Jak liczono kiedyś?

Liczenie jest dziś powszechną, codzienną czynnością. Ludzie liczą we wszystkich zawodach. Gdyby się przyjrzeć zawodom ludzi stwierdzamy, że używane w różnych zawodach liczby występują w różnych postaciach i służą do różnych celów. Również sposoby liczenia nie wszędzie są jednakowe. Od najprostszych pamięciowych, poprzez liczenie piśmienne, posługiwanie się liczydłem, suwakiem logarytmicznym, wszelkiego rodzaju maszynami do liczenia aż do dużych maszyn cyfrowych i współczesnych komputerów. Mimo tej olbrzymiej różnorodności można w niej znaleźć pewne elementy wspólne. Są nimi nasze cyfry 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Obraz dzisiejszego procesu liczenia to owe 10 cyfr w rozmaitych kombinacjach, w połączeniu z wieloma znakami matematycznymi.

Dawno temu, kiedy ludzie nie znali jeszcze żadnego pisma i ich mowa była jeszcze stosunkowo prymitywna, jedynymi liczebnikami były słowa jeden, dwa, wiele. Aby wyrazić 3,4,5,6 używali kombinacji słów: jeden, dwa (np. 5 = 2,2,1). Aby powiedzieć liczbę powyżej 6 trzeba było mówić wiele. Nie znaczy to jednak, że plemiona te nie potrafiły zrozumieć i pojąć większych liczb, mimo nieistnienia odpowiednich liczebników. Ludzie oceniali wtedy „na oko”. Myśliwi potrafili na przykład określić ile zwierzyny złowili. Ludziom tej epoki nie można jednak przypisać znajomości pewnych liczb w tym sensie, jak to dziś rozumiemy. Liczebnikowi zawsze wtedy przypisywano przedmiot, który miał być policzony: 5 krów, 10 strzał, 20 wojowników itd., ponieważ liczba jest pojęciem abstrakcyjnym (a ludziom wtedy do zrozumienia rzeczy abstrakcyjnych było daleko). Pojecie liczby nie związanej ze zbiorem pewnych przedmiotów powstało znacznie później. Zasadniczą rolę odegrały tu równoliczne zbiory przedmiotów, a więc takie zbiory, których wszystkie przedmioty dają się zestawić „parami”: np. 5 krów i 5 koni – zestawiając każdą krowę z jednym koniem mamy jednocześnie zestawienie każdego konia z jedną krową. W ten sposób ludzie mogli dojść do pojęcia „liczebności” przedmiotów, przy czym pojęcie to było zupełnie niezależne od rodzaju tych przedmiotów. Dopiero tą drogą mogło powstać abstrakcyjne pojęcie liczby.

W miarę jak liczenie stawało się coraz częstszą czynnością życia codziennego, musiały też powstać pierwsze „narzędzia” ułatwiające tę czynność. Pierwszym przyrządem do liczenia były palce jednej ręki, następnie dwóch rąk. Powstawały tak zwane „łańcuchy odliczeniowe”.

Z czasem powstała potrzeba zapisu liczby przedmiotów. Najstarszym znanym sposobem jest narysowanie odpowiedniej liczby kresek, zrobienie odpowiedniej liczby nacięć na patyku lub na ziemi. Karby, rysy, węzły czy też pręty – to pierwsze symbole liczb naturalnych.

Następny etap liczenia to liczenie grupami. Najwcześniej pojawia się liczenie parami, występuje grupowanie po 12, którego pozostałości widzimy u nas w liczeniu na tuziny i grosy (12 tuzinów). Zdecydowanie częściej używa się grupowania po 5 (liczba palców jednej ręki).

Równocześnie pojawia się liczenie po 10.

Następnym krokiem w liczeniu jest wielokrotne grupowanie. Jeżeli np. grupowało się po 5 patyczków, to z kolei grupuje się pewną ilość wiązek po 5 patyczków – otrzymując „kupkę”. Z kolei grupując pewną liczbę „kupek’ itd.

Społeczeństwo pierwotne rozwijało się jednak ciągle. Pojawia się piśmiennictwo. Znaki egipskie moglibyśmy uznać za niedoskonały układ dziesiętny. Liczby 1,10,100,1000 maja tu znaczenie zasadnicze, odpowiadają one wielokrotnemu grupowaniu. Dość zbliżony typ przedstawia pismo fenickie, syryjskie i ateńskie. Inaczej zbudowane są cyfry rzymskie. Występują tu wyraźnie pozostałości liczby węzłowej 5 (oddzielne znaki dla 5,50,500) i zasada odejmowania liczb odpowiadających symbolom stojącym z lewej strony innego symbolu. Mamy więc kolejno:
I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII L C D M
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 50 100 500 1000

Następnym etapem rozwoju układów liczbowych było wprowadzenie liter alfabetu jako znaków liczbowych.

System egipski i obydwa systemy greckie są addytywne, to znaczy, że każdy pojedynczy znak ma swoją wartość, a wartość układu takich liczb–znaków jest równa sumie wartości poszczególnych znaków. System arabski, rozpowszechniony przez Arabów w Europie w X, XIII w. jest pozycyjny, tzn. wartość znaku zależy od miejsca, w którym jest napisany. System babiloński jest mieszany: liczby od 1 do 59 oznaczane są za pomocą znaków (jeden) i < (dziesięć). Liczby większe od 59 oznaczano za pomocą znaków liczb 1- 59 ( i znaku oznaczającego zero) metodą pozycyjną sześćdziesiątkową. System sześćdziesiątkowy, którym posługiwali się Ptolemeusz i Leonardo da Vinci, stosowany był w Europie aż do wprowadzenia ułamków dziesiętnych. W spadku po astronomach chaldejskich używamy dziś częściowo systemu sześć dziesiątkowego przy mierzeniu kątów i czasu.

Starożytni Majowie używali dwudziestkowego systemu liczenia. Liczby od 1 do 19 zapisywali „obrazkowo”- kropka-1, kreska-5. Liczby większe zapisywali pozycyjnie: najpierw liczba jedności (od 0 do 19), pod nią liczba dwudziestek (od 0 do 19), pod nią liczba „dwudziestek dwudziestek”, czyli „czterechsetek” itd.

We wszystkich wymienionych systemach (oprócz Majów) liczba 10 miała specjalny znak i w ten sposób była wyróżniona. Ale dlaczego właśnie liczba 10? – bo jest to liczba okrągła.