Ruch jednowymiarowy

Zajmiemy się opisem ruchu rozumianym jako zmiany położenia jednych ciał względem innych, które nazywamy układem odniesienia. Zwróć uwagę, że to samo ciało może poruszać się względem jednego układu odniesienia a spoczywać względem innego. Oznacza to, że ruch jest pojęciem względnym.

Prędkość
Prędkość jest zmianą odległości w jednostce czasu.

Prędkość stała
Jeżeli ciało, które w pewnej chwili t0 znajdowało się w położeniu x0, porusza się ze stałą prędkością v to po czasie t znajdzie się w położeniu x danym związkiem

x-x0 = v(t-t0)

czyli
(2.1)

Interpretacja graficzna: prędkość to nachylenie prostej x(t) (różne nachylenia wykresów x(t) odpowiadają różnym prędkościom).
Wielkość v (wektor) może być dodatnia albo ujemna, jej znak wskazuje kierunek ruchu !!! Wektor v ujemny to ruch w kierunku malejących x.

Prędkość chwilowa
Jeżeli obiekt przyspiesza lub zwalnia to wskazania szybkościomierza nie zgadzają się ze wyrażeniem (2.1) chyba, że weźmiemy bardzo małe wartości x - x0 (Dx) czyli również bardzo małe t?t0 (Dt). Stąd prędkość chwilowa:

Tak definiuje się pierwszą pochodną, więc

(2.2)
Prezentacja graficzna

Prędkość chwilowa - przejście od siecznej do stycznej. Nachylenie stycznej to prędkość chwilowa (w chwili t odpowiadającej punktowi styczności).

Prędkość średnia
Średnia matematyczna. Znaczenie średniej - przykłady. Przykłady rozkładów niejednostajnych - czynniki wagowe.
Przykład 1
Samochód przejeżdża odcinek 20 km z prędkością 40 km/h a potem, przez następne 20 km, jedzie z prędkością 80 km/h. Oblicz prędkość średnią.

t1 = x1/v1 = 20/40 = 0.5 h
t2 = x2/v2 = 20/80 = 0.25 h

= 53.33 km/h

a nie 60 km/h; (wagi statystyczne). Ponieważ viti = xi więc

(2.3)

przesunięcie wypadkowe/czas całkowity.
Przykład 2
Korzystamy z wartości średniej do obliczenia drogi hamowania samochodu, który jedzie z prędkością 25 m/s (90 km/h). Czas hamowania 5 sekund. Prędkość maleje jednostajnie (stała siła hamowania). Prędkość średnia 12.5 m/s (45 km/h).
Z równania (2.3) x - x0 = 12.5?5 = 62.5 m.
To najkrótsza droga hamowania. Wartość średnia daje praktyczne wyniki. Ten przykład wprowadza nas do omówienia przyspieszenia.

Przyspieszenie
Przyspieszenie to tempo zmian prędkości.

Przyspieszenie jednostajne i chwilowe
Prędkość zmienia się jednostajnie z czasem czyli przyspieszenie

(2.4)
jest stałe.
Gdy przyspieszenie zmienia się z czasem musimy wtedy ograniczyć się do pomiaru zmian prędkości Dv w bardzo krótkim czasie Dt (analogicznie do prędkości chwilowej). Odpowiada to pierwszej pochodnej v względem t.

(2.5)

Ruch jednostajnie zmienny
Często chcemy znać zarówno położenie ciała i jego prędkość. Ze wzoru (2.4) mamy
v = v0 at. Natomiast do policzenia położenia skorzystamy ze wzoru (2.3).

Ponieważ w ruchu jednostajnie przyspieszonym prędkość rośnie jednostajnie od v0 do v więc prędkość średnia wynosi

= (v0 v)/2
Łącząc otrzymujemy
x = x0 (1/2) (v0 v)t

gdzie za v możemy podstawić v0 at. Wtedy

x = x0 (1/2) [v0 (v0 at)]t
więc ostatecznie
(2.6)
Dyskutując ruch po linii prostej możemy operować liczbami, a nie wektorami bo mamy do czynienia z wektorami równoległymi. Jednak trzeba sobie przy opisie zjawisk (rozwiązywaniu zadań) uświadamiać, że mamy do czynienia z wektorami.
Przykład 3
Dwa identyczne ciała rzucono pionowo do góry z prędkością początkową v0 w odstępie czasu Dt jedno po drugim. na jakiej wysokości spotkają się te ciała?
Dane: v0, Dt, g - przyspieszenie ziemskie.

Możemy rozwiązać to zadanie obliczając odcinki dróg przebytych przez te ciała:
1) , v = v0 - gtg, v = 0
2)
3) , tg td = t Dt
Trzeba teraz rozwiązać układ tych równań.
Można inaczej: h - to położenie czyli wektor (nie odcinek). Podobnie v0t i (1/2)gt2.
W dowolnej chwili h jest sumą dwóch pozostałych wektorów. Opis więc jest ten sam w czasie całego ruchu (zarówno w górę jak i w dół).
Sprawdźmy np. dla v0 = 50 m/s, g = 10 m/s2; więc równanie ma postać: h = 50t-5t2. Wykonujemy obliczenia przebytej drogi i wysokości w funkcji czasu i zapisujemy w tabeli poniżej

czas [s] położenie (wysokość) droga [m]
0 0 0
1 45 45
2 80 80
3 105 105
4 120 120
5 125 125
6 1 w dół 120 130 5 (w dół)
7 2 105 145 20
8 3 80 170 45
9 4 45 205 80
10 5 0 250 125

Opis matematyczny musi odzwierciedlać sytuację fizyczną. Na tej samej wysokości h ciało w trakcie ruchu przebywa 2 razy (w dwóch różnych chwilach; pierwszy raz przy wznoszeniu, drugi przy opadaniu). Równanie musi być więc kwadratowe (2 rozwiązania). Rozwiązaniem równania (1/2)gt2 - v0t h = 0 są właśnie te dwa czasy t1 i t2.
Z warunku zadania wynika, że t1 - t2 = Dt. Rozwiązanie:

Pamiętanie o tym, że liczymy na wektorach jest bardzo istotne. Szczególnie to widać przy rozpatrywaniu ruchu na płaszczyźnie.