Metody numeryczne (macierze, układy różniczkowe,

1- Algebra macierzy – równania liniowe
Gauss- polega na kolejnej eliminacji niewiadomych w systematyczny sposób prowadzący do układu trójkątnego który można łatwo rozwiązać. Eliminację interpretujemy jkao wyznaczanie ciągu macierzy A=A1,A2,….AN i wektorów b=b1,b2,,,,,…bN Ax=b (Wzór macierzy )
Konstrukcja elementów macierzy w ciągu macierzowym Ai i wektorów w ciagu bi :

mji=-aiji/aiii i=1,2,3,…N-1 j,k=i+1,i+2,….N
po dojściu w ciagu macierzowym Ai i wektorowym bi do pozycji i = N otrzymuje się układ równoważny układ trójkątny do Ax=b i równy A Nx=bN który rozwiązuje się przez podstawienie wstecz:
(i=N, N-1,..1)
-Wskaźnik Uwarunkowania
Mając zadaną macierz A oraz wektor b oraz moduł ukadu równań liniowych Ax=b . Zakłocając wektor b o wektor δb otrzymujemy : A(x+δx)=b +δb z którego wynika oszacowanie zaburzenia δx rozwiązania :
||δx||/||x||≤k(A)*||δb||/||b|| k(A)= ||A||*||A-1||
Wsk uwarunkowania macierzy A względem danej normy.
Jeżeli przyjmujemy zakłócenie macierzy δA to mamy :
(A+δA)*(x+δx)=b z którego wynikają zaburzenia δx
||δx||/||x+ δx ||≤k(A)*||δA||/||A|| Jeżeli k(A) jest duzy to małe zaburzenia względne macierzy A i wektora b mogą spowodować duże zaburzenia względne wektora x. w takim przypadku układ równań Ax=b jest żle uwarunkowa.
Obliczanie wyznacznika
Polega na przekształceniu macierzy A za pomocą ciągu {Ai}w macierz trójkątną górną AN dla której wyznacznik jest równy det AN=i=1ПN aiiN . Przy wyborze elementu głownego moga wystąpić przestawienia wierszy (M) . Gdy uwzględnimy wzór na det A oraz że wartość wyznacznika nie ulega zmianie , jeśli do dowolnego wiersza dodaje się iloczyn innego wiersza przemnożonego przez liczbe , oraz że wartość det A zmienia znak przy zmianie dwóch wierszy otrzymujemy : det A =(-1)MdetAN=(-1)M i=1ПN aiiN
M -liczba przestawień wierszy w ciągu macierzowym {Ai}
Obliczanie macierzy odwrotnej met elimin gaussa.
Macierza odwrotną macierzy kwadratowej A=[aij](i,j=1,2,..N) nazywamy macierz B=[bij](i,j=1,2,.N)
Dla której AB=1 1-macierz jednostk . Warunkiem koniecznym aby macierz A miała macierz odwrotną jest by jej wyznacznik det A≠0 . wykazuje się że elementy macierzy odwrotnej B mac. A wynosi bij=(-1)i+j*(Aji/det A)
Gdzie Aji to det macierzy (N-1) stopnia otrzymanej z macierzy kwadratowej A przez skreślenie j- wiersza i i–tej kolumny
Metoda Crouta Bazuje na twierdzeniu o rozkładzie gdzie dowolną macierz nieosobliwą A rzedu N o elementach aij gdzie aii≠0 można przedstawić jako iloczyn macierzy trójkąnej dolnej L z niezerowymi elementami na głównej przekątnej lkk≠0 oraz trójkątnej górnej U z jedynkami na głownej przekątnej ukk=1 L*U=A . Jeżeli dokonamy rozkąłdu macierzy A na czynniki LU to równanie Ax=b ma postać Ax=LUx=b rozwiązanie to przekształcamy do postaci Ly=b Ux=y

Rozwiązywanie Równań nieliniowych
1. met Newtona niech X jest i-tym przyblirzenem pierwiastka rów wektorowego X=Xi+εi gdzie εi= εi1, εi2.. εiN jest wektorem Bledu pierwiastka. Po przekształceniach otrzymujemy F(Xi+εi)=0 Jeżeli F(X) jest różniczkowalna w sposób ciągły w pewnym obszarze wypukłym zawierającym X i Xi rozwijamy lewą strone równania w szereg potęgowy względem εi ograniczając się do czynnika liniowego F(Xi+εi)=F(Xi)+ F’(Xi) εi=0 gdzie :
F’(X)=Ә F(X)/ ӘX=W(X)=[ Әfk(x1,x2,..xN)/ Әxj] jest NxN- wymiarową macierzą jacobiego
2. Metoda Gradientowa
układ Równan nieliniowych (w postaci wektorowej gdze funkcje fk(x1,x2…xN) (k=1,2..M) w układzie tym, są różniczkowalne w sposób ciągły w pewnym obszarze i definiuje się: U(X)=Σ[fk(X)]2 jeżeli M=N to każde rozwiązanie układu jest zerem funkcji. Jeżeli M>N to lokalne min funkcji jest psedorozwiazaniem nadokreslonego układu F(X)=0 . metode te stosuje się do rozwiązywania równań nieliniowych nadokreślonych. W metodzie tej jako kolejny i–ty kierunek poprawy Di:
Xi+1=Xi+ Di Proces kolejnych przybliżeń przyjmuje postać Xi+1=Xi-μiWt(Xi)F(Xi) (i=0,1,2,3,,,,)

Układy zwyczajnych równań różniczkow nieliniowych
Równanie różniczkowe, rodzaj równania, w którym występuje pochodna (oraz ewentualnie pochodne wyższych rzędów ) funkcji niewiadomej (równanie różniczkowe zwyczajne) lub pochodne cząstkowe niewiadomej funkcji (równanie różniczkowe cząstkowe).
Metoda roungego – Kutty jest wyrażenie róznicy wartości X(t) w punktach ti+1,ti w postaci Xi+1-Xi= ΣwjKj wj-stałe Kj- wektory które wyrażają się wzorami :
Kj=hjF[Xi+ ΣβtjKl,ti+αihi] hi=ti+1-ti oznacz krok całkow
W metodzie Rungego –kutty można zmienic krok całkowania w każdej iteracji.należy wyznaczyć wspólczyniki αiβlj oraz liczb Wi . algorytm4rzedu:
K1=hF(Xn,tn)
K2=hF(Xn+1/2K1,tn+1/2h)
K3=hF(Xn+1/2K2,tn+1/2h)
K4=hF(Xn+K3,tn+h)
Xn+1=Xn+1/6(K1+2K2+2K3+K4)
-Dyskretyzacja – błąd dyskretyzacji definiujemy jako :
E(ti+h;h)=-X(ti+h;h)+X(ti+h), X(ti+h)-rozwiazanie w dokładne w chwili ti+h . X(ti+h;h) – rozwiązanie przybliżone w chwili ti+h
Sposób oszacowania wektora:
E(ti+H;H)=-X(ti+H;H)+X(ti)≈2E’k(ti)(H/2)k+1
Metoda Fehlberga
Metoda felberga pozwala zmniejszyc koszt numeryczny obliczeń z metody rzedu k+1 do metody k bez dokonywania dodatkowych obliczeń . W metodzie feul tworzymy pary metod włożonych k-tego rzędu i M—etapowej Kj=hjF[Xi+ ΣβtjKl,ti+αihi] hi=ti+1-ti
Wynik obliczeń za pomocą metody M+1 – etapowej
Xi+1=Xi+ΣwjKj
Algorytm metody Feulberga:
K1=hF(Xi,ti)
K2=hF(Xi+1/2K1,ti+1/2h)
K3=hF(Xi+1/256K1+255/266K2,ti+h)

Xi+1=Xi+1/512(K1+512K2+K3)


Praktyka przekształceń Fouriera
Przekształcenie Fouriera stosujemy w : elektrotechnice , optyce,akustyka teoria prwadopodo, fizyka kwantowa, równania różniczkowe czastkowe, analiza sygnałów. Pozwala w ustaleniu zależności miedzy sygnałem a widmem amplitudowym i fazowym jego sinusoidalnych składników . funkcja f(t) jako suma wykładniczego szeregu fouriera: f(t)=1/2ΣFkexp(jkω1t)
Współczynnik skali: Δt=T/N – (okres próbkowania)

Odwrotna dyskretna transformata Fouriera: fl=1/2ΣFkUkl
-wyznaczanie sumy szeregu Fouriera Fl=1/NΔtΣFkUkl – do wyznaczania transformacji odwrotnej fouriera. Porównując powyższe wzory i pomijając wspolczynik skali uzyskamy wzór na odwrotna dyskretną trnsfor Fouriera.
Definicja dyskretnej prostej : Fk=2/NΣf1Wkl - współczynnik szeregu F , Fk=ΔtΣf1Wkl –ciąg transformat fouriera porównując powyższe wzory różnia się one tylko współczynnikiem skali. Pomijając wsp skali możemy zdefiniować dyskretną transformacje Fouriera ciagu próbek w postaci fl: Fk=Σf1Wkl
dyskretna transformata Fouriera według algo Hornera:
Schemat hornera polega na wyznaczaniu wartości wielomianu. Sume Fk=Σf1Wkl możemy zapisać :
Fk=fo+(f1+..+(fN-3(fN-2+fN-1Wk) Wk) Wk…) Wk co wymaga obliczeń sum częściowych:
sN-1=fN-1 Wk
sN-2=(fN-2+sN-1) Wk
.
si=(fi+si+1) Wk
.
s2=(f2+s3) Wk
s1=(f1+s2) Wk
Fk=f0+s1

Szybkie przekształecenie fouirei wedlug Coleya T:
Zastosowanie algorytmu Col Tukeya pozwala poprawić szybkość obliczania dyskretnej transomaty Fouriera przy wykorzystaniu podanych właśności :
Wk(N-1)=Wkl Wkl= Wk(N-1)=W(N+k)l
Wykorzystujeąc te wlasności morzemy obliczyć wszystkie wartości Fk. Podstawową zasada na której opierają się wszystkie algorytmy jest zastąpienie obliczeń dyskretnej transformaty Fourie ciągu o długości N obliczeń transformat krótszych ciągów.
Fm(l)=Fm-1(l)+Fm-1(l+2m-1)Wmk (równania rekurencyjne) m=1,2,…p Wm=exp((-j2π/N)2p-m) k=0,1,2…,2m-1-1
Wmk=exp((-j2π/N)r)=Wr gdzie r=k2p-m.