – wartość logiczna jest równa alternatywie.


Normy kompetencyjne – określają stosunek między organem wyposażonym w kompetencję a organami czy osobami, które mają obowiązek słuchać norm ustanowionych przez wyposażonego.



STOSOWANIE PRAWA
Stosowanie prawa – aktywność organów, osób prawnych lub innych podmiotów upoważnionych do stosowania prawa. Ta aktywność polega na:
 Wiążącym ustalaniu praw lub obowiązków osób albo stanu prawnego w decyzji stosowania prawa, np. wyrok sądu
 Wykorzystaniu kompetencji do działań nie polegających na wydaniu decyzji stosowania prawa, np. egzekucja przez komornika
 Wykonywaniu uprawnień i spełnianiu obowiązków nałożonych przez normy prawne, np. przeprowadzenie procedury przekształcania spółki osobowej w kapitałową.
Proces stosowania prawa
o Analiza okoliczności stanu faktycznego
o Wybór odpowiedniego przepisu
o Interpretacja przepisu w celu uzyskania normy prawnej
o Ustalenie jej mocy obowiązującej
o Analiza treści normy
o Podjęcie decyzji
o Wydanie aktu zawierającego tę decyzję


Ustalenia faktyczne Empiria Przepisy prawne
Ustalenia normatywne  wykładnia
Reguły dowodowe Dyrektywy wykładni
Stwierdzenie zaistnienia określonego faktu
Norma prawne
Subsumcja
Podjęcie decyzji
Wydanie aktu normatywnego
USTALENIE FAKTYCZNE I NORMATYWNE
Trzeba ustalić przed podjęciem decyzji  fakty sprawy – ‘x jest faktem sprawy F’.
 wyróżniony opisowo – ‘x istnieje w czasie t i przestrzeni p’
 wyróżniony oceniająco – ‘x istnieje w czasie t i przestrzeni p’ oraz ocena określonych własności x-a jako przedmiotu oceny
o legalna teoria dowodowa powoduje ograniczenie elementów cennych i sprzyja formalizacji mimo utrudnień związanych z regułą dyspozycyjności stron
o swobodna ocena dowodów poprzez wprowadzenie priorytetu nieskrępowanej oceny dowodu skutkuje powstaniem znacznych luzów decyzyjnych w omawianym procesie stosowania prawa.
Domniemanie prawne – obowiązująca norma nakazuje uznać za udowodniony fakt X, o ile nastąpił fakt Y – przeciwnik procesowy stara się obalić ów domniemanie poprzez wykazanie, że X nie zaistniał.
SUBSUMCJA I PODJĘCIE DECYZJI
Subsumcja – podciągnięcie opisanego stanu faktycznego rzeczy pod pewien wzorzec: normatywny stan rzeczy, ujęty w normie prawnej  (Jest oczywiste, ze jeśli mamy klauzule p(x) oraz p(A), gdzie A to jakaś stała, x natomiast to zmienna, nie ma potrzeby trzymać tej drugiej, bo wynika z bardziej ogólnej klauzuli p(x)).
LUZ W PROCESIE STOSOWANIA PRAWA
 Luzy niezależne od prawodawcy – są z reguły też przez niego niepożądane, wiążą się z dokonywaniem ustaleń faktycznych. Przy dowodach sprzecznych lub pośrednich oraz przy stosowaniu prawa.
 Luzy zależne od prawodawcy – świadomie kreowany, dający pewną swobodę organowi stosującemu prawo. Poprzez klauzule generalną, zwroty szacunkowe, odesłanie do pozaprawnych systemów.
WYKŁADNIA
 Klasyfikacyjna koncepcja wykładni = koncepcja semantyczna intensjonalna – wykładnia sprowadza się do ustalania znaczenia wyrażeń występujących w akcie normatywnym.
 Derywacyjna koncepcja wykładni – wykładnia ma miejsce niezależnie od tego czy poddawany jej tekst prawny jest prosty czy nie.
Wykładnia – ogół czynności zmierzających do ustalenia, jakie normy prawne są zawarte w danym tekście prawnym
 Sensu stricto – ścisłe – obejmuje reguły przekładu przepisów prawnych na normy
 Sensu largo – szerokie – dołącza się inne reguły egzegezy tekstów prawnych – kolizyjne czy dotyczące wnioskowań prawniczych.
Teorie wykładni
 Opisowa – zaprezentowanie opisu, w jaki sposób jest dokonywana wykładnia, czyli jaki ma ona przebieg i na jakich zasadach się opiera oraz bada przyczyny, które powodują, że tak właśnie przedstawia się proces interpretacji prawa  jak była, jest i będzie dokonywana wykładnia oraz jakie są tego przyczyny.
 Normatywna – formułowanie zaleceń, jak należy prowadzić wykładnię.
 Statyczna – punktem wyjścia jest ‘wola ustawodawcy’ – znaczenie aktu jest takie samo przez cały czas.
 Dynamiczna – znaczenie aktu może się zmieniać.
Podział wykładni ze względu na sposób ich prowadzenia:
1) Językowa – odkodowanie norm prawnych z przepisów prawnych przy wykorzystaniu reguł semantycznych i syntaktycznych języka potocznego i prawnego.
2) Systemowa – interpretacja jest dokonywana w sposób zupełny i niesprzeczny systemu prawa.
3) Funkcjonalna – nadaje się normie znaczenie, uwzględniając warunki, w jakich ta norma ma funkcjonować.
Dyrektywy wykładni – reguły mówiące jak dokonywać wykładni:
I. stopnia
 Językowa
 W interpretowanym tekście nie ma zbędnych elementów, np. trzeba uważać na przecinki
 Interpretowanym zwrotom nie można bez powodów przypisywać znaczenia odbiegającego od ich znaczenia z języka potocznego
 Jeden wyraz – jedno znaczenie
 Dwa wyrazy – dwa znaczenia – różne brzmienie, różne znaczenie, np. zawieszenie i przerwanie.
 Systemowa
 Wyinterpretowana norma nie może być w niezgodności z innymi
 Argumentum a rubrica – punktem odniesienia staje się systematyka wewnętrzna interpretowanego aktu
 Funkcjonalne – musi pozostać cel regulacji przy uwadze społeczeństwa
 Celowościowa – teleologiczna – musi pozostawiony być cel. Schemat wykładni:
1) P jest celem interpretowanego tekstu prawnego i cel ten należy zrealizować
2) Przypisanie tekstowi T znaczenia M jest środkiem realizacji celu P
3) Tekstowi T należy przypisać znaczenie M
 Genetyczna –
a. Bezpośredni argument genetyczny – bezpośrednie odwoływanie się do woli prawodawcy
b. Argument subiektywno-teleologiczny – uwzględnienie celu lub całej kombinacji celów – rekonstruowana norma stanowić ma środek niezbędny do realizacji celów.
II. Stopnia – dotyczą dyrektyw I stopnia
 Reguła głosząca, że w pierwszej kolejności stosuje się dyrektywy językowe, a w drugiej systemowe.
Reguły kolizyjne – umożliwiają usuwanie niezgodności między wyinterpretowanymi normami poprzez uznanie jednej z tych norm za nieobowiązującą.
 Hierarchiczna – lex superior derogat legi inferiori = norma wyższego rzędu uchyla normę niższego rzędu – norma rangi ustawowej nad rozporządzeniem. - 1
 Chronologiczna – lex posteriori derogat legi priori = norma późniejsza uchyla normę wcześniejszą. - 3
 Merytoryczna – lex specialis derogat legi priori = norma szczególna uchyla ogólną – norma szczegółowa określa pewne aspekty generalnej. - 2
Postacie niezgodności norm:
 Prakseologiczna – możliwe jest zrealizowanie tych dwu norm, jednakże skutki spełnienia jednej z nich będą niweczyć to, co miało być osiągnięte po zrealizowaniu drugiej z tych norm. Np. normy ‘połóż na stole książkę stojącą na półce’ i ‘postaw na półce książkę leżącą na stole’.
 Formalna – nie jest możliwe postąpienie zgodnie z dyspozycjami obu pozostających ze sobą kolizji norm. Zrealizowanie jednej uniemożliwia zrealizowanie drugiej
 Sprzeczność – spełniona jedna norma, a druga nie, np. kup samochód – nie kupuj samochodu
 Przeciwieństwo – nie można postąpić zgodnie z dwiema normami, ale można nie zrealizować dwóch, np. sprzedaj swój samochód – podaruj ojcu swój samochód.



WNIOSKOWANIE PRAWNICZE
Rozumowanie inferencyjne – najpierw z przepisów wykładni wyinterpretowana zostaje norma N1, a następnie poprzez zastosowanie reguł inferencyjnych z tejże normy wyprowadza się normy N2, N3 … Nn, które posiadają taką samą moc obowiązującą jak norma N1.
Rodzaje wnioskowań:
 Instrumentalne wynikanie norm z norm = z celu na środki – chcąc zrealizować określoną normę stanowiącą nasz cel, niezbędne jest zrealizowanie szeregu innych norm będących środkami = instrumentami prowadzącymi do tego celu  zachodzi tylko między zdaniami w sensie logicznym: ‘ze zdania o obowiązywaniu normy N1 wynika zdanie o obowiązywaniu normy N2. np. N1 nakazuje hydraulikowi dyżurującemu być gotowym do natychmiastowego usuwania awarii, a według dyrektywy instrumentalnego nakazu wynika N2 nakazująca mu mieć narzędzia, a dyrektywa instrumentalnego zakazu powoduje, że za obowiązującą normę uznamy N3 zakazującą mu wyjścia z domu podczas dyżuru.
 Argumentum a simili = wnioskowanie z podobieństwa
 Per analogiam legis = przez analogię z ustawy – odnosimy się do wyinterpretowaną normę do danego stanu faktycznego, który wprost nie zawiera się w zakresie zastosowania tej normy, ale wykazuje podobieństwo do stanu faktycznego określonego w tym zakresie. Np. zakaz strzelania do pianisty – obejmuje też innych muzyków, ale już nie barmanów.
 Analogia iuris = przez analogię z prawa – z szeregu wyraźnie ustanowionych norm dotyczących danej dziedziny ustala się indukcyjnie, jakimi ocenami kierował się prawodawca, a następnie przyjmuje się, że określone w ten sposób zapatrywania aksjologiczne będą miały zastosowanie także w innych sytuacjach z tej dziedziny, co umożliwia stworzenie normy odnoszącej się do stanu faktycznego, nie objętego regulacją. Np. przedawnienie, zasiedzenie, odpowiedzialność za długi spadkowe – prawodawca chroni małoletnich w tych sprawach.
 Kwestia dopuszczalności – ‘lub w sytuacjach podobnych’
 Kwestia niedopuszczalności – ‘tylko w tym przypadku’, np. w prawie karnym odpowiada się tylko za precyzyjnie określony czyn zabroniony przez to prawo.
 Argumentum a contrario = z przeciwieństwa – czy okoliczności danego przypadku zawierają się w tym zakresie – jeżeli N1 znajduje zastosowanie w sytuacji S1, to w S2 już jej nie stosujemy, przy założeniu, że S2 jest inna niż S1. np. jeżeli wszyscy mężczyźni w określonym wieku muszą się zgłosić do wojska, to a contrario są wszyscy ci, którzy nie muszą.
 Kwestia niezawodności
 (p  q)  (~p  ~q) – zawodne - jeżeli ktoś ukończył 18 lat, to jest pełnoletni, a więc jeżeli ktoś nie ukończył 18 lat, to nie jest pełnoletni – art. 10 & 2 – nieletni przez zawarcie małżeństwa zyskuje pełnoletność.
 (p  q)  (~p  ~q) - niezawodne
 (p q)  (~p  ~q) - niezawodne
 Argumentum a foritori = z uzasadnienia słabszego na silniejsze w oparciu o założenie konsekwencji ocen prawodawcy.
 A minori ad minus = z większego na mniejsze – jeżeli komuś nakazano lub dozwolono czynić więcej, to tym bardziej nakazano lub dozwolono czynić mniej, np. jeżeli sąd może skazać świadka za nieusprawiedliwione niestawiennictwo na 1000 zł grzywny, to tym bardziej może skazać go na 500 zł grzywny.
 A minori ad maius = z mniejszego na większe – jeżeli komuś zakazano czynić mniej, to tym bardziej zakazano mu czynić więcej, np. jeżeli zakazane jest palenie papierosów na stacji benzynowej to tym bardziej zakazane jest rozpalanie ognisk tam.