Moment bezwładności

1. Moment

Momenty - pierwsze człony grupy wielkości fizycznych stosowanych w fizyce, mechanice i wytrzymałości materiałów. Są używane, gdy mamy do czynienia z ruchem nieprostoliniowym. Mogą mieć różne jednostki. Często występują w odmianach: względem punktu (bieguna) Mo lub względem prostej (osi) Ml. M. in. mamy
momenty: pędu L, siły M, masowy J, pola, linii.
Przykłady momentów (M.):
· M. mające jednostkę SI: m.N = N.m = kg.m2/s2 = kg.m2.s-2 (m.in.: zginający, skręcający)
· Moment siły (lub układu sił - Moment główny) względem punktu
· M. siły względem osi
· M. mający jednostkę: m.(kg.m/s) = kg.m2/s. Jest to Moment pędu czyli kręt. Może być spinowy, zwany spinem (lub orbitalny)
· M. mający jednostkę: kg.m2. Jest to tzw. masowy Moment bezwładności lub Moment bezwładności ciała względem osi
· M. mające jednostkę: m4. Są to tzw. Moment bezwładności figury względem: osi albo bieguna
· M. mający jednostkę m3. Jest to tzw. Moment statyczny linii względem osi
· M. mający jednostkę m2. Jest to tzw. Moment statyczny pola względem osi


2. Moment bezwładności

Moment bezwładności, miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym. Charakteryzuje rozkład masy w ciele. Moment bezwładności ciała względem osi z nazywane jest wyrażenie:


gdzie mi - masy elementów ciała odległe każda o ri od osi z

Dla ciągłego rozkładu masy w ciele sztywnym moment bezwładności definiowany jest wzorem całkowym:



gdzie: ρ - funkcja opisująca gęstość ciała, V - objętość ciała, dV - element objętości, r - odległość elementu dV od osi z.
Energia w ruchu obrotowym ciała sztywnego opisana jest wzorem: E=(Iω2)/2. Moment bezwładności względem osi z' równoległej do z, odległej od niej o D wyraża się wzorem:

Iz=Iz'+MD2

gdzie: M - masa ciała, jest to tzw. twierdzenie Steinera, podane przez matematyka szwajcarskiego J. Steinera.
Zdefiniowane powyżej momenty bezwładności są wielkościami skalarnymi, w ogólnym przypadku moment bezwładności jest tensorem trzeciego rzędu, wyrazy na przekątnej (w reprezentacji macierzowej tensora) są momentami bezwładności obliczonymi względem trzech wzajemnie prostopadłych osi przedmiotu, np.:
lub - dla ciągłego rozkładu masy - odpowiedni wzór całkowy), wyrazy poza przekątną nazywane momentami odśrodkowymi zdefiniowane są następująco (lub przez odpowiednie wzory całkowe):




Znając składowe tensora momentu bezwładności możliwe jest obliczenie momentu bezwładności względem dowolnej prostej l przechodzącej przez początek układu współrzędnych x,y,z, wówczas:

Il=Ixxα2+Iyyβ2+Izzγ-2Ixyαβ-2Iyzβγ-2Izxγα


3. Wyznaczanie momentu bezwładności za pomocą przyrządu Hartle'a


OPIS TEORETYCZNY

Do opisu ruchu obrotowego bryły sztywnej . należy uwzględnić wielkości nieistotne przy opisie ruchu postępowym ciała. W tym wypadku bowiem rozmiary bryły, przestrzenny rozkład masy a także oś, względem której może się ona obracać odgrywają istotne znaczenie. I dlatego:
· do określenia bezwładności bryły nie wystarczy podanie tylko jej masy, lecz należy zdefiniować moment bezwładności I
· każdy punkt obracającej się bryły ma inną prędkość liniową, zatem niezbędne staje się wprowadzenie pojęcia prędkości kątowej , która jest wspólna dla całej bryły.
· energia kinetyczna obracającej się bryły zależy nie tylko od masy ciała i prędkości poruszania się środka masy bryły, ale również od prędkości kątowej bryły i jej momentu bezwładności względem osi obrotu.

Korzystając z definicji momentu bezwładności można, bez bez większego trudu, wyprowadzić wzór na moment bezwładności dla kilku regularnych brył, szczególnie dla jednorodnych brył obrotowych. Również w literaturze można spotkać przykłady takich wzorów. Jednak, aby wyznaczyć moment bezwładności konkretnego ciała, trzeba uciec się często do doświadczenia. Przykładem przyrządu służącego do doświadczalnego wyznaczenia momentu bezwładności jest przyrząd Hartle'a.
CEL ĆWICZENIA

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie momentu bezwładności kilku tarcz metalowych i sprawdzenie czy otrzymane wyniki zgadzają się z obliczonymi na podstawie teoretycznego wzoru.
METODA POMIAROWA

Układ pomiarowy składa się z:
· umocowanego na poziomej osi bloku A, na który nawinięta jest nić
· zestawu metalowych tarcz B, które można mocować na osi bloku A
· dwóch odważników o znanych masach m1
i m2, wieszanych na końcu nici i wprawiających w ruch obrotowy blok i badane tarcze,
· podziałki milimetrowej służącej do pomiaru drogi przebywanej przez opadający ciężarek,
· układu elektronicznego pomiaru czasu trwania ruchu o dokładności 0,01s.
Idea pomiaru polega na zamianie energii potencjalnej odważnika (zawieszonego na nici nawiniętej na bloku i opadającego pod wpływem siły ciężkości) na energię kinetyczną. Na tę energię kinetyczną składa się na energia kinetyczna ruchu postępowego odważnika i energia kinetyczna ruchu obrotowego bloku z tarczą. Część tej energii potencjalnej jest, niestety, tracona na wykonanie pracy przeciwko siłom tarcia T. Aby wyeliminować tę, niewygodną do wyznaczenia, stratę, wykonujemy dla każdej tarczy pomiary przy użyciu dwóch różnych odwazników o znanych masach m1 i m2. Oznaczając odpowiednio symbolami:
Eko -energię kinetyczną odważnika na nitce,
Ekb -sumę energii kinetycznej bloku z nicią i tarczy
Ep -energię potencjalną odważnika na nitce,
WT -pracę sił tarcia hamującego ruch (tarcie w osi bloku, tarcie nici o blok itp.),
Zasadę zachowania energii możemy zapisać dla tego układu następująco:

Podstawiając odpowiednie wzory i uwzględniając to, że praca sił tarcia przy niewiele różniących się masach odważników jest praktycznie taka sama, otrzymamy dla odważników m1 i m2 dwa równania:


Po odjęciu stronami i przekształceniu otrzymamy na moment bezwładności wzór:

Korzystając ze wzoru na związek prędkości kątowej z liniową:

a następnie na drogę ciężarka w ruchu jednostajnie przyspieszonym, z prędkością początkową równą zero

wyeliminujemy trudne do bezpośredniego pomiaru prędkości v i , otrzymując ostatecznie zależność:

CZYNNOŚCI POMIAROWE

1. Wyznaczamy masy wszystkich badanych tarcz
2. Mierzymy średnice bloku i wszystkich badanych tarcz i obliczamy ich promienie (odpowiednio r i R)
3. Dla każdej tarczy mierzymy czasy t1 i t2 opadania ciężarków m1 i m2 na ustalonym odcinku drogi h. Należy pamiętać, aby rozpoczynać pomiary czasu od prędkości początkowej odważnika równej zero.
4. Pomiary dla każdej tarczy i każdego odważnika przeprowadzamy co najmniej trzykrotnie.
5. Pomiary opisane w punkcie 3 powtórzyć bez tarcz, aby wyznaczyć moment bezwładności bloku i pozostałych niezmiennych części układu.