Dowody na twierdzenie Pitagorasa

Dowód 1
W każdym trójkącie prostokątnym kwadrat długości najdłuższego boku (przeciwprostokątnej) jest sumą kwadratów długości dwóch pozostałych boków (przyprostokątnych). Dlaczego? To proste:

Z czterech jednakowych trójkątów i dwóch mniejszych kolorowych kwadratów można ułożyć duży kwadrat. Ten sam duży kwadrat da się ułożyć z czterech trójkątów, doklejonych do czterech boków żółtego kwadratu. To zaś oznacza, że pole żółtego kwadratu jest równe sumie pól kwadratów niebieskiego i zielonego.

Dowód 2 (Twierdzenie Bhaskary)
Długość przeciwprostokątnej, oznaczona jako c, w trójkącie prostokątnym, gdzie długość przyprostokątnych to a i b (przy założeniu, że a > b). Umieśćmy cztery "kopie" naszego trójkąta, tak aby przylegały do siebie jak na rysunku.

Utworzą one czworokąt (jak na rysunku), który jest kwadratem, ponieważ wszystkie cztery trójkąty są prostokątne. Bok tego kwadratu ma długość a - b. Zatem, licząc pole dużego kwadratu, oznaczonego jako c^2, otrzymujemy równanie:

c^2 = (a - b)^2 + 2ab,

co jest równoznaczne z twierdzeniem Pitagorasa: a^2 + b^2 = c^2.

Warto zauważyć, że ten dowód nie jest w pełni poprawny w przypadku a = b, gdyż wtedy kwadrat "zwęża się" do punktu.

Wersja przestrzenna:
W prostopadłościanie kwadrat przekątnej jest równy sumie kwadratów trzech jego boków.